高中数学高考专题03 导数及其应用——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析）

这是一份高中数学高考专题03 导数及其应用——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析），共37页。试卷主要包含了所以f在单调递减，在单调递增，【2020年高考北京】已知函数等内容，欢迎下载使用。
专题03 导数及其应用

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
2．【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为
A．y=2x+1 B．y=2x+
C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，(舍)，
则直线的方程为，即.
故选：D．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时，f(x)=ex+x2–x，则=ex+2x–1．
故当x∈(–∞，0)时，0．所以f(x)在(–∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增．
(2)等价于.
设函数，则


.
(i)若2a+1≤0，即，则当x∈(0，2)时，>0.所以g(x)在(0，2)单调递增，而g(0)=1，故当x∈(0，2)时，g(x)>1，不合题意.
(ii)若00)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？

【解析】(1)设都与垂直，是相应垂足.
由条件知，当时，
则.
由得
所以(米).

(2)以为原点，为轴建立平面直角坐标系(如图所示).
设则
.
因为所以.
设则
所以
记桥墩和的总造价为，
则
，
令 得

所以当时，取得最小值.
答：(1)桥的长度为120米；
(2)当为20米时，桥墩和的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
11．【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有．
(1)若，求h(x)的表达式；
(2)若，求k的取值范围；
(3)若求证：．
【解析】(1)由条件，得，
取，得，所以．
由，得，此式对一切恒成立，
所以，则，此时恒成立，
所以．
(2).
令，则令，得.

所以.则恒成立，
所以当且仅当时，恒成立．
另