高中数学高考预测13 计数原理及二项式定理（解析版）

预测13  计数原理及二项式定理

1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．

2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.

一、排列、组合

1. 分类加法计数原理

完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．

2. 分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法．

3. 排列与排列数

(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__．

(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__A__表示．

(3)排列数公式：

A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，并且m≤n)

A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1．

4. 组合与组合数

(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__C__表示．

(3)组合数公式：

C＝＝＝

(n，m∈N*，并且m≤n)．

(4)组合数的性质：

性质1：C＝C．

性质2：C＝C＋C．

性质3：mC＝n·C．

二、 二项式定理

1· 二项式定理的展开式

公式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)

这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk．

2. 二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1．

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式系数从C，C，一直到C，C．

一、杨辉三角”与二项式系数的性质

(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．

(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C．

(3)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大；

当k＞时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．

(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为2n，即C＋C＋…＋C＝2n.

(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1．

二、排列、组合的方法技巧

1、特殊位置、特殊元素优先安排

2、插空法

3、捆绑法

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】的展开式中x3y3的系数为

A．5  B．10 

C．15  D．20

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C.

2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

A．120种  B．90种

C．60种  D．30种

【答案】C

【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C．

3．【2020年高考北京】在的展开式中，的系数为

A．  B．5 

C．  D．10

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12 B．16 C．20      D．24

【答案】A

【解析】由题意得x3的系数为，故选A．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

5．【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．

【答案】

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，

先取2名同学看作一组，选法有：.

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，

故答案为：.

6．【2020年高考全国III卷理数】的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

【答案】

【解析】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

7．【2020年高考天津】在的展开式中，的系数是_________．

【答案】10

【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．

所以的系数为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

8．【2020年高考浙江】二项展开式，则_______，________．

【答案】80；122

【解析】的通项为，令，则，故；.

故答案为：80；122.

【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

9．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．

【答案】   

【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．

10．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）

【答案】16

【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案为：16．

11．【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)

【答案】1260

【解析】若不取0，则排列数为；若取0，则排列数为，因此一共可以组成个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．

12．【2018年高考浙江卷】二项式的展开式的常数项是__________．

【答案】7

【解析】二项式的展开式的通项公式为，

令得，故所求的常数项为．故答案为：7．

13．【2018年高考天津卷理数】在的展开式中，的系数为__________．

【答案】

【解析】二项式的展开式的通项公式为，令可得：，则的系数为：．故答案为：．

14．【2019年高考江苏卷理数】设．已知．

（1）求n的值；

（2）设，其中，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

（2）由（1）知，．

．

解法一：

因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．

一、单选题

1、（2021·连云港·一模）3．2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛，现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为

A．12             B．24             C．36             D．48

【答案】C

【解析】若小张、小赵中有一人入选，则有选法 C21C21A33＝24 种；

若小张、小赵都入选，则有选法 A22A32＝12 种，

所以共有选法 12+24=36 种，故选 C.

2、（2020届山东省潍坊市高三上期中） 展开式中的系数为（    ）

A．-112 B．28 C．56 D．112

【答案】D

【解析】

由．

取，得．

展开式中的系数为．

故选：D.

3、（2020届山东省临沂市高三上期末）的展开式的中间项为（    ）

A．-40 B． C．40 D．

【答案】B

【解析】

的展开式的通项为

则中间项为.

故选：B.

4、（江苏省盐城市2020-2021学年高三模拟）若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为（    ）

A．60 B．120

C．160 D．240

【答案】D

【解析】二项式的展开式中二项式系数之和为

则，所以

二项式的展开式的通项公式为

要使展开式中含，则，所以系数为：

故选：D

5、（江苏省连云港市2021届高三调研）的展开式中的系数为（    ）.

A．16 B．18 C．20 D．24

【答案】C

【解析】的展开式的通项为，

所以的展开式中含的项为，

所以的展开式中的系数为，

故选：C.

二、多选题

6、（2021·江苏省滨海中学高三月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（    ）

A．某学生从中选3门，共有30种选法

B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法

C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法

D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

【答案】CD

【解析】

6门中选3门共有种，故A错误；

课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；

课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；

课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．

故选：CD

7、（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】令，则，A对，

令，则，令，则，

∴，，B对，C错，

令，则，又，则，D对，

故选：ABD.

8、（2021·江苏常州市·高三期末）若，且，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．展开式中二项式系数和为

C．展开式中所有项系数和为

D．

【答案】ACD

【解析】对于A，令，可得，

即，

即，①

令，得，即，②

由于的展开式中，所以，③

所以①-②-③得：，

而，

所以，解得：，故A正确；

对于B，由于，则，

所以展开式中二项式系数和为，故B错误；

对于C，由于，则的所有项系数为

，故C正确；

对于D，由于，则，

等式两边求导得：，

令，则，故D正确.

故选：ACD.

9、（2021·扬州·一模）9.在的展开式中，下列说法正确的有(   )

A．所有项的二项式系数和为128          B．所有项的系数和为0

C．系数最大的项为第4项和第5项        D．存在常数项

【答案】AB

【解析】：的展开式的各个二项式系数的和等于，即，27=128，所以A对；

求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，令x=1，系数和为0.所以B对；

求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k来，即得．，由于中不含每一项系数，为1和-1，则系数最大值与有关，4项和第5项一负一正，所以C是错的；

二次项次数是奇次，所以不可能出现常数项，D是错的。

三、填空题

10、（山东省2020-2021学年高三调研）若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）．

【答案】35

【解析】解：的展开式的通项公式为，

展开式中第5项为常数项，故当时，，，

该展开式的常数项为，

故答案为：35．

11、（山东省威海市2020-2021学年高三模拟）在的展开式中，常数项等于____．

【答案】160

【解析】的展开项的形式是

若为常数项，可得

故常数项为

12、（2021·盐城、南京·一模）14．的展开式中有理项的个数为       ．

【答案】34

【解析】，所以r＝0，3，6，…，99时为有理想，共34个．

13、（2021·浙江嘉兴市·高三期末）已知.若，则___________；___________.

【答案】    0   

【解析】

因为

其中展开式的通项为，令，则，令，则，所以展开式中项为，故，

令则，

令则，

所以0，

故答案为：；.

14、（2020届山东省德州市高三上期末）的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.

【答案】       

【解析】

的展开式的通项为，

令，得，所以，展开式中的常数项为；

令，令，即，

解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.

故答案为：；.