2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（    ）

A．40 B．36 C．34 D．32

【答案】D

【分析】根据分层抽样的性质计算即可.

【详解】由题意得：样本中女生人数为.

故选：D

2．已知向量，，则（    ）

A． B．8 C．3 D．9

【答案】C

【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可.

【详解】

故选：C

3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】模拟执行程序即得.

【详解】模拟执行程序，，

输出，；

满足条件，，输出，；

满足条件，，输出，；

所以第3个输出的数是2.

故选：A.

4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．8 B． C． D．

【答案】B

【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积.

【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥,

如图所示：平面,且底面为正方形，

所以该几何体的体积为：

故选：B

5．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】B

【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.

【详解】由于直线的倾斜角为，

则该直线的斜率为，

又因为，，

所以，解得.

故选：B.

6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差

【答案】B

【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.

【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为 ，故A错误；

讲座后问卷答题的正确率的平均数为 ，故B正确；

由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D错误.

故选：B.

7．两条平行直线和间的距离为，则，分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得.

【详解】由直线与直线平行，

得，解得，

所以两直线分别为和，即和，

所以两直线间距离，

故选：D.

8．从这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出基本事件总数n，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率

【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，

基本事件总数n，

这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m4，

∴这两个数字的和为偶数的概率为p．

故选B．

【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

9．已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（    ）

A．若m⊥α，n⊥α，则m//n B．若α⊥β，，则l⊥β

C．若l⊥α，，则l⊥m D．若l//α，l⊥β，则α⊥β

【答案】B

【分析】根据线面垂直的性质定理可知A正确；根据面面垂直的性质定理可知B不正确；

根据线面垂直的定义可知C正确；根据面面垂直的判定可知D正确．

【详解】对A，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A正确；

对B，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，，且垂直于两平面的交线，则l⊥β，所以B错误；

对C，根据线面垂直的定义可知，C正确；

对D，因为l//α，由线面平行的性质可知在平面内存在直线，又l⊥β，所以，而，所以α⊥β，D正确．

故选：B．

10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得出为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可.

【详解】显然为直角三角形，且为斜边，

所以其欧拉线方程为斜边上的中线，

设的中点为，由，

所以，由

所以的方程为，

所以欧拉线的一般式方程为.

故选：C.

11．已知是直线上任意一点，过点作两条直线与圆相切，切点分别为、．则四边形面积最小值为（    ）

A． B． C． D．28

【答案】A

【分析】当时，取得最小值，根据切线长的表达式可知，最小，此时四边形面积最小，求解即可．

【详解】圆的圆心，半径为2，

当时，取得最小值，即的最小值为点到直线的距离，

∵，∴的最小值为，

∵四边形面积，

∴四边形面积的最小值为．

故选：A．

12．已知棱长为1的正方体中，下列数学命题不正确的是

A．平面平面，且两平面的距离为

B．点在线段上运动，则四面体的体积不变

C．与所有12条棱都相切的球的体积为

D．是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是

【答案】D

【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项；

研究四面体的底面面积和高的变化判断选项；

与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项；

根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项.

【详解】

对于选项，平面平面，

平面，同理可证平面，

平面，平面平面，

正方体的对角线，设到平面的距离为，

则，

，则平面与平面的距离为，

故正确；

对于选项，点在线段上运动，点到底面的距离不变，

底面积不变，则体积不变，故正确；

对于选项，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线，

则球的半径为，球的体积为，故正确；

对于选项，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为，

则的外接圆是正方体外接球的一个小圆，

是正方体的内切球的球面上任意一点，

是外接圆的圆周上任意一点，

线段的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，

正方体棱长为1，

线段的最小值为，故错误.

故选:D.

【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.

二、填空题

13．已知、满足约束条件 则的最大值是________.

【答案】

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】解：由约束条件作出可行域如图：

将目标函数转化为表示为斜率为，纵截距为的直线，

当直线过点时，取得最大值，

显然点，则.

故答案为：.

14．直线与圆相交于两点，且．若，则直线的斜率为_________．

【答案】

【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.

