【中考专题】专题08 一次不等式（组）及其应用（全国通用）（解析版）

专题二   方程与不等式

04  一次不等式（组）及其应用

考点1：不等式及其性质

（1）不等式的相关概念：

①不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.

②不等式的解：使不等式成立的未知数的值.

③不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.

（2）不等式的性质：

①性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；

②性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；

③性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，<.（注意同乘或同除于一个负数不等号的方向发生改变）

典例1-1：根据不等式的性质，下列变形正确的是　　

A．由得 B．由得 

C．由得 D．由得

解；、，时，，故不符合题意；、由得，故符合题意；

、由得，故不符合题意；、由得，故不符合题意；故选：．

【变式1】（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）

A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n

【解答】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；

B、﹣mn，∴不符合题意；

C、m﹣n＞0，∴不符合题意；

D、∵m＞n，

∴﹣2m＜﹣2n，

∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；

故选：D．

【变式2】（2022·济南·模拟预测）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

解；由数轴可得，

，，，，

∵，，∴，故选项A正确；

∵，∴，则，故选项B错误；

∵，∴，故选项C错误；

∵，，∴，故选项D错误；

故选：A．

【变式3】对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）

A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3

解：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；

在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

故选B．

考点2：一元一次不等式解法及其解集表示

（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1（注意变号问题）.

（2）解集在数轴上表示:

      x≥a           x＞a          x≤a             x＜a

典例2-1：关于x的一元一次不等式的解集为x≥4，则m的值为（　　）

A．14 B．7 C．﹣2 D．2

解：≤﹣2，

m﹣2x≤﹣6，

﹣2x≤﹣m﹣6，

x≥m+3，

∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，

∴m+3=4，

解得m=2．

故选：D．

【变式1】（2022·齐齐哈尔·二模）下列说法错误的是（    ）

A．不等式的解集是

B．不等式的整数解有无数个

C．不等式的整数解是0

D．是不等式的一个解

【详解】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；

B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；

C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；

D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．

故选：C．

【变式2】已知不等式组的整数解有三个，则的取值范围是　　

A．1＜a≤2 B．2≤a＜3 C． D．1≤a＜2

【解答】解：不等式组的整数解有三个，1≤a＜2，故选：．

【变式3】（2022·绍兴·预测）关于的不等式的解集如图所示，则a的值为（   ）

A．1 B． C．-1 D．

解：根据图示知，原不等式的解集是：x≤-1；

又∵3x-2a≤-2，

∴x≤，

∴=-1，

解得，a=-；

故选D．

考点3：一元一次不等式组的解法及解集表示

（1）解法：先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

（2）解集表示：一元一次不等式组解集的四种情况，如下表：

典例3-1：不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C．  D．

解：

∵解不等式①得：x＜1，

解不等式②得：x≥﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1，

在数轴上表示为：，

故选：A．

【变式1】（2022·福建省泉州实验中学三模）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（    ）

A． B． C． D．

解：由数轴得，不等式组解集为：，

A、，

解不等式①得：x＞1，

解不等式②得：x≤－2，

故不等式组无解，不符合题意；

B、，

解不等式①得：x≤1，

解不等式②得：x＜－2，

故不等式组解集为： x＜－2，不符合题意；

C、，

解不等式①得：x≥－1，

解不等式②得：x＜2，

故不等式组解集为：－1≤x＜2，不符合题意；

D、，

解不等式①得：x＞－1，

解不等式②得：x≤2，

故不等式组解集为：－1＜x≤2，符合题意，

故选：D．

【变式2】（2020·兰州中考）不等式组的解集为______

【答案】

【变式3】（2022·济宁·中考真题）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（  ）

A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2

C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2

解：

由①得，

由②得，

因不等式组有3个整数解

故选：D．

【变式4】（2020·济南中考）解不等式组：，并写出它的所有整数解．

解：，

解不等式①得：x≤1，

解不等式②得：x＞﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，

∴不等式组的所有整数解为0，1

考点4：一元一次不等式的实际应用

（1）一般步骤

审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.

（2）应用不等式解决问题的情况

①关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；

②隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案

典例4-1：某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．

（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？

（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？

解：（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，

根据题意，得：，

解得：，

答：每台A型电脑的价格为3500元，每台B型打印机的价格为1200元；

（2）设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为（a﹣1）台，

根据题意，得：3500（a﹣1）+1200a≤20000，

解得：a≤5，

答：该学校至多能购买5台B型打印机．

【点评】本题主要考查一元一次不等式与二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程组与不等式．

【变式1】（2022·福建三明·三模）某运输公司要将200吨的货物运往某地，准备用A，B两种型号的汽车共12辆参与运货．已知A型汽车每辆可装货物20吨，B型汽车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况下，要把这200吨货物一次性装运完成，至少要安排几辆A型汽车？设安排辆A型货车参与运货，可得不等式为______．

