【全套】中考数学专题第6关 以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题（解析版）

这是一份【全套】中考数学专题第6关 以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题（解析版），共15页。

所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力. 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.
【解题思路】
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.
【典型例题】
【例1】（2019·湖南中考真题）从，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中，且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有，则的最大值（ ）
A．10B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】找出的值，结合对于任意的和都有，即可得出的最大值．
【详解】解：∵，，，
∴共有5个不同的值．
又∵对于任意的和都有，
∴的最大值为5．
故选：C．
【名师点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，找出共有几个不同的值是解题的关键．
【例2】（2020·四川绵阳实中、绵阳七中初三月考）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：；
；
；
根据以上信息，完成下面计算：
_______．
【答案】
【解析】根据题目材料，可得复数计算方法，先去括号，再进行加减运算.
【详解】解：
．
故答案为：．
【名师点睛】
本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的混合运算.
【例3】（2019·湖南中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为P是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号）
【答案】①②④
【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点，则，由勾股定理可得，和，所以四边形PMNQ是广义菱形．④正确；
【详解】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点，则，
∴，，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确；
故答案为：①②④；
【名师点睛】
本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．
【例4】(2018新疆中考)如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．
【答案】②③
【解析】分析：①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；
③利用配方法可找出抛物线y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．
此题得解．
详解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＜0时，M=y1，
∴M随x的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，
解得：x1=2-2（舍去），x2=2+2；
当M=y2=2时，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．
【名师点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
【方法归纳】阅读试题提供新定义、新定理，根据所给的内容类比解决新问题 ；阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题；阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供新的方法或新的知识，并灵活运用这些新方法或新知识，去分析、解决类似的或相关的问题。
【针对练习】
1．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（ ）
A．[x]=x（x为整数）B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）
【答案】C
【详解】
解决本题的关键就是理解新定义的含义.当x=5.5，y=4.6时，[x+y]=[10.1]=10，[x]+[y]=5+4=9，则[x+y]＞[x]+[y]，则C选项错误.
2．（2018·湖南中考真题）已知: [x]表示不超过x的最大整数，例: [3.9]=3,[-1.8]=-2，令关于k的函数f(k)=[k+14]-[k4] (k是正整数)，例：f(3)=[3+14]-[34]=1，则下列结论错误的是（ ）
A．f(1)=0B．f(k+4)=f(k)
C．f(k+1)≥f(k)D．f(k)=0或1
【答案】C
【详解】
A. f1=1+14-14=0-0=0，故A选项正确，不符合题意；
B. fk+4=k+4+14-k+44=1+k+14-1+k4=k+14-k4，fk=k+14-k4，
所以fk+4=fk，故B选项正确，不符合题意；
C. fk+1=k+1+14-k+14=k+24-k+14，fk= k+14-k4，
当k=3时，f3+1=3+24-3+14=0，f3= 3+14-34=1，
此时fk+1D.设n为正整数，
当k=4n时，fk=4n+14-4n4=n-n=0，
当k=4n+1时，fk=4n+24-4n+14=n-n=0，
当k=4n+2时，fk=4n+34-4n+24=n-n=0，
当k=4n+3时，fk=4n+44-4n+34=n+1-n=1，
所以fk=0或1，故D选项正确，不符合题意，
故选C.
3．（2019·湖南中考真题）已知点到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为_______．
【答案】
【解析】
【详解】
当时，，即点在直线上，
因为点到直线的距离为：，
因为直线和平行，
所以这两条平行线之间的距离为．
故答案为．
4．（2019·广西中考真题）定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（ ）
A．﹣6B．6C．5D．﹣5
【答案】C
【详解】
解：∵
∴复数的实部是，虚部是，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5．（2018·山东中考真题）规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，向量可以用点的坐标表示为：.已知：，，如果，那么与互相垂直.
下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】
A. 与互相垂直.
B. ,不垂直.
C. ,不垂直.
D. ,不垂直.
故选A.
6．定义运算：a⊗b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①2⊗（﹣2）=6，
②a⊗b=b⊗a，
③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab，
④若a⊗b=0，则a=0或b=1，
其中结论正确的序号是（ ）
A．①④B．①③C．②③④D．①②④
【答案】A
【详解】
根据题目中的新定义计算方法可得，①2⊗（﹣2）=2×（1+2）=6，①正确；②a⊗b=a（1﹣b）=a﹣ab，b⊗a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，②错误；③（a⊗a）+（b⊗b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，③错误；④若a⊗b=a（1﹣b）=0，则a=0或b=1，④正确，故答案选A
7．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2， 4}=4，按照这个规定，方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解,解分式方程一定注意要验根．根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x=，去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；当x＞﹣x,即x＞0时，所求方程变形得：x=，即x2﹣2x=1，解得：x=1+或x=1﹣（舍去），经检验x=﹣1与x=1+都为分式方程的解．故选D.
