高中数学高考专题01 集合与常用逻辑用语——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（教师版含解析）

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专题01 集合与常用逻辑用语

1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选D．
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=
A． B．{–3，–2，2，3)
C．{–2，0，2} D．{–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
或，
所以.
故选D．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合，，则A∩B中元素的个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，，
故中元素的个数为3.
故选B.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
4．【2020年高考天津】设全集，集合，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知，则.
故选C．
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
5．【2020年高考北京】已知集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据交集定义直接得结果.
【详解】，
故选D．
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．【2020年高考天津】设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选A．
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2 A．{x|2 C．{x|1≤x<4} D．{x|1 【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】.
故选C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．【2020年高考浙江】已知集合P=，Q=，则PQ=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解
【详解】.
故选B.
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意，是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选B.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.
10．【2020年高考北京】已知，则“存在使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选C．
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.
11．【2020年高考江苏】已知集合，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的交集即可计算.
【详解】∵,，
∴.
故答案为.
【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．
12．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.

1．【2020·四川省阆中中学高三二模(文)】命题“若，则”的逆否命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】原命题的逆命题为：若，则，
原命题的逆否命题为：若，则．
故选C．
【点睛】本题主要考查原命题的逆否命题，熟练掌握四种命题的关系为解题的关键，属于简单题.
2．【2020·广东省高三月考(文)】命题“”的否定是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“，”的否定为“，”.
故选D．
3．【广东省台山市华侨中学2020届高三级10月模考文科数学试题】设集合,集合,则等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】集合,集合,则,．
故选C．
【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目．
4．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学(文)试题】设集合，则
A． B．或
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对集合通过解绝对值不等式化简为或，再和集合取交集.
【详解】
因为或，，
所以.
【点睛】
两个集合进行交运算时，注意大于取大、小于取小的原则.
5．【2020·广东省高三二模(文)】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{1，3，5}，则A∩B=
A．{1，3} B．{1，3，5}
C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，5}
【答案】A
【解析】∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{1，3}.
故选A．
【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.
6．【2020·山西省高三月考(文)】已知集合，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式得集合，再由交集定义求解．
【详解】
，∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题关键．本题属于基础题．
7．【2020·广西壮族自治区高三月考(文)】若集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
集合，是数集，都是求函数的定义域，求出定义域，再利用交集运算求出公共部分.
【详解】
∵，，∴.
故选：B
【点睛】
本题考查集合的交集，考查运算求解能力. .交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.
8．【2020·四川省阆中中学高三二模(文)】已知集合，则集合
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，按交集的定义，即可求解.
【详解】
由题意知，故.
故选B．
【点睛】
本题考查集合间的运算，注意对数函数的定义域，属于基础题.
9．【2020·河北省高三月考(文)】已知集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，再求交集即可.
【详解】
，，.
故选B．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
10．【2020·重庆八中高三月考(文)】设全集，集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由补集和并集的定义直接求解即可.
【详解】
，集合，
，
.
故选A．
【点睛】
本题考查补集和并集的定义，属于基础题.
11．【2020·山东省高三期末】命题“”为真命题的一个必要不充分条件是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意解得命题“”为真命题的充要条件时，结合四个选项即可得到其必要不充分条件.
【详解】
即，
所以，解得，
只有D选项是其必要不充分条件.
故选D．
【点睛】
此题考查求必要不充分条件，关键在于根据特称命题的真假准确求解参数的取值范围，根据充分性和必要性判断.
12．【2020·北京高三月考】已知集合，，则在下列集合中符合条件的集合可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合间的包含关系进行判断即可.
【详解】
因为，所以集合是集合的子集
对A项，，故A正确；
对B项，，由于，则不是的子集，故B错误；
对C项，由于，，则不是的子集，故C错误；
对D项，由于，则不是的子集，故D错误；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础题.
13．【2020·河南省高三月考(文)】若全集，集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意先求出，，之后应用并集的定义求得结果.
【详解】
由题意可得，，
因此，
故选C．
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有补集和并集的求解运算，属于基础题目.
14．【2020·安徽省淮北一中高三月考(文)】，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别求出集合与，再利用集合的交集运算进行求解.
【详解】
；，
.
故选A．
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.
15．【2020·重庆巴蜀中学高三月考(文)】已知正实数，则“”是“”的
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得，成立，则成立；成立，可举例说明不一定成立，根据充分必要条件的定义，即可得出结论.
【详解】
不充分性：，；
必要性：∵，∴.
故选B．
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，属于基础题.
16．【2020·重庆南开中学高三月考(文)】设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得到集合A、B，阴影部分表示的集合为，再按交集、补集运算即可.
【详解】
由，得，所以，由，得，所以，
阴影部分表示的集合为.
故选C．
【点睛】
本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集以及解不等式，是一道容易题.
17．【2020·广西壮族自治区高三月考(文)】已知命题若，则；命题若函数在上单调递增，则实数的取值范围为，下列说法正确的是
A．为真命题 B．为真命题
C．为假命题 D．为假命题
【答案】D
【解析】
【分析】
结合指数函数与对数函数的性质，得到命题是真命题，利用二次函数的性质，得到是假命题，再利用复合命题的真值表，即可求解．
【详解】
由题意，若，则函数与函数在上单调递增，
所以，，所以，
即命题是真命题，则为假命题；
函数在上单调递增，则满足，解得，
所以命题是假命题．
所以为假命题，命题 为假命题．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，以及一元二次函数的性质，求得命题的真假是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
18．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(文)试题】已知，，“且”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
且等价于，等价于，
作出两个不等式组对应的平面区域都是以，，，为顶点的正方形

