2022-2023学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知直线与直线平行，则值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据两直线平行可直接构造方程求得结果.

【详解】，，解得：.经检验成立

故选：B.

2．已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，，则

【答案】C

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.

【详解】对于A：若，，则或，故A错误；

对于B：若，，则或与相交，故B错误；

对于C：若，，则，故C正确；

对于D：若，，，则或与异面，故D错误.

故选：C.

3．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直.

【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，

则，

即点A坐标为.

故选：C

4．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是1或3”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ）

A．A与B B．B与D C．A与D D．B与C

【答案】B

【分析】事件和是对立事件，事件和是互斥事件但不是对立事件，事件和不是互斥事件，事件和不是互斥事件，得到答案.

【详解】对选项A：事件和是对立事件，错误；

对选项B：事件和是互斥事件但不是对立事件，正确；

对选项C：事件和不是互斥事件，错误；

对选项D：事件和不是互斥事件，错误；

故选：B

5．关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是（    ）

A．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查

B．若甲､乙两组数据的标准差满足，则可以估计甲比乙更稳定

C．若数据的平均数为，则数据 的平均数为

D．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80，则男生样本容量为60

【答案】D

【分析】由抽样调查，标准差，平均数相关知识分析各选项即可.

【详解】A选项，因大型超市某商品数量较大，则用抽样调查较为合理，故A正确；

B选项，标准差较小的数据更加稳定，故B正确；

C选项，由题有，故C正确；

D选项，由题可得抽取样本中男生与女生的比例为，则男生样本容量为，故D错误.

故选：D

6．若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=（    ）

A．14 B．28 C．9 D．

【答案】A

【分析】分别求出两圆的圆心及半径，再根据圆与圆有且仅有3条公切线，可得两圆外切，则，从而可得答案.

【详解】圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，

因为圆与圆有且仅有3条公切线，

所以两圆外切，

则，

即，解得.

故选：A.

7．若x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．12

【答案】D

【分析】如图所示，画出可行域，，表示直线与轴的截距，截距最小时，最大，根据图像得到答案.

【详解】画出可行域，如图所示：

，则，表示直线与轴的截距，截距最小时，最大，

当直线过交点，，即时，.

故选：D

8．如图，在直棱柱中，，，E为BC的中点，F为的中点，则异面直线AF与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接BF，证明，在中计算即可作答.

【详解】在直棱柱中，连接BF，如图，因E为BC的中点，F为的中点，则，

则四边形为平行四边形，即有，因此是异面直线AF与所成角或其补角，

因平面，平面，则，又，，平面，

即有平面，平面，即，令，则，

所以异面直线AF与所成角的正弦值为.

故选：B

9．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：

由上表可得经验回归方程，则当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为（    ）A． B． C．8 D．

【答案】A

【分析】根据线性回归方程的性质求出，由此可求.

【详解】由表格数据知：，，

因为数对满足，得，

∴，即，∴，∴x＝35时，.

故当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为.

故选：A.

10．已知直线与圆交于A，B两点，且，则k =（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】B

【分析】由，可知直线到圆心距离为，据此可得答案.

【详解】由图，可知，取AB中点为C，则由垂经定理可得，OC平分，故，即圆心到直线距离为，

则，结合，可得.

故选：B.

11．已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，计算，，根据勾股定理得到，计算表面积得到答案.

【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，

是中点，连接，如图所示：

，，则，四边形为矩形，

，，故，.

故选：C

12．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．

①当点P为中点时，异面直线于所成角为

②三棱锥中，点P到面的距离为定值

③过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为

④直线与面所成角的正弦值的范围为

以上命题为真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】建立空间坐标系，得到各点坐标，计算得到①正确，计算平面的法向量为，根据距离公式得到②正确，确定截面为，计算面积得到③正确，根据向量的夹角公式得到④正确，得到答案.

【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，

，，，，设，，

对①：，，故，正确；

对②：设平面的法向量为，则，取，得到，，点P到面的距离为，正确；

对③：如图所示，连接，则，平面，平面，故平面，同理平面，，故平面平面，故截面即为，为等边三角形，面积为，正确；

对④：，线与面所成角为，则，，故，正确.

故选：D

二、填空题

13．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值______．

【答案】

【分析】根据茎叶图可求得两组数据的中位数，进而构造方程求得的值.

【详解】由茎叶图可知：乙组数据的中位数为，

甲、乙两组数据的中位数相同，甲组数据的中位数为，即，解得：.

故答案为：.

14．已知点A在圆C：上，点B在直线上，则最小值是____.

【答案】

【分析】由题意可知最小值为圆心到直线的距离减去半径.

【详解】圆C：的圆心，半径，

圆心到直线的距离为：

，

由题意可知，

故答案为：.

