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    考向11 对数与对数函数(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
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    考向11 对数与对数函数(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)

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    这是一份考向11 对数与对数函数(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版),共27页。

    考向11 对数与对数函数
    【2022·全国·高考真题(文)】已知,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据指对互化以及对数函数的单调性即可知,再利用基本不等式,换底公式可得,,然后由指数函数的单调性即可解出.
    【详解】
    由可得,而,所以,即,所以.
    又,所以,即,
    所以.综上,.
    故选:A.
    【2022·全国·高考真题】设,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    构造函数, 导数判断其单调性,由此确定的大小.
    【详解】
    设,因为,
    当时,,当时,
    所以函数在单调递减,在上单调递增,
    所以,所以,故,即,
    所以,所以,故,所以,
    故,
    设,则,
    令,,
    当时,,函数单调递减,
    当时,,函数单调递增,
    又,
    所以当时,,
    所以当时,,函数单调递增,
    所以,即,所以
    故选:C.


    1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.
    2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、
    商、幂再运算.|
    3.,且是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
    4.识别对数函数图象时,要注意底数以1为分界:当时,是增函数;当时,是减函数.注意对数函数图象恒过定点,且以轴为渐近线.
    5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
    6.比较对数值的大小
    (1)若对数值同底数,利用对数函数的单调性比较
    (2)若对数值同真数,利用图象法或转化为同底数进行比较
    (3)若底数、真数均不同,引入中间量进行比较
    7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:
    (1)求出函数的定义域;
    (2)判断对数函数的底数与1的大小关系,当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时,若涉及其单调性,就必须对底数进行分类讨论;
    (3)判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性


    1.换底公式的两个重要结论
    (1)(2).其中,且,且.
    2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大
    3.对数函数,且的图象过定点,且过点,函数图象只在第一、四象限.

    1.对数式的运算
    (1)对数的定义:一般地,如果且,那么数叫做以为底的对数,记作,读作以为底的对数,其中叫做对数的底数,叫做真数.
    (2)常见对数:
    ①一般对数:以且为底,记为,读作以为底的对数;
    ②常用对数:以为底,记为;
    ③自然对数:以为底,记为;
    (3) 对数的性质和运算法则:
    ①;;其中且;
    ②(其中且,);
    ③对数换底公式:;
    ④;
    ⑤;
    ⑥,;
    ⑦和;
    ⑧;
    2.对数函数的定义及图像
    (1)对数函数的定义:函数 且叫做对数函数.
    对数函数的图象



    图象


    性质
    定义域:
    值域:
    过定点,即时,
    在上增函数
    在上是减函数
    当时,,当时,
    当时,,当时,



    1.(2022·全国·模拟预测)已知,,,则a,b,c的大小关系为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    利用指对互化以及指对函数的性质进行比较即可.
    【详解】
    由,,可得.
    故选:C.
    2.(2022·河南·模拟预测(文))已知,,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    分别判断出每个数的范围,然后比较即可.
    【详解】
    因为,,,所以.
    故选:D.
    3.(2022·全国·模拟预测(文))已知,用科学记数法表示为,则的值约为(       )
    A.8 B.9 C.10 D.11
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据题意得,再分析求解即可.
    【详解】
    因为,,所以,
    所以,所以,
    又无限接近于,所以.
    故选:B.
    4.(2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模(理))若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出下列三个函数:,,,则(       )
    A.,,为“同形”函数
    B.,为“同形”函数,且它们与不为“同形”函数
    C.,为“同形”函数,且它们与不为“同形”函数
    D.,为“同形”函数,且它们与不为“同形”函数
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据题中“同形”函数的定义和、均可化简成以3为底的指数形式,可得答案.
    【详解】
    解:,

    故,的图象可分别由的图象向左平移个单位、向右平移1个单位得到,
    故,,为“同形”函数.
    故选:A.
    5.(2022·山东·德州市教育科学研究院三模)已知对数函数的图像经过点与点,,,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据对数函数可以解得,,再结合中间值法比较大小.
    【详解】
    设,由题意可得:,则