【详解】根据题意，直线l与圆 相交于两点，且，

当直线斜率不存在时，直线 即y轴，显然与圆相切，不符合题意;

故直线斜率存在，设直线l的方程为 ，即 ，

因为圆的圆心为 ，半径为 ，

又弦长,所以圆心到直线的距离为,

所以，解得，

故答案为：.

15．如图，是直三棱柱，，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值为__．

【答案】

【分析】取BC的中点M，连接MF，则MF//BE，所以就是异面直线BE与AF所成的角，再解三角形即可.

【详解】取BC的中点M，连接MF，则MF//BE，所以就是异面直线BE与AF所成的角，设，

故答案为：

16．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．

【答案】5

【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.

【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.

三、解答题

17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.

(1)求出关于的线性回归方程；

(2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.

参考公式：

【答案】（1）；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆

【分析】（1）先由题中数据求出，再根据求出和，即可得出回归方程；

（2）将代入回归方程，即可求出预测值.

【详解】（1）由题中数据可得，

∴,

故，∴

（2）由（1）得，当时，，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆.

【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求和即可，属于常考题型.

18．已知圆经过、两点，且圆心在直线上．

(1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；

(2)求圆的标准方程；

(3)斜率为的直线过点且与圆相交于两点，求．

【答案】(1)或

(2)

(3)

【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；

（2）设圆心，由解得，即得圆的标准方程；

（3）求出直线l的方程，利用弦长公式计算即可.

【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为，

当直线不过原点时，设直线的方程为，将点代入解得，即直线的方程为，

故所求直线的方程为或．

（2）因圆心C在直线上，则设圆心，

又圆C经过两点，于是得圆C的半径，

即有，解得，

则圆心，圆C的半径，

所以圆C的标准方程为．

（3）依题意，直线l的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以．

19．直四棱柱，底面是平行四边形，，分别是棱的中点.

(1)求证：平面：

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）利用余弦定理求出，再利用勾股定理求出，再根据结合棱锥的体积公式即可得出答案.

【详解】（1）证明：取的中点，连结，

在中，分别为的中点，

所以且，

底面是平行四边形，是棱的中点，

所以且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以平面平面，

所以平面；

（2）在中，，

由余弦定理有，

解得，

则，

因为为的中点，

所以，

由已知直四棱柱，可得，

可得，

.

20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，，后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；

(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．

【答案】(1)答案见解析

(2)71

(3)86

【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；

（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；

（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间占5%，区间占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．

【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，

所以第四小组的频率为：，

在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，

补全频率分布直方图对应图形如图所示：

（2）由频率分布直方图可得平均分为：；

（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间占5%，区间占25%，

则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：．

21．如图，正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，，，．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设正方形的对角线与交于，连接、，利用勾股定理逆定理推导出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）分析可知直线与平面所成角为，求出的正弦值，即可求得的大小.

【详解】（1）证明：设正方形的对角线与交于，连接、，

因为平面平面，平面平面，，平面，

平面，

因为四边形是边长为的正方形，则，

在直角梯形中，，为的中点，则且，

又因为，，故四边形是边长为的正方形，所以，，

所以，平面，且，

平面，，则，

所以，，，

平面，平面，，

，，，

，、平面，平面.

（2）解：由（1）可知，平面，所以，直线与平面所成角为，

，，

又因为，故，因此，直线与平面所成角为.

22．已知圆，设，过点作斜率非0的直线，交圆于两点．

(1)过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值；

(2)设，过原点的直线与相交于点．

证明：点在定直线上．

【答案】(1)的最大值为17.

(2)证明见详解

【分析】（1）由题意设出直线，方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线与直线的方程，且交于点，联立方程求解点即可证明结论.

【详解】（1）由圆知，圆心为，半径，

因为直线过点且斜率非0，

所以设直线方程为：，即，

则点到直线的距离为：，

所以，

由，且直线过点，

所以设直线方程为：，即，

则点到直线的距离为：，

所以，

故

，

当且仅当时取等号，

所以四边形的面积的最大值为17.

（2）证明：设，直线过点，

则设直线方程为：，

联立，消去整理得：

，

，

所以，

由，

所以直线的方程为：，

，

所以直线的方程为：，

因为直线与直线交于点，

所以联立，

所以

，

所以，

所以点在定直线上.