高中数学高考通用版2020版高考数学大一轮复习第6讲函数的奇偶性与周期性学案理新人教A版

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第6讲　函数的奇偶性与周期性


1.函数的奇偶性

偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有　　　　　　,那么函数f(x)是偶函数 
都有　　　　　　,那么函数f(x)是奇函数 
图像特征
关于　　　　对称 
关于　　　　对称 
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有　　　　　　　,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. 
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　,那么这个　　　　就叫作f(x)的最小正周期. 

常用结论
1.奇(偶)函数定义的等价形式:
(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数;
(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.
2.设f(x)的最小正周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;
(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2|a|;
(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.
3.对称性与周期性之间的常用结论:
(1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|.
4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:
(1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称;
(2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=a+b2对称;
(3)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点a+b2,0对称;
(4)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点a+b2,c2对称.



题组一　常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=1x+|x|中,偶函数的个数是　　　　. 
2.[教材改编] 若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是　　　　函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是　　　　函数. 
3.[教材改编] 已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x-1,则f(-2)=　　　　. 
4.[教材改编] 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log4(x2+4),则f(2019)=　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性不能有效变化;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域.
5.函数f(x)=lg(1-x2)|x+3|-3是　　　　函数.(填“奇”“偶”“非奇非偶”) 
6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线　　　　对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点　　　　成中心对称. 
7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-fx+32,且f(2)=2,则f(2018)=　　　　. 
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=　　　　　　　　　　　. 


探究点一　函数奇偶性及其延伸
微点1　函数奇偶性的判断
例1 (1)[2018·杭州模拟] 设函数f(x)=2ax-1+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.与a无关,且与b无关
B.与a有关,且与b有关
C.与a有关,但与b无关
D.与a无关,但与b有关
(2)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是 (　　)
①f(x)=1-x1+x;②f(x)=log3(x2+1+x);
③f(x)=x2-1,x0;④f(x)=x2+cos x.
A.1,1 B.2,2
C.3,1 D.2,1
 
 
 
[总结反思] 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
微点2　函数奇偶性的应用
例2 (1)[2018·北京东城区模拟] 若函数f(x)=3·e|x-1|-sin(x-1)e|x-1|在区间[-3,5]上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q的值为 (　　)
A.2 B.1
C.6 D.3
(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 利用函数奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.
(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值.
微点3　奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说其他对称性问题)
例3 (1)[2018·广东七校联考] 已知定义域为R的函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是 (　　)
A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2)
C.f(1)>f(2) D.f(1)>f(3)
(2)设函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,f(3)=0,且g(x)=f(x+1)为偶函数,则不等式g(2-2x)0且a≠1,对任意的实数λ,函数f(x)=ax+λa-x不可能 (　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
3.【微点3】[2018·吕梁模拟] 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,若f(-2)=1,则满足f(x-2)≤1的x的取值范围是 (　　)
A.[-2,2]
B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[4,+∞)
D.[0,4]
4.【微点2】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=　　　　　　. 
5.【微点2】若函数f(x)=kx+log3(1+9x)为偶函数,则k=　　　　. 
探究点二　函数的周期性及其应用
例4 (1)已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),当x∈(0,π)时,f(x)=2sinx2,则f19π3=(　　)
A.12 B.32
C.1 D.3
(2)[2018·山西45校联考] 函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),若在区间[-1,1]上f(x)=ax+2,-1≤x≤0,(a-2x)ex,0