    ,,

    故选:C.
    6.(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(文))已知函数,若,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    构建,根据奇偶性定义可证是定义在R上的奇函数,利用奇函数理解运算.
    【详解】
    令,
    ,是R上的奇函数,,即,
    又,所以.
    故选:A.
    7.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数,若是奇函数,则实数a=______.
    【答案】1
    【解析】
    【分析】
    利用奇函数的性质列方程求参数.
    【详解】
    由题意,,即,
    所以,化简得,解得.
    故答案为:1
    8.(2022·福建·三明一中模拟预测)写出一个满足对定义域内的任意x,y,都有的函数:___________.
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】
    【分析】
    利用对数的运算性质可知函数符合题意.
    【详解】
    若函数,则满足题意,
    故答案为:(答案不唯一)



    1.(2022·河南安阳·模拟预测(理))已知,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据给定条件,利用指数函数、对数函数单调性,借助“媒介”数比较作答.
    【详解】
    函数在上单调递增,,则,
    函数在R上单调递减,,,而,
    所以.
    故选:D
    2.(2022·青海·模拟预测(理))设,,,则a、b、c的大小关系为(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    利用指数函数、对数函数的性质,再借助“媒介”数比较大小作答.
    【详解】
    函数在上都是增函数,,即,,则,
    函数在R上单调递增,而,则,
    所以.
    故选:A
    3.(2022·江苏无锡·模拟预测)已知,则,,的大小为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据给定条件,构造函数,利用函数的单调性比较大小作答.
    【详解】
    令函数,当时,求导得:,
    则函数在上单调递减,又,,,
    显然,则有,所以.
    故选:C
    【点睛】
    思路点睛:某些数或式大小比较问题,探讨给定数或式的内在联系,构造函数,分析并运用函数的单调性求解.
    4.(2022·全国·模拟预测)“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量,其计算公式为,其中i表示所有可能的微观态,表示微观态i出现的概率,为大于0的常数.则在以下四个系统中,混乱程度最高的是(       )
    A. B.,
    C. D.,,
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    对选项逐一验证,分别计算系统的混乱程度,借助对数函数比较大小,计算得解.
    【详解】
    对选项逐一验证(不考虑负号和玻尔兹曼常数).
    A选项:系统的混乱程度;
    B选项:系统的混乱程度;
    C选项:系统的混乱程度;
    D选项:系统的混乱程度,所以,,,所以最小,从而C选项对应的系统混乱程度最高.
    故选:C.
    5.(2022·辽宁实验中学模拟预测)已知实数,满足,则的最小值为(       )
    A. B. C. D.不存在
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    由题设条件可得,从而利用换底公式的推论可得,代入要求最小值的代数式中,消元,利用均值不等式求最值
    【详解】

    又,则

    当且仅当即时取等号
    故选:A
    6.(2022·全国·模拟预测(理))已知,则下列结论正确的是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据不等式的性质,结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识,逐一分析各个选项,即可得答案.
    【详解】
    因为,所以,
    对于A:,,所以,故A错误;
    对于B:,所以在上为增函数,
    又,所以,故B错误;
    对于C:,
    因为,,所以,
    所以,故C错误;
    对于D:,
    因为,,
    所以,即,故D正确.
    故选:D
    7.(2022·北京·北大附中三模)已知函数,则不等式的解集是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    由可得,在同一坐标系中作出两函数的图象,即可得答案.
    【详解】
    解:依题意,等价于,
    在同一坐标系中作出,的图象,如图所示:


    如图可得的解集为:.
    故选:D.
    8.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)已知是奇函数,当时,,则的解集为(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    先求出函数的解析式,令,把原不等式转化为,利用单调性法解不等式即可得到答案.
    【详解】
    因为是奇函数,当时,;
    所以当时,;
    当时,则,所以.
    因为是奇函数,所以,所以.即当时,.
    综上所述:.
    令,则,所以不等式可化为:.
    当时,不合题意舍去.
    当时,对于.
    因为在上递增,在上递增,所以在上递增.
    又,
    所以由可解得:,即,解得:.
    故选:C
    9.(2022·全国·哈师大附中模拟预测(理))函数,其中,记,则(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    由条件结合对数运算性质可求,再结合倒序相加法求,利用裂项相消法求.
    【详解】
    ,∴


    ,∴

    故选:A.
    10.(2022·吉林·东北师大附中模拟预测(理))已知函数,若,且,则的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    由,可得,,得,所以,然后构造函数,利用可求出其单调区间,从而可求出其范围
    【详解】
    的图象如图,

    因为,
    所以,
    因为,
    所以,,
    所以,
    所以,
    所以,所以,
    所以,则,
    所以,
    令,则,
    当时,,
    所以在上递减,
    所以,
    所以,
    所以的取值范围为,
    故答案为:
    11.(2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))若,,,则的最小值为___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    由可得,变为,则可利用,结合基本不等式,即可求得答案.
    【详解】
    ∵,∴,,,∴,
    ∴,
    当且仅当,即,时取等号,
    ∴的最小值为,
    故答案为:
    12.(2022·云南师大附中模拟预测(理))给出下列命题:①;②;③;④,其中真命题的序号是______.
    【答案】①②④
    【解析】
    【分析】
    构造函数,借助函数的单调性分别比较大小即可.
    【详解】
    构造函数,所以,得,当时,;当时,,于是在上单调递增,在上单调递减. 对于①,,即,又,据的单调性知成立,故①正确;
    对于②,,因为,所以,即,又,据的单调性知成立,故②正确;
    对于③,
    ,即,又,据的单调性知成立,故③错误;
    对于④,
    ,即,又,据的单调性可知成立,故④正确.
    故答案为:①②④.
    13.(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知函数,若对任意,存在使得恒成立,则实数a的取值范围为____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    恒成立存在性共存的不等式问题,需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
    【详解】
    根据题意可得只需即可,由题可知a为对数底数且或.当时,此时在各自定义域内都有意义,由复合函数单调性可知在上单调递减,在上单调递减,所以,,所以,即,可得;当时,由复合函数单调性可知在上单调递减,在上单调递增,所以,,所以,即,可得.综上:.
    故答案为:.
    14.(2022·四川·内江市教育科学研究所三模(文))已知函数,数列是公差为2的等差数列,若,则数列的前项和___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    利用定义判断的奇偶性,并确定值域范围,根据已知条件易得,进而求出首项,根据等差数列前n项和公式求.
    【详解】
    由且定义域为R,
    所以为偶函数,而,当时等号成立,
    所以在R上恒成立,
    故要使,又是公差为2的等差数列,
    所以,则,故.
    故答案为:.
    【点睛】
    关键点点睛:判断函数的奇偶性,根据其对称性确定的数量关系.
    15.(2022·山西运城·模拟预测(文))若,则__________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】
    将变形为,换元整理为,
    构造函数,由单增得到即可求解.
    【详解】
    由,两边取以为底的对数,得,即.
    由,令,则,所以,即.
    设,则,所以在上单调递增.
    由以及,则,又,所以.
    故答案为:.