∴“且”是“”的充要条件，
故选C．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题的关键．
19．【2020·天津南开中学高三月考】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断可得.
【详解】
由，反之不成立．
是的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】
本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．【2020·天津一中高三月考】设则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解绝对值不等式与分式不等式，根据充分必要条件的性质即可判断.
【详解】
解绝对值不等式可得，即，
将分式不等式变形可得，解得，
因为，
所以“”是“”的必要而不充分条件，
故选B．
【点睛】
本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题.
21．【江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学(文)】下列命题错误的是
A．“”是“”的充要条件
B．命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题
C．在中，若“”，则“”
D．若等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次方程即可判断A正确；根据一元二次方程有实根则即可得解；由及正弦定理即可推出，C正确.
【详解】
由，∴A正确；
命题“若，则方程有实根”的逆命题为命题“若方程有实根，则”，
∵方程有实根，∴B正确；
在中，若(根据正弦定理)，∴C正确，
故选D．
【点睛】
本题考查命题的真假判断、充要条件的判断、命题及其相互关系，属于基础题.
22．【2020·安徽省淮北一中高三月考(文)】已知“若则”为真命题，“若则”为假命题，则成立是成立的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】
“若则”为真命题，由成立可以推出成立，
成立是成立的充分条件，
“若则”为假命题，即“若则”为假命题，
由成立不能推出成立，
成立是成立的充分不必要条件.
故选B．
【点睛】
本题考查的是原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题.若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性没有关系.判断是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推出条件；二是由条件能否推出条件.
23．【2020·山东省高三月考】已知直线，则“”是“直线与圆相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可知直线过圆上一定点,若直线与圆相切,则,据此计算出,从而得出结论.
【详解】
直线过定点,
又点在圆上,
若直线与圆相切,
则,即有,
因此“”是“直线与圆相切”的充要条件.
故选C．
【点睛】
本题考查了直线与圆相切的应用,考查了充分必要条件的判断,难度不大.
24．【2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考(文)】下列说法正确的是
A．若为假命题，则、均为假命题
B．，“”是“”的必要不充分条件
C．命题“，使得”的否定是“，都有”
D．成立的充要条件是“且”
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复合命题真假性、充分条件与必要条件的判定、含量词的命题的否定可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
对于A，若为假命题，则至少有一个假命题，A错误；
对于B，由得：或，则由，，
“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对于C，原命题的否定为：，都有，C错误；
对于D，当时，，且不是成立的充要条件，D错误.
故选B．
【点睛】
本题考查命题与简易逻辑的相关命题的辨析，涉及到由复合命题真假性判断原命题真假性、充分条件与必要条件的判定、含量词的命题的否定等知识.
25．【2020·江西省高三月考(文)】已知，表示的平面区域为，若“”为假命题，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“”为真命题，由恒等式的思想可得实数的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，

令得，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程得点，所以的最大值为5，
因为“”为假命题，所以“”为真命题，所以实数的取值范围是，
故选A．
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
26．【2020·广东省高三月考(文)】若m，n表示互不重合的直线，，表示不重合的平面，则的一个充分条件是
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线与平面、平面与平面的位置关系即可判断各选项.
【详解】
对于A，，则当时不能得到，因而不是充分条件，所以A错误；
对于B，，则当时不能得到，因而不是充分条件，所以B错误；
对于C，，则当时不能得到，因而不是充分条件，所以C错误；
对于D，，，，则，所以D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对空间想象能力要求较高，属于基础题.
27．【2020·贵州省高三月考(文)】设，为两个平面，命题：的充要条件是内有无数条直线与平行；命题：的充要条件是内任意一条直线与平行，则下列说法正确的是
A．“”为真命题 B．“”为真命题
C．“”为真命题 D．“”为真命题
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面与平面平行的定义和判定定理可得命题为假，命题为真，根据复合命题间的真假关系，逐项判断，即可求出结论.
【详解】
若，则在中存在无数条直线与平行，
也平行平面，所以命题为假；
若，由面面平行的性质定理可知内任意一条直线与平行，
若内任意一条直线与平行，则在内必存在两条相交的直线平行，
根据平面与平面平行的判定定理可得，，所以命题为真，
“”为假命题，选项A错误；
“”为假命题，选项B错误；
“”为真命题，选项C正确；
“”为假命题，选项D错误.
故选C．
【点睛】
本题考查复合命题真假的判定，涉及到平面与平面平行的判定和性质，属于基础题.