高中数学高考数学-6月大数据精选模拟卷02(江苏卷)(临考预热篇)(解析版)
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这是一份高中数学高考数学-6月大数据精选模拟卷02(江苏卷)(临考预热篇)(解析版),共14页。试卷主要包含了测试范围,若,,,则 等内容,欢迎下载使用。
数学-6月大数据精选模拟卷02(江苏卷)(临考预热篇)数学(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.测试范围:高中全部内容。 一、填空题:本题共14个小题,每题5分,满分70分.1.已知集合,,则 .【答案】【解析】由得或,所以或 ,因为所以.2.已知复数是虚数单位),则的实部为 .【答案】【解析】因为,所以实部为.3.已知双曲线的焦距为10,则= .【答案】4【解析】因为双曲线的焦距为10,所以,因为所以又,所以4.某单位A,B,C三个部门的 人数分别为240,80,160,为了他们在某APP平台上的学习情况,用分层抽样的方法从中抽取容量为36的样本,则应从B部门中抽取的人数为 .【答案】6【解析】由题意得,应从B部门中抽取的人数为.5.执行如图所示的伪代码,则输出的结果为_________.【答案】【解析】根据程序伪代码,列举出程序的每一步,即可得出输出结果.当时,,;当时,,;当时,,;当时,,;当时,,.不满足,输出的值为.故答案为:.6.某学校高三年级有、两个自习教室,甲、乙、丙名学生各自随机选择其中一个教室自习,则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________.【答案】【解析】由题意可知,甲、乙、丙名学生各自随机选择其中一个教室自习共有种,甲、乙两人不在同一教室上自习,可先考虑甲在、两个自习教室选一间教室自习,然后乙在另一间教室自习,则丙可在、两个自习教室随便选一间自习教室自习,由分步计数原理可知,有种选择.因此,甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为.故答案为:.7.若,,,则 .【答案】﹣1【解析】由,得, 所以或 得或 因为,,则,所以.8.已知等差数列的前项和为,,,则的值为_________.【答案】【解析】设等差数列的公差为,则,解得,因此,.故答案为:. 9.如右图,在体积为12的三棱锥A—BCD中,点M在AB上,且AM=2MB,点N为 CD的中点,则三棱锥C—AMN的体积为 .【答案】4【解析】由题意可得VC—AMN=VA—BCD=4.10.已知函数是定义在上的奇函数,其图象关于直线对称,当时,(其中是自然对数的底数),若,则实数的值为_____.【答案】3【解析】由题意得: ,,解得:11.如图,在中,是上的两个三等分点,,则的最小值为____.【答案】【解析】.12.已知是的垂心(三角形三条高所在直线的交点),,则的值为_______.【答案】【解析】因为是的垂心,所以,因为,且,所以,所以,同理,即,所以,所以.故答案为:.13.已知集合,集合,若,则的最小值为___________.【答案】4【解析】画出集合的图象如图所示:第一象限为四分之一圆,第二象限,第四象限均为双曲线的一部分,且渐近线均为,所以,所求式为两直线之间的距离的最小值,所以,与圆相切时最小,此时两直线间距离为圆半径4,所以最小值为4.故答案为:4. 14.设函数,,其中.若恒成立,则当取得最小值时,的值为______.【答案】【解析】方法一:所以当且仅当,时,上述等号成立,所以取最小值时,.方法二:由对称性可知,最小时,,且所以,即,则.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)已知向量 (1)若a∥b,求x的值; (2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.(2).因为,所以,从而.于是,当,即时,取到最大值3;当,即时,取到最小值.16.(本题满分14分)如图,在三棱锥中,,分别为棱的中点,平面平面.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面. 【解析】(1)在中,因为M,N分别为棱PB,PC的中点, 所以MN// BC. 又MN平面AMN,BC平面AMN, 所以BC//平面AMN.(2)在中,因为,M为棱PB的中点,所以. 又因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB平面PBC,平面PAB, 所以平面PBC 又平面AMN,所以平面AMN⊥平面PBC. 17.(本题满分14分)如图,直线l是湖岸线,O是l上一点,弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥,C为湖岸线l上一观景亭.现规划在湖中建一小岛D,同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A,B重合)建栈桥.考虑到美观需要,设计方案为DP=DC,∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部.已知BC=2OB=2(km).设湖岸BC与直线栈桥CD,DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2),∠BOP=θ.(1) 求S关于θ的函数关系式;(2) 试判断S是否存在最大值,若存在,求出对应的cosθ的值;若不存在,说明理由.【解析】 (1) 在△COP中,CP2=CO2+OP2-2CO·OPcosθ=10-6cosθ,从而△CDP的面积S△CDP=CP2=(5-3cosθ).因为△COP的面积S△COP=OC·OPsinθ=sinθ,所以S=S△CDP+S△COP-S扇形OBP=(3sinθ-3cosθ-θ)+,0<θ≤θ0<π,cosθ0=.(注:定义域2分.当DP所在直线与半圆相切时,设θ取得最大值θ0,此时在△COP中,OP=1,OC=3,∠CPO=30°,CP=,由正弦定理得=6sinθ0,cosθ0=.)(2) 存在.S′=(3cosθ+3sinθ-1),令S′=0,得sin=.当0<θ<θ0时,S′>0,所以当θ=θ0时,S取得最大值.