解：设安排辆A型货车参与运货，

由题意可得：，

故答案为：．

【变式2】为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．

（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？

（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？

解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，

根据题意，得：，

解得：，

答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；

（2）由（1）知A．B型车辆的数量比为3：2，

设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，

根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，

解得：a≥1000，

即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，

则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×=3辆、至少享有B型车2000×=2辆．

【变式3】（2020·贵港中考）在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了、两种不同型号的口翠，已知型口罩的单价比型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买型口罩的数量与用5000元购买型口罩的数量相同．

（1）、两种型号口罩的单价各是多少元？

（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买型口罩数量是型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买型口罩的数量最多是多少个？

解：（1）设型口罩单价为元/个，则型口罩单价为元/个，

根据题意，得：，解方程，得，

经检验：是原方程的根，且符合题意，∴（元），

答：型口罩单价为4元/个，型口罩单价为2.5元/个；

（2）设增加购买型口罩的数量是个，则增加购买型口罩数量是2个，

根据题意，得：，

解不等式，得：，

∵为正整数，∴正整数的最大值为422，

答：增加购买型口罩的数量最多是422个．

【变式4】（2022·内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．

(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？

(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？

(3)学校租车总费用最少是多少元？

（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，

根据题意得：30x+7＝31x﹣1，

解得x＝8，

∴30x+7＝30×8+7＝247，

答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；

（2）师生总数为247+8＝255（人），

∵每位老师负责一辆车的组织工作，

∴一共租8辆车，

设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，

根据题意得：，

解得3≤m≤5.5，

∵m为整数，

∴m可取3、4、5，

∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；

（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，

由（2）知：3≤m≤5.5，

设学校租车总费用是w元，

w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，

∵80＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），

答：学校租车总费用最少是2800元．

巩固训练

一、选择题

1．(2022·厦门质检)已知a，b，c都是实数，则关于三个不等式：a＞b，a＞b＋c，c＜0的逻辑关系的表述，下列正确的是(　　)

A．因为a>b＋c，所以a＞b，c＜0

B．因为a＞b＋c，c＜0，所以a＞b

C．因为a＞b，a＞b＋c，所以c＜0

D．因为a＞b，c＜0，所以a＞b＋c

2.(2022·广东省卷)不等式3x－1≥x＋3的解集是(　　)

A．x≤4    B．x≥4    C．x≤2   D．x≥2

3．(2022·南充)不等式x＋1≥2x－1的解集在数轴上表示为(　　)

4．(2022·孝感)下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是(　　)

A.     B.        C.      D.

5．(2022·泉州质检)不等式组的解集在数轴上表示为(　　)

6．(2022·娄底)不等式组的最小整数解是(　　)

A．－1     B．0    C．1    D．2

7. (2022·荆门)已知关于x的不等式3x－m＋1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是(　　)

A．4≤m＜7    B．4＜m＜7  C．4≤m≤7  D．4＜m≤7

8．(2022·泰安)不等式组有3个整数解，则a的取值范围是(　　)

A．－6≤a＜－5       B．－6＜a≤－5 

C．－6＜a＜－5       D．－6≤a≤－5

9．(2022·德阳)如果关于x 的不等式组的整数解仅有x＝2、x＝3，那么适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对(a，b)共有(　　)

A.3个     B．4个     C．5个      D．6个

10．(2022·重庆A卷)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＋＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为(　　)

A. －3     B. －2     C. 1     D. 2

二、填空题

11．(2022·黔南州)不等式组的解集是________.

12．(2022·攀枝花)关于x的不等式－1＜x≤a有3个正整数解，则a的取值范围是________．

13．(2022·菏泽)不等式组的最小整数解是________．

14．(2017·烟台)运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否<18”为一次程序操作，若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．

15．(2022·山西)2022年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高之和不超过115 cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20  cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为________ cm.

三、解答题

16．(2022·北京)解不等式组：

17．(2022·东营)解不等式组：并判断－1，这两个数是否为该不等式组的解．

18．(2022·重庆A卷节选)在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？

19．(2022·泉州质检)某公交公司决定更换节能环保的新型公交车，购买的数量和所需费用如下表所示：

(Ⅰ)求A型和B型公交车的单价；

(Ⅱ)该公司计划购买A型和B型两种公交车共10辆，已知每辆A型公交车年均载客量为60万人次，每辆B型公交车年均载客量为100万人次，若要确保这10辆公交车年均载客量总和不少于670万人次，则A型公交车最多可以购买多少辆？

20．(2022·安顺)某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1 600万元．

(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．

21．(2022·资阳)为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分．

(1)若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？

(2)经预算，绿化区的改建费用平均每亩35 000元，休闲区的改建费用平均每亩25 000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？

22．(2022·广安)某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.