15．下图为一个多面体的直观图和三视图，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞舞，则它飞入几何体EF-MBC内的概率为____.

【答案】##0.5

【分析】结合题目条件可得，.则蝴蝶飞入几何体EF-MBC内的概率为

【详解】由直观图可得，，

则.则蝴蝶飞入几何体EF-MBC内的概率为.

故答案为：.

16．已知实数x，y满足，则的最大值为______.

【答案】

【分析】利用几何意义转化为点到直线距离和两点距离之比，结合直线与圆的相切求解即可

【详解】不妨设点是圆上任一点，

则的几何意义为点到直线的距离，

过作的垂线，垂足为，则，

又表示点到原点的距离，

从而，

又直线与圆相切时，，解得，

所以当直线为圆的另一条切线时，最大，取最大值，

此时，

所以的最大值为，

故答案为：

三、解答题

17．已知的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．

(1)求BC边上的高所在直线的方程；

(2)求AB边的垂直平分线所在直线的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）BC边上的高所在直线过点A，且与直线BC垂直；

（2）AB边的垂直平分线过AB中点，且与直线AB垂直.

【详解】（1）边所在的直线的斜率，

因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．

又边上的高经过点，

所以边上的高所在的直线方程为，

即；

（2）边所在的直线的斜率，

所以边的垂直平分线的斜率为，

边中点E的坐标是，即，

所以AC边的垂直平分线的方程是

即．

18．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点．

(1)求证：；

(2)求证：平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，进而可得，又，则结论成立；

（2）利用线面平行的判定定理证明出面，由（1）可得面，再由面面平行的判定定理得出结论成立．

【详解】（1）平面，平面，；

四边形为正方形，；

平面，，平面，又平面，；

分别为的中点，，.

（2）四边形为正方形，且分别为，边的中点，，面，面，面，

由（1）知，面，面，面，又，平面平面．

19．某次人才招聘活动中，某公司计划招收600名新员工.由于报名者共2 000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取.现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如图:

已知图中左边四个小长方形的高度自左向右依次构成公比为2的等比数列.根据频率分布直方图解答以下问题:

(1)求m；

(2)估计此次笔试的平均成绩.

【答案】(1)

(2)67.1分

【分析】（1）根据频率和为1计算得到答案.

（2）根据平均数的公式计算得到答案.

【详解】（1）根据频率分布直方图各小长方形面积之和为1，

，解得.

（2）由频率分布直方图，得样本数据的平均值可估计为

，

此次笔试的平均成绩可估计为67.1分.

20．已知袋子中放有大小和形状相同，标号分别是0，1，2的小球，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球1个.从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b. 记“”为事件A．

(1)求事件A的概率；

(2)在区间内任取2个实数x，y，求事件“”恒成立的概率.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为，标号为2的小球记为2，再用坐标表示取球情况，可得取球总情况数，则；

（2）设事件“恒成立”为事件B，由题可得事件B等价于“恒成立”，又全部结果构成区域为，事件B所构成的区域，则所求概率为两区域面积之比.

【详解】（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为，标号为2的小球记为2，则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果：，

，，，共12种.其中满足“”的有，共4种.

故；

（2）设事件“恒成立”为事件B，因，故事件B等价于恒成立.又全部结果构成区域，事件B所构成的区域，如下图所示.

则.

21．如图，在直三棱柱中，，，为棱上一点，且，延长线段与交于点，连接．

(1)求证：平面平面；

(2)求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求出、，利用勾股定理可证得，再利用线面垂直的性质可得出，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）计算出，分析可得出，由此可得出，即可得解.

【详解】（1）证明：在直三棱柱中，，即，

所以，，则，则，

因为，所以，

在中，由余弦定理，可得，

所以，即．

因为平面，又平面，所以．

因为，所以平面．

又平面，所以平面平面．

（2）解：因为，

平面，且，则，

因为，且，

因为，平面，平面，则平面，

所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，设点到平面的距离为，

则.

22．平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在y轴的正半轴上，直线与圆相切．

(1)求圆的方程；

(2)设，过点作直线，交圆于P、Q两点，不在y轴上，过点作与直线垂直的直线，交圆于、两点，记四边形的面积为，求的最大值．

【答案】(1)

(2)7

【分析】(1)设圆心为(0,a)，a>0，结合直线与圆相切，计算出a＝2即可；

(2)假设直线方程，借助垂径定理计算出，结合两直线垂直关系同理可得，而，化简后借助基本不等式计算最大值即可.

【详解】（1）设圆心为(0,a)，a>0，则圆的方程为

∴，

∴a＝2，∴圆C的方程为；

（2）设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

（i）若，则直线斜率不存在，则，，则，

（ii）若，则直线得方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

综上所述，因为，所以S的最大值为7.