【中考专题】专题01 实数及其运算（全国通用）（原卷版）
展开专题一 数与式
01 实数及其运算
考点1：实数的分类
（1）有理数和无理数统称实数．
（2）
注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
(1)开方开不尽的数，如，等；
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；
(4)某些三角函数，如sin60°等
典例1：将下列各数填入相应的大括号里．
，3.14159265，，，，，0.6，0，，
正分数：{ …}；
整 数：{ …}；
无理数：{ …}．
【变式1】（2020·邳州月考）在，，7.7070070007…，这四个数中，无理数的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2】（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】(2022·原创)四个数1，，，0.03中，无理数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点2：实数的相关概念（相反数、绝对值、倒数）
（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
（2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
（3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
典例2：（2022·河北·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1 B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1 D．﹣1是无理数
【变式1】（2022·日照中考）2020的相反数是（ ）
A． B． C．-2020 D．2020
【变式2】(2022·眉山)绝对值为1的实数共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【变式3】的相反数是 ，倒数是 ．
考点3：数轴的相关计算
（1）数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应．
（2）数轴上两点之间的距离=右边所表示的数—左边所表示的数（大—小）
典例3：实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A．a＞b B．a=b C．|a|＞|b| D．|a|＜|b|
【变式1】已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b 0．
【变式2】（2022·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【变式3】如图，点在数轴上对应的实数分别为，则两点间的距离是 ．（用含的式子表示）
【变式4】如图，数轴上点A表示的实数是_______
考点4：科学计数法
（1）科学记数法：把一个数表示成a×10n的形式，其中1≤＜10的数，n是整数．
典例4：（2022·泰州中考）据新华社年月日消息，全国各地和军队约名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将用科学计数法表示为_______．
【变式1】蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，蜂房的巢壁厚约0.000073米，用科学记数法表示数字0.000073=___________．
【变式2】（2022·江西省上高县第五中学七年级阶段练习）13 940 万这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·甘肃天水·八年级期末）新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2022，COVID-19），简称“新冠肺炎”，2020年2月11日，世界卫生组织总干事谭德塞在瑞士日内瓦宣布，将新型冠状病毒感染的肺炎命名为“COVID-19”． 某实验室测得某种冠状病毒分子直径约87纳米，已知1纳米米，则该冠状病毒分子直径可用科学记数法表示为_________米．
考点5：实数的大小比较
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
典例5：写出一个比3大且比4小的无理数__________
【变式1】(2022·金华) 在0，1，－，－1四个数中，最小的数是( )
A. 0 B．1 C．－ D. －1
【变式2】（2022·甘肃张掖·中考真题）估计与0.5的大小关系是：______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【变式3】下列四个运算中，结果最小的是（ ）
A．1+ (-2) B．1- (-2) C．1×(-2) D．1 ÷(-2)
考点6：开方运算
（1）平方根、算数平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（2）立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
典例6：的算术平方根是( )
A.4 B. C.2 D
【变式1】估计的算术平方根大小在( )
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
【变式2】(2022·常德)－8的立方根是________．
【变式3】（2022·包头）一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+b的立方根是__________
考点7：实数的运算
常考的运算法则：
（1）乘方：（-2）3=-8
（2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1）
（3）零次幂：a0=1（a≠0）
（4）负指数幂：a-n=（按正指数，再倒数）
（5）绝对值运算：
（6）特殊角的三角函数：sin30°=等
实数的混合运算顺序：先将上方的小项运算出来，再根据实数的运算顺序（先乘除，后加减；有括号先括号；同级运算从左到右依次运算）
典例7：
【变式1】（2022·四川达州·中考真题）计算：．
【变式2】（2022·四川内江·中考真题）计算：．
【变式3】（2022·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°．
巩固训练
一、选择题
1．(2022·原创)四个数1，，，0.03中，无理数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2022·安徽)－8的绝对值是( )
A．－8 B．8 C．±8 D．－
3．(2022·陕西)－的倒数是( )
A. B．－ C. D．－
4．(2022·泰州)－(－2)等于( )
A．－2 B．2 C. D．＋2
5．(2022·眉山)绝对值为1的实数共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
6．(2022·漳州质检)如图，数轴上点M所表示的数的绝对值是( )
A．3 B．－3 C．±3 D．－
7．(2022·河北)若2n＋2n＋2n＋2n＝2，则n＝( )
A．－1 B．－2 C．0 D.
8．(2022·福州质检)中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规则，“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人，将4 400 000 000用科学记数法表示，其结果是( )
A．44×108 B．4.4×109
C．4.4×108 D．4.4×1010
9．(2022·临沂)自2013年10月习近平总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来，各地积极推进精准扶贫．加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，仅2017年我国减少的贫困人口就接近1 100万人， 将1 100万人用科学记数法表示为( )
A．1.1×103 人 B．1.1×107人
C．1.1×108 人 D．1.1×106人
10．(2022·邵阳)据《经济日报》2022年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达7 nm(1 nm＝10－9 m)，主流生产线的技术水平为14～28 nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28 nm，将28 nm用科学记数法可表示为( )
A．28×10－9 m B．2.8×10－8 m
C．28×109 m D．2.8×108 m
11．(2022·河北)一个整数815 550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为( )
A．4 B．6 C．7 D．10
12．(2022·北京)被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7 140 m2，则FAST的反射面总面积约为( )
A．7.14×103 m2 B．7.14×104 m2
C．2.5×105 m2 D．2.5×106 m2
13．(2022·厦门质检)计算－1＋2，结果正确的是( )
A．1 B．－1 C．－2 D．－3
14．(2022·南平质检)下列各数中，比－2小3的数是( )
A．1 B．－1 C．－5 D．－6
15.(2022·易错)计算－(－2)＋(－2)0的结果是( )
A．－3 B．0 C．－1 D．3
16．(2022·金华) 在0，1，－，－1四个数中，最小的数是( )
A. 0 B．1 C．－ D. －1
17．(2022·北京)实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A．|a|＞4 B．c－ b＞0 C．ac＞0 D．a＋c＞0
18．(2022·攀枝花改编)如图，实数－3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是( )
A．点M B．点N C．点P D．点Q
二、填空题
19．(2022·常德)－8的立方根是________．
20．(2022·重庆A卷)计算：|－2|＋(π－3)0＝______．
21. (2022·南充)某地某天的最高气温是6 ℃，最低气温是－4℃，则该地当天的温差为________℃.
22．(2022·泉州质检)已知a＝()0，b＝2－1，则a______b(填“＞”“＜”或“＝”)．
三、解答题
23．(2022·北京)计算：4sin45°＋(π－2)0－＋|－1|.
24.（2022·福建）；
25.（2021·莆田市期末）；