(或者:因为0<θ<π,所以存在唯一θ0∈,使得sin=.当0<θ<θ0<π时,S′>0,所以当θ=θ0时,S取得最大值.)此时cos=-,cosθ0=cos[(θ0+)-]=.18.(本题满分16分)已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,左顶点为A(-3,0),圆心在原点的圆O与椭圆的内接△AEF的三条边都相切.(1) 求椭圆方程;(2) 求圆O方程;(3) B为椭圆的上顶点,过B作圆O的两条切线,分别交椭圆于M,N两点,试判断并证明直线MN与圆O的位置关系. 【解析】(1) 由题意可知=,a=3,得c=,因为a2=b2+c2,所以b2=,故椭圆的标准方程是+=1.(2) 设直线AE的方程:y=k(x+3),点E(x1,y1),由可得(4k2+1)x2+24k2x+36k2-9=0.因为-3+x1=-,得x1=,代入直线y=k(x+3),得y1=,所以E.同理可得F.根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离.可得=||=r,解之得k2=,从而r2=1,所以圆O的方程为x2+y2=1.(3) 设直线BM的方程为y=kx+,因为直线BM与圆O相切,所以d=r,解得k=±.当k=,lBM:y=x+,由可得x2+x=0,所以M(-,-1).同理可得N(,-1),可得直线MN方程是y=-1,直线MN与圆O的位置关系是相切.19.(本题满分16分)定义:若无穷数列满足是公比为的等比数列,则称数列为“数列”.设数列中(1)若,且数列是“数列”,求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,且,请判断数列是否为“数列”,并说明理由;(3)若数列是“数列”,是否存在正整数,使得?若存在,请求出所有满足条件的正整数;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可得,由数列为“数列”可得,即,则是公比为1的等比数列,即,则是首项为1,公差为3的等差数列,;(2)是“”数列,, 理由如下:时,由,可得,两式作差可得即,则,两式作差可得,即,由,可得,则,则对任意成立,则为首项是,公比为3的等比软列,则为数列;(3)由是数列,可得是公比为2的等比数列,即,则,由,可得,则,则,则,若正整数满足,则,由,则,则,若,则,不满足,若,则,则,即,则,则正整数,则;因此存在满足条件的. 20. (本题满分16分)已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;(2)若的导函数存在两个不相等的零点,求实数的取值范围;(3)当时,是否存在整数,使得关于的不等式恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,说明理由.【解析】(1),因为曲线在点处的切线方程为,所以,得(2)因为存在两个不相等的零点. 所以存在两个不相等的零点,则. ①当时,,所以单调递增,至多有一个零点. ②当时,因为当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以时,. 因为存在两个零点,所以,解得.因为,所以.因为,所以在上存在一个零点. 因为,所以.因为,设,则,因为,所以单调递减,所以,所以,所以在上存在一个零点.综上可知,实数的取值范围为.(3)当时,,,设,则.所以单调递增,且,,所以存在使得,因为当时,,即,所以单调递减;当时,,即,所以单调递增,所以时,取得极小值,也是最小值,此时,因为,所以,因为,且为整数,所以,即的最大值为. 数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.求实数a,b的值. 【解析】设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′,y′),则==,所以因为x′2+y′2=1,所以(ax)2+(bx+y)2=1,即(a2+b2)x2+2bxy+y2=1,所以由于a>0,得a=b=1.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数,).在曲线上点,使点到的距离最小,并求出最小值.【解析】由,及,,所以的直角坐标方程为. 在曲线上取点,则点到的距离,当时,取最小值,此时点的坐标为.C.[选修4-5;不等式选讲](本小题10分)已知正数满足,求的最小值.【解析】因为都为正数,且,所以由柯西不等式得,,当且仅当时等号成立,所以的最小值为3. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,是圆柱的两条母线,分别经过上下底面的圆心是下底面与垂直的直径,.(1)若,求异面直线与所成角的余弦值;(2)若二面角的大小为,求母线的长.【解析】(1)以为原点,射线方向为轴、轴,轴正方向建系,由,,则,则,设与所成角为,则;(2)设,同第一问建系,则,则,则,平面平面,平面,平面,则即为二面角的平面角,则,则,则,则,则母线长为. 23.(本小题满分10分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点(2,1),直线l过点P(0,-1)与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A′,连结A′B.(1) 求抛物线C的标准方程;(2) 问直线A′B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 【解析】(1) 将点(2,1)代入抛物线x2=2py的方程,得p=2,所以,抛物线C的标准方程为x2=4y.(2) 设直线l的方程为y=kx-1,又设A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(-x1,y1),由得x2-4kx+4=0,则Δ=16k2-16>0,x1·x2=4,x1+x2=4k,所以kA′B===,于是直线A′B的方程为y-=(x-x2),所以y=(x-x2)+=x+1,当x=0时,y=1,所以直线A′B过定点(0,1).
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