8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：如果的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称的最佳分解，并规定：这三种，这时就有给出下列的说法：（4）若n是一个完全平方数，则．其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
解：（1）2可以分解成1×2，所以F(2)，故本选项正确；
（2）24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，所以F(24)，故本选项错误；
（3）27可以分解成1×27，3×9这两种，所以F(27)，故本选项错误；
（4）若n是一个整数的平方，则F（n）=1，故本选项正确；
所以正确的说法是（1）、（4），故选B
9．（2019·绍兴市越城区马山中学初一期中）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（ ）
A．-7.5B．7.5C．5.5D．-5.5
【答案】A
【详解】
解：∵，
∴，，，……
∴这个数列以-2，，依次循环，且，
∵，
∴，
故选：A．
10．（2016·四川中考真题）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.
例如：，.
则下列结论：
①；
②；
若，则的取值范围是；
当时，的值为、、.
其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）.
【答案】①③.
【详解】
由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；
②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]+[-x]=2-3=-1,故②错误；
③中，若[x+1]=3,则x+1要满足x+1≥3,且x+1<4,解得x≥2,且x<3,故③正确；
④中，当-1≤x<1时，在取值范围内验证此式的值为1,2.故④错误；
所以正确的结论是①③.
11．（2018·湖南中考真题）阅读材料：若ab=N，则b=lgaN，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则lg28=lg223=3．根据材料填空：lg39=_____．
【答案】2
【详解】
∵32=9，
∴lg39=lg332=2．
故答案为2．
12．（2019·湖北中考真题）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．
【答案】．
【详解】
依题意得：
解得．
故答案是：．
13．（2019·湖南中考真题）阅读材料：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，则x1•y2＝x2•y1，根据该材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，则m＝_____.
【答案】6
【解析】∵＝（4，3），＝（8，m），且∥，
∴4m＝3×8，
∴m＝6
故答案为6
14．（2018·湖南中考真题）对于任意大于0的实数x、y，满足：lg2（x•y）＝lg2x+lg2y，若lg22＝1，则lg216＝_____．
【答案】4．
【详解】∵lg2(x•y)＝lg2x+lg2y，
∴lg216= lg2(2×2×2×2)＝lg22+ lg22+ lg22+ lg22，
∵lg22＝1，
∴lg216=1+1+1+1=4，
故答案为4．
15．（2018·湖南中考真题）设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.
【答案】4035
【详解】∵，
∴，
∴，
∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2或an=-an+1，
又∵是一列正整数，
∴an=-an+1不符合题意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案为4035.
16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若n-12≤x＝n，如<0.46>=0，<3.67>=4。给出下列关于的结论：
①<1.493>=1；
②<2x>=2；
③若〈12x-1〉=4，则实数x的取值范围是9≤x<11；
④当x≥0，m为非负整数时，有〈m+2013x〉=m+〈2013x〉；
⑤〈x+y〉=〈x〉+〈y〉。
其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）。
【答案】①③④。
【详解】①根据定义，∵0.5≤1.493<1.5，∴<1.493>=1。结论正确。
②用特例反证：∵<1.3>=1，<2×1.3>=<2.6>=3，∴<2×1.3>≠2<1.3>。
∴<2x>=2不一定成立。结论错误。
③若〈12x-1〉=4，则4-12≤12x-1<4+12⇒92≤12x<112⇒9≤x<11。
∴实数x的取值范围是9≤x<11。结论正确。
④设2013x＝k＋b，k为2013x的整数部分，b为其小数部分，
1）当0≤b＜12时，<2013x>＝k，
m＋2013x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋2013x的整数部分，b为其小数部分，< m＋2013x>＝m＋k，
∴< m＋2013x >＝m＋<2013x>。
2）当b≥12时，<2013x>＝k＋1，
则m＋2013x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋2013x的整数部分，b为其小数部分，< m＋2013x >＝m＋k＋1，
∴< m＋2013x >＝m＋<2013x>
综上：当x≥0，m为非负整数时，< m＋2013x >＝m＋<2013x>成立。结论正确。
⑤用特例反证：：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，
∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>。∴〈x+y〉=〈x〉+〈y〉不一定成立。结论错误。
综上所述，正确的结论有①③④。
17．任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
【答案】①3；②255．
【详解】①∵根据定义，，
∴对81只需进行3 次操作后变为1.
②设，x为正整数，则，∴，即最大正整数是3.
设，为正整数，则，∴，即最大正整数是15.
设，为正整数，则，∴，即最大正整数是255.
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.
故答案为3，255.
18．（2016·山东中考真题）在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，
然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，
②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1，
所以S=．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正确答案是 ______ ．
【答案】.
【详解】设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…………………①，
在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017…………………②
②一①得：mS―S＝m2017－1.
∴S＝.
19．（2018·湖北中考真题）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，Sn=a1+a2+…+an，则S2018=_____．
【答案】63
【详解】∵1+2+3+…+n=，+2=2018，
∴前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个，
∴S2018=1×1+2×+3×+…+63×+2×=1+1+…+1+=63．
故答案为63．
20．（2017·湖南中考真题）阅读材料：设，，如果，则.根据该材料填空：已知，，且，则 ．
【答案】6.
【详解】利用新定义设，，如果，则，2m=4×3,m=6.
21．（2020·山东初三专题练习）观察下列各式：
，
，
，

请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【详解】
，
故答案为：．
22．（2019·微山县鲁桥镇第一中学初一月考）已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则______．
【答案】
【详解】根据题意可得：，
故答案为