(1)求今年A型车每辆车的售价；

(2)该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A，B型车进货价格分别是1 100元、1 400元，今年B型车的销售价格是2 000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？

23. (人教七上P72活动2改编)红星中学初一(1)班学生到某风景区旅游，门票每人30元，50人以上(不含50人)的团体票可享受8折优惠，列式表示买n张门票所需要钱数(注意对n的大小要有所考虑)，请同学们讨论下面的问题：

(1)按这种门票规定，会不会出现多买比少买反而付钱少的情况？

(2)若到该风景区旅游学生人数不足50人，请问哪种购买方式比较优惠？

24．(2022·锦州)为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个．

(1)求每辆大客车和每辆小客车的座位数；

(2)经学校统计，实际参加活动的人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？

25．(2022·贺州)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．

(1)求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？

(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行车的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？

26．(2022·昆明)(列方程(组)及不等式解应用题)

水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费)；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．(注：污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数)

(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？

(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？

27．(2022·绵阳)有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．

(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？

(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元．请问货运公司如何安排车辆最节省费用

参考答案

【基础训练】

1．D　2.D　3.B　4.B　5.C　6.B　7.A　8.B　9.x<3　10.3≤a＜4　11．D　

12．C　【解析】 解不等式得由于不等式有且只有四个整数解，根据题意得

第12题解图

A点为，则0＜≤1，解得－2＜a≤2.解分式方程＋＝2，得y＝2－a，又需满足分式方程的解为非负数的情况，故a≤2且a≠1.结合不等式组的结果得a的取值范围为－2＜a≤2且a≠1，又因为a为整数，所以a的取值为－1，0，2 ，和为1.

13.  0　
14.  x<8　

15.  55

16．－2＜x＜3.

17．不等式组的解集为－3＜x≤1.∵－1在这个解集内，不在这个解集内，

∴－1是该不等式组的解，而不是该不等式组的解．

18．答：道路硬化的里程数至少是40千米．

19．(Ⅰ)答：A型和B型公交车的单价分别为100万元，150万元．

(Ⅱ)答：A型公交车最多可以购买8辆．

20．(1)答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.

(2)答：2017年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．

21．(1)答：改建后的绿化区面积为135亩，休闲区面积为27亩．

(2)答：绿化区的面积最多可以达到145亩．

22．(1)答：今年A型车每辆的售价为1 600元．

(2)答：当购进A型车15辆，B型车30辆时，所得利润最大，最大利润是25 500元．

23．解：(1)会，理由如下：当n＜50时，需要的钱数是30n元．

当n>50时，需要的钱数是：30×0.8n＝24n(元)．

当n＝50时，需要的钱数是30×50＝1 500(元)．

由24n<1 500，得n<62.5，

则50<n≤62时，会出现多买比少买反而付钱少的情况；

(2)设到该风景区旅游的学生人数为x人，

旅游学生人数不足50人，若按团体票购买的话至少买51张票才可享受优惠，可分两种情况讨论．

当51×30×0.8<30x，解得x>40.8，即当旅游人数至少有41人，购买团体票比较优惠．

当51×30×0.8>30x，解得x<40.8，即当旅游人数小于41人时，按实际人数购票比较优惠．

24．解：(1)设每辆小客车的座位数是x个，每辆大客车的座位数是y个，根据题意可得：

，

解得：.

答：每辆大客车的座位数是40个，每辆小客车的座位数是25个；

(2)设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装满，则25a＋40(10－a)≥310＋40，

解得：a≤3，

符合条件的a最大整数为3.

答：最多租用小客车3辆．

25．解：(1)设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆．

根据题意得：，

解得：.

答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1 500元/辆．

(2)设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车(130－m)辆，

根据题意得：260(130－m)＋1 500m≤58 600，

解得：m≤20.

答：至多能购进B型车20辆．

26．解：(1)设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元．

根据题意得，

解得：.

答：每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元．

(2)设该用户7月份可用水t立方米(t＞10)，

10×2.45＋(t－10)×4.9＋t≤64，

解得：t≤15.

答：如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水15立方米．

27．解：(1)设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨．根据题意得：

，解得：.

答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨．　

(2)设安排大货车m辆，则小货车(10－m)辆，根据题意

得4m＋1.5(10－m)≥33，

解得m≥7.2；又∵m≤10，

即7.2≤m≤10.

∵m为整数，

∴m的值为8，9，10.

当m＝8时，总费用为8×130＋2×100＝1240(元)；

当m＝9时，总费用为9×130＋1×100＝1270(元)；

当m＝10时，总费用为10×130＝1300(元)．

∴当安排大货车8辆，小货车2辆时费用最省，最小费用为1240元．