    1.(2022·全国·高考真题(文))已知,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据指对互化以及对数函数的单调性即可知,再利用基本不等式,换底公式可得,,然后由指数函数的单调性即可解出.
    【详解】
    由可得,而,所以,即,所以.
    又,所以,即,
    所以.综上,.
    故选:A.
    2.(2022·全国·高考真题)设,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    构造函数, 导数判断其单调性,由此确定的大小.
    【详解】
    设,因为,
    当时,,当时,
    所以函数在单调递减,在上单调递增,
    所以,所以,故,即,
    所以,所以,故,所以,
    故,
    设,则,
    令,,
    当时,,函数单调递减,
    当时,,函数单调递增,
    又,
    所以当时,,
    所以当时,,函数单调递增,
    所以,即,所以
    故选:C.
    3.(2022·浙江·高考真题)已知,则(       )
    A.25 B.5 C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据指数式与对数式的互化,幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出.
    【详解】
    因为,,即,所以.
    故选:C.
    4.(2021·天津·高考真题)设,则a,b,c的大小关系为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
    【详解】
    ,,
    ,,
    ,,
    .
    故选:D.
    5.(2020·全国·高考真题(理))若,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    将不等式变为,根据的单调性知,以此去判断各个选项中真数与的大小关系,进而得到结果.
    【详解】
    由得:,
    令,
    为上的增函数,为上的减函数,为上的增函数,

    ,,,则A正确,B错误;
    与的大小不确定,故CD无法确定.
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得到的大小关系,考查了转化与化归的数学思想.
    6.(2020·全国·高考真题(文))设,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据已知等式,利用指数对数运算性质即可得解
    【详解】
    由可得,所以,
    所以有,
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查的是有关指对式的运算的问题,涉及到的知识点有对数的运算法则,指数的运算法则,属于基础题目.
    7.(2019·天津·高考真题(理))已知,,,则的大小关系为
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    利用等中间值区分各个数值的大小.
    【详解】


    ,故,
    所以.
    故选A.
    【点睛】
    本题考查大小比较问题,关键选择中间量和函数的单调性进行比较.
    8.(2019·全国·高考真题(文))已知,则
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    运用中间量比较,运用中间量比较
    【详解】
    则.故选B.
    【点睛】
    本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.
    9.(2019·全国·高考真题(理))若a>b,则
    A.ln(a−b)>0 B.3a<3b
    C.a3−b3>0 D.│a│>│b│
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    本题也可用直接法,因为,所以,当时,,知A错,因为是增函数,所以,故B错;因为幂函数是增函数,,所以,知C正确;取,满足,,知D错.
    【详解】
    取,满足,,知A错,排除A;因为,知B错,排除B;取,满足,,知D错,排除D,因为幂函数是增函数,,所以,故选C.
    【点睛】
    本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.
    10.(2016·全国·高考真题(理))已知,,,则
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【详解】
    因为,,,
    因为幂函数在R上单调递增,所以,
    因为指数函数在R上单调递增,所以,
    即b 故选:A.
    11.(2018·天津·高考真题(文))已知,则的大小关系为
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【详解】
    分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
    详解:由题意可知:,即,,即,
    ,即,综上可得:.本题选择D选项.
    点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.
    12.(2016·全国·高考真题(文))已知,则
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【详解】
    因为,且幂函数在 上单调递增,所以b 故选A.
    点睛:本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题,解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间 );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用;三是借助于中间变量比较大小.
    13.(2016·全国·高考真题(文))若a>b>0,0<c<1,则
    A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb
    【答案】B
    【解析】
    【详解】
    试题分析:对于选项A,,,,而,所以,但不能确定的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B,,,两边同乘以一个负数改变不等号方向,所以选项B正确;对于选项C,利用在第一象限内是增函数即可得到,所以C错误;对于选项D,利用在上为减函数易得,所以D错误.所以本题选B.
    【考点】指数函数与对数函数的性质
    【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
    14.(2016·浙江·高考真题(理))已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=___,b=____.
    【答案】         
    【解析】
    【详解】
    试题分析:设,因为,
    因此
    指数运算,对数运算.
    在解方程时,要注意,若没注意到,方程的根有两个,由于增根导致错误
    15.(2015·北京·高考真题(文)),,三个数中最大数的是 .
    【答案】
    【解析】
    【详解】
    ,,,所以最大.



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