【全套】中考卷数学复习专题（知识梳理+含答案）-动点问题专题训练

中考专题训练 动点问题

例1.              如图， 在中，，于点，，． 点从点出发， 在线段上以每秒的速度向点匀速运动， 与此同时， 垂直于的直线从底边出发， 以每秒的速度沿方向匀速平移， 分别交、、于、、，当点到达点时， 点与直线同时停止运动， 设运动时间为秒．

（1） 当时， 连接、，求证： 四边形为菱形；

（2） 在整个运动过程中， 所形成的的面积存在最大值， 当的面积最大时， 求线段的长；

（3） 是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在， 请求出此时刻的值；若不存在， 请说明理由 ．

【解答】（1） 证明： 当时，，则为的中点， 如答图 1 所示 ．

又，

为的垂直平分线，

，．

，于点，

，．

，

，，

，

，

，即四边形为菱形 ．

（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知，

，

，即，解得：．

，

当秒时，存在最大值， 最大值为，此时．

（3） 解： 存在 ． 理由如下：

①若点为直角顶点， 如答图 3①所示，

此时，，．

，，即，此比例式不成立， 故此种情形不存在；

②若点为直角顶点如答图 3②所示，

此时，，，．

，，即，解得；

③若点为直角顶点，如答图③所示 ．

过点作于点，过点作于点，则，．

，，即，解得，

．

在中， 由勾股定理得：．

，，即，解得，

．

在中， 由勾股定理得：．

在中， 由勾股定理得：，

即：

化简得：，

解得：或（舍 去）

．

综上所述， 当秒或秒时，为直角三角形 ．

例2.              如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板和拼在一起， 使斜边完全重合， 且顶点，分别在的两旁，，，

（1） 填空：　　，　   　

（2） 点，分别从点，点同时以每秒的速度等速出发， 且分别在，上沿，方向运动， 当点运动到点时，、两点同时停止运动， 连接，求当、点运动了秒时， 点到的距离 （用 含的式子表示）

（3） 在 （2） 的条件下， 取中点，连接，，设的面积为，在整个运动过程中，的面积存在最大值， 请求出的最大值 ．

（参考数据，

【解答】解： （1），，

，

，，

，

；

故答案为：，；

（2） 过点作于，作，交的延长线于，如图所示：

则，

，，，

，，

，，

，，

，

，

点到的距离为；

（3），

，

为的中点，

，

，

的面积梯形的面积的面积的面积

，

即是的二次函数，

，

有最大值，

当时，

有最大值为．

例3.              如图，是正方形的对角线，，边在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、．

（1） 请直接写出线段在平移过程中， 四边形是什么四边形？

（2） 请判断、之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；

（3） 在平移变换过程中， 设，，求与之间的函数关系式， 并求出的最大值 ．

【解答】（1） 四边形为平行四边形；

（2），，理由如下：

四边形是正方形，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

，，

，

；

（3） 如图， 过作于．

①如图 1 ，当点在点右侧时，

则，，

，即，

又，

当时，有最大值为 2 ；

②如图 2 ，当点在点左侧时，

则，，

，即，

又，

当时，有最大值为；

综上所述，当时，有最大值为 2 ．

例4.              如图， 在平面直角坐标系中，为原点， 四边形是矩形， 点，的坐标分别是和，，点是对角线上一动点 （不 与，重合） ，连结，作，交轴于点，以线段，为邻边作矩形．

（1） 填空： 点的坐标为　，　；

（2） 是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在， 请求出的长度；若不存在， 请说明理由；

（3）①求证：；

②设，矩形的面积为，求关于的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出的最小值 ．

【解答】解： （1）四边形是矩形，

，，，

，．

故答案为，．

（2） 存在 ． 理由如下：

，，

，

，

①如图 1 中， 当在线段上时，是等腰三角形， 观察图象可知， 只有，

，

，

是等边三角形，

，

在中，，，

，

．

当时，是等腰三角形 ．

②如图 2 中， 当在的延长线上时，是等腰三角形， 只有，，

，

，

综上所述， 满足条件的的值为 2 或．

（3）①如图 1 ，

过点作交于，交于，

和，，

直线的解析式为，

设，

，

，

，，

，，

，

．

②如图 2 中， 作于．

在中，，，

，，

，

在中，，

，

矩形的面积为，

即，

，

，

时，有最小值．

例5.              已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图 1 ，连接．

（1） 填空：　 60 　；

（2） 如图 1 ，连接，作，垂足为，求的长度；

（3） 如图 2 ，点，同时从点出发， 在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点的运动速度为 1.5 单位秒， 点的运动速度为 1 单位秒， 设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？

【解答】解： （1） 由旋转性质可知：，，

是等边三角形，

．

故答案为 60 ．

（2） 如图 1 中，

，，

，，

，

是等边三角形，

，，

，

．

（3）①当时，在上运动，在上运动， 此时过点作且交于点．

则，

，

．

时，有最大值， 最大值．

②当时，在上运动，在上运动 ．

作于． 则，，

．

当时，取最大值，，

③当时，、都在上运动， 作于．

，，

，

当时，有最大值， 最大值，

综上所述，有最大值， 最大值为．