初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形一课一练

矩形（提高）

【学习目标】

1. 理解矩形的概念.

2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型一、矩形的性质 

1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．

【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．

【答案与解析】

证明：(1)∵  四边形ABCD是矩形，

∴  ∠ABC＝∠BCD＝90°．

∵  △PBC和△QCD是等边三角形，

∴  ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，

∴  ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．

∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°

(2)∵  四边形ABCD是矩形，∴  AB＝DC．

∵  △PBC和△QCD是等边三角形，

∴  PB＝PC，QC＝DC＝AB．

∵  AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．

∴  △PAB≌△PQC，∴  PA＝PQ．

【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．

举一反三：

【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处．

(1)求证：；

(2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．

【答案】

证明：(1)由折叠可得．

∵  AD∥BC，  ∴  ，

∴  ，

∴  ．

(2)猜想．理由：

由题意，得，．

由(1)知．

在中，∵  ，，，，

∴  ．

2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．

【思路点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为考虑证BO＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE．

【答案与解析】

解：∵  四边形ABCD是矩形，

    ∴  ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD．

    ∴  AO＝BO．

    ∵  AE平分∠BAD，∴  ∠BAE＝45°．

    ∴  ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．

    ∴  BE＝AB．

    ∵  ∠CAE＝15°，∴  ∠BAO＝60°．

    ∴  △ABO是等边三角形．

    ∴  BO＝AB，∠ABO＝60°．

    ∴  BE＝BO，∠OBE＝30°．

    ∴  ∠BOE＝．

【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．

类型二、矩形的判定 

3、如图所示，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交

∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

(1)试证明EO＝FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由．

【思路点拨】(1)根据条件证明△OEC与△OCF都是等腰三角形，即OE＝OC，OF＝OC，所以EO＝FO．(2)由(1)OE＝OC＝OF，只要OA＝OC，即点O为AC的中点，则四边形AECF是矩形．

【答案与解析】

证明：(1)因为MN∥BC，CE，CF分别是∠BCA、∠BCA外角的平分线，

所以∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠FCO，

所以OE＝OC，OF＝OC，

所以EO＝FO．

(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

由(1)知EO＝FO，又因为AO＝CO，

所以四边形AECF为平行四边形．

因为OE＝OC，所以AC＝EF，

所以四边形AECF是矩形．

【总结升华】对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是对平行四边形、矩形判定的综合应用.

举一反三：

【变式】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求这个平行四边形的面积.

【答案】

解：   ∵四边形ABCD是平行四边形.

　　　 ∴△ABO≌△DCO

　　　 又∵△ABO是等边三角形

　　　 ∴△DCO也是等边三角形，即AO＝BO＝CO＝DO

　　　 ∴AC＝BD

　　　 ∴ ABCD为矩形.

　　　 ∵AB＝4，AC＝AO＋CO
　　 　∴AC＝8

　　　 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
　　　 BC＝

　　　∴矩形ABCD的面积为：AB·BC＝16

类型三、直角三角形斜边上的中线的性质

4、如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．   

求证：FG⊥DE．

【答案与解析】

证明：连接EG、DG，∵  CE是高，

     ∴  CE⊥AB．

     ∵  在Rt△CEB中，G是BC的中点，

     ∴  EG＝BC，同理DG＝BC．

     ∴  EG＝DG．

    又∵  F是ED的中点，

      ∴  FG⊥DE．

【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题．

举一反三：

【变式】（2020•济南）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　）

A.    B.      C.      D.

【答案】A；

解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，

∵OD≤OE＋DE，

∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，

此时，∵AB＝2，BC＝1，

∴OE＝AE＝AB＝1，

DE＝，

∴OD的最大值为：.