2023银川二中高一上学期期中考试数学试题含解析

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银川二中2022-2023学年第一学期高一年级期中考试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，那么（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】，故选：D2. 函数的定义域为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数有意义的条件，列出不等式组，解之即可求解.【详解】要使函数有意义，则有，解得：且，所以函数的解集为，故选：B.3. 已知，，其中，，，均为实数，则一定有（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质判断出正确选项.详解】A选项，，A选项错误.B选项，，B选项错误.C选项，，C选项错误.D选项，，D选项正确.故选：D4. 已知，，，则它们的大小关系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.【详解】解：，在上单调递减，，，，，故选：A.5. 下面命题中不正确的是（    ）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则”C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件D. 设，，则“且”是“”的充要条件【答案】C【解析】【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B的正误．【详解】对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；对于C，“且”“”，但“”推不出“且”，所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错；对于D，且，则“”是“”的充要条件，故D对；故选：C．6. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围.【详解】的对称轴为，当时，，时，故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故.故选：B7. 当时，（且），则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得当时，的图象位于图象的下方，可得解不等式组即可求解.【详解】由题意可得当时，的图象位于图象的下方，所以在单调递增，所以为减函数， 所以 ，即，所以，可得：，故选：B【点睛】关键点点睛：本题解题的关键分析出的图象位于图象的下方，等价于为减函数，且.8. 定义在R上的奇函数，，当时，函数单调递增，则不等式的解集是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性以及零点，根据即可得出解集.【详解】因为是R上的奇函数，所以，又有，所以，当时，函数单调递增，所以函数的大致图像如下：而时，，时，，则的解集为，故选：A二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】对底数分情况讨论即可得答案.【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．故选：BC【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.10. 下列说法中不正确的有（    ）.A. 设，是两个集合，若，则B. 函数与为同一个函数C. 函数最小值为2D. 设是定义在上的函数，则函数是奇函数【答案】BC【解析】【分析】根据集合间的运算及关系可确定A是否正确；根据函数的解析式是否相同便可判断B选项是否正确；根据基本不等式判断C是否正确；利用函数的奇偶性概念确定D是否正确．详解】对于A选项，若，则，A正确；对于B选项，，，解析式不同，B错误；对于C选项，，但是，等号不能成立，C错误；对于D选项，令，则，，且，D正确；故选：BC.11. 已知函数，记在区间上的最小值为，，则下列说法中不正确的是（    ）A. 在上单调递减 B. 在上单调递增C. 有最大值 D. 有最小值【答案】BCD【解析】【分析】令，转化为关于的二次函数，讨论对称轴与区间的关系，结合单调性，可得最小值，于是分析的单调性及取值情况即可判断.【详解】解：令，因为，则，则则当时，函数在上单调递增，所以；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，函数在上单调递减，所以；则所以当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递减，所以在上单调递减，且的值域为.故选：BCD.12. 如果存在函数（，为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”，下列结论正确的是（    ）A. 函数存在“线性覆盖函数”B. 对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个C. 为函数的一个“线性覆盖函数”D. 若为函数的一个“线性覆盖函数”，则【答案】BC【解析】【分析】根据题中提供的定义，对每一个选项通过证明或找反例分析对错，从而解得正确选项.【详解】对于A：若时，，又，所以，所以不是函数的一个“线性覆盖函数”，当，若，则，，所以，所以不是函数的一个“线性覆盖函数”，当，时，取，则，，所以，所以不是函数一个“线性覆盖函数”，A错误；对于B：如，则就是“线性覆盖函数”，且有无数个，再如①中的函数就没有“线性覆盖函数”，故选项B正确；对于C：设，因为，，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，故为函数的一个“线性覆盖函数”，选项C正确；对于D， 为函数的一个“线性覆盖函数”，所以在上恒成立，即恒成立，所以恒成立，即，所以，故D错误，故选：BC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______．【答案】【解析】【分析】令，函数值是一个定值，与参数a无关，即可得到定点.【详解】令，则，，所以函数图象恒过定点为.故答案为：14. 已知函数与函数的图象关于直线对称，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】根据反函数的性质可知，再利用对数函数的单调性解不等式．【详解】解：函数与函数的图象关于直线对称，，．又在上单调递增．∴不等式的解集为．故答案为：．15. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.【详解】解：因为幂函数在上单调递减，所以，解得.故答案为：.16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的值域为_________.【答案】##【解析】【分析】把函数解析式变形，求出的值域，然后分类求解得答案．【详解】是R上的增函数，，，，当,时，；当,时，；∴函数的值域为,．故答案为：{－1,0}.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17. 计算.（1）；（2）.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）使用指数幂的运算知识运算求解即可；（2）使用对数运算知识运算求解即可.【小问1详解】原式【小问2详解】原式18. 已知函数是上的偶函数，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）求方程的根.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）设，则，再利用函数为偶函数求解.（2）分，，利用指数方程的解法求解.【小问1详解】设，则， 所以，因为函数为偶函数，所以，所以函数的解析式为.【小问2详解】当时，，  ；当时，.，所以方程的解集为.19. 已知函数为奇函数.（1）用函数单调性的定义证明：在区间上是单调递增；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）证明见解析.    （2）或【解析】【分析】（1）由奇函数的定义得a的值，结合单调性的定义：任取→作差→变形→断号→写结论可证得结果.（2）由题意知：，再由的单调性求得，进而转化为求关于m的一元二次不等式.【小问1详解】∵为奇函数，定义域为 ∴∴ 即： ∴∴证明：设，，则∵∴，∴，即：∴在区间上单调递增.【小问2详解】∵对任意的，不等式恒成立，∴∵由（1）知：在区间上单调递增∴在区间上单调递增∴∴，即：解得：或.20. 近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.（2）2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.【答案】（1）；    （2）2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.【解析】【分析】（1）根据2020年利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润关于的解析式；（2）根据（1）求出利润的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.【小问1详解】解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，当时，当时，，所以.【小问2详解】当时，，此时函数开口向上的抛物线，且对称轴为，所以当时，（万元）；当时，，因为，当且仅当即时，等号成立，即当时，（万元），综上可得，当时，取得最大值为（万元），即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.21. 已知函数，其中，均为实数.（1）若，且的定义域为，求的取值范围；（2）若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据函数的定义域为，可知，即可求解；（2）首先拆分成内外层函数，再根据复合函数的单调性，列式求解.【小问1详解】当时，的定义域为,则，解得：；【小问2详解】当时，，函数拆分成内外层函数，，，若函数在区间内单调递增，则内层函数在上单调递减，并且，当时，在上单调递减，并且，满足条件，当时，需满足下列条件则，解得：,综上可知存在实数，的取值范围是.22. 已知函数.（1）对于函数，当时，，求实数的取值范围；（2）当时的值恒为负，求的取值范围.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根据题意，利用定义法判断可知函数为奇函数，根据指数函数的单调性得出在为增函数，再利用单调性和奇偶性解不等式，即可求得的取值范围；（2）由（1）可知当时，也是增函数，结合题意可知，解不等式并结合，，即可求出的取值范围.【小问1详解】解：∵，可知的定义域为，，∴为奇函数，当时，、为增函数，，∴为增函数，当时，、为减函数，，∴为增函数，综上可知在为增函数，由于当时，，则，∴，解得：，所以实数的取值范围为.【小问2详解】解：已知当时的值恒为负，由（1）可知在为增函数，则当时，也是增函数，则，又，，则，解得：或，所以的取值范围为.