考向18 同角三角函数的基本关系与诱导公式（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（解析版）

考向18同角三角函数的基本关系与诱导公式

【2022·浙江·高考真题】设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为可得：

当时，，充分性成立；

当时，，必要性不成立；

所以当，是的充分不必要条件.

故选：A.

【2021·全国·高考真题】若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

1．同角三角函数关系在解题中的应用

（1）利用方程思想，对于，由公式，可以“知一求二”．对于，由下面三个关系式，可以“知一求二”．

（2）的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”求解．

2．诱导公式及应用

（1）诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；

②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．

（2）学会诱导公式的逆用，如等，再如，能将中的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．

（3）学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍．

1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．

2．“”方程思想知一求二．

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：．

（2）商数关系：；

2．三角函数诱导公式

【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．

1．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】.

故选：B.

2．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点在直线上，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得，则，

所以，

故选：A．

3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，，

故选：C.

4．（2022·全国·模拟预测）已知是角的终边上一点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】是角的终边上一点，由三角函数定义可得

，，

所以.

故选：C.

1．（2022·湖北·模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意求出，再将原式化简为：，求解即可.

【详解】

因为，所以，所以

.

故选：D.

2．（2022·全国·模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可

【详解】

因为，

所以，且，

所以，

所以，

所以．

故选：C．

3．（2022·全国·模拟预测（理））已知，，则（       ）

A．0 B． C． D．1

【答案】C

【解析】

【分析】

将已知两式平方相加可得，即得，由此求得，化简为 ，由二倍角公式可求得答案.

【详解】

因为，，

两式平方相加得： ，

即 ，即，

则，

故即，，即，

即，，即，

故，

故选：C

4．（2022·山东淄博·三模）已知，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.

【详解】

，

，

，

或，

由平方可得，即，

由平方可得，即，

因为，所以，，

综上，.

故选：C

5．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

将两边平方，可得，继而求得，再利用三角函数的二倍角余弦公式求得答案.

【详解】

因为，故，

所以，故x为第二或第四象限角，则，

故，即，

所以，

故选：D

6．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得答案.

【详解】

.

故选：A．

7．（2022·河北沧州·二模）若，则（       ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平方关系和正弦的二倍角公式弦化切，由求出代入可得答案.

【详解】

因为，所以，所以.

故选：D.

8．（2022·全国·模拟预测）若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【详解】

由已知等式可得，利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可化简所求式子为，由正余弦齐次式的求法可求得结果.

【分析】

，，

.

故选：A.

9．（2022·全国·模拟预测）若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由诱导公式、二倍角公式、同角三角函数基本关系化简后求解

【详解】

，

故选：A

10．（2022·江西赣州·二模（文））已知角终边上一点，则（       ）

A． B． C．3 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角函数的定义求出，再由诱导公式和同角关系化简条件并求其值.

【详解】

因为角终边上一点，

所以，

又，

故选：C.

11．（多选题）（2022·海南海口·二模）已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据商的关系化简条件可求，利用平方关系求，再由商的关系求，再利用，结合二倍角公式及同角三角函数关系求，.

【详解】

因为，

所以，又 ，

所以，，故A错误，B正确．

，

所以，

，

故C错误，D正确．

故选：BD.

12．（2022·上海黄浦·二模）设，．若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

由恒成立的等式可确定，；结合三角函数诱导公式的知识，分别讨论不同取值时对应的的取值，结合的范围可得结果.

【详解】

对任意实数都有，

与的最值和最小正周期相同，

，，即，，

①当，时，，，

又，或，则或；

②当，时，，；

又，或，则或；

③当，时，，，

又，或，则或；

④当，时，，；

又，或，则或；

综上所述：满足条件的有序实数组共有组.

故答案为：.

13．（2022·山西大附中三模（文））已知，且，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用平方关系求出，再利用二倍角的正弦公式即可得出答案.

【详解】

解：，，

又，，

，

，

.

故答案为：.

14．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知条件求出所以，利用两角差的正弦展开式可得，再根据三角函数的平方关系和商数关系可得答案.

【详解】

因为，，

所以，

所以

，所以，

，所以，

则.

故答案为：.

15．（2022·湖南师大附中三模）已知，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

由同角三角函数关系与三角恒等变换公式求解

【详解】

由题意得，而，

故，，

故.

故答案为：

16．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.

【详解】

解：．

故答案为：

17．（2022·江苏南通·模拟预测）若＝3，则＝________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据诱导公式二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可.

【详解】

故答案为：.

18．（2022·云南曲靖·二模（文））已知，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据诱导公式及同角三角函数基本关系求出，再由二倍角的余弦公式化简求值即可.

【详解】

，

，

.

故答案为：

19．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））已知，则________．

【答案】-2

【解析】

【分析】

利用，，即可求出答案.

【详解】

故答案为：-2.

1．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为可得：

当时，，充分性成立；

当时，，必要性不成立；

所以当，是的充分不必要条件.

故选：A.

2．（2021·全国·高考真题（文））（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，

.

故选：D.

3．（2021·全国·高考真题（文））若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

4．（2021·全国·高考真题）若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

5．（2020·全国·高考真题（理））已知，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又.

故选：A.

6．（2009·陕西·高考真题（理））若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

先由求出，再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子化简，即可得出结果.

【详解】

因为，所以，

因此.

故选：A.

7．（2015·福建·高考真题（文））若，且为第四象限角，则的值等于

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

∵sina=,且a为第四象限角,

∴，

则，

故选D.

8．（2017·全国·高考真题（文））已知，则．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【详解】

.

所以选A.

9．（2016·全国·高考真题（理））若 ，则

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】

【详解】

试题分析：由，得或，所以，故选A．

【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．

【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．

10．（2016·全国·高考真题（文））若 ，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

.

分子分母同时除以，即得：.

故选D.

11．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．

【答案】         

【解析】，∴，即，

即，令，，

则，∴，即，

∴ ，

则．

故答案为：；．

12．（2019·江苏·高考真题）已知，则的值是_____.

【答案】.

【解析】由，

得，

解得，或.

，

当时，上式

当时，上式=

综上，

13．（2015·四川·高考真题（文））已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.

【答案】－1

【解析】

【详解】

由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2

2sinαcosα－cos2α＝

考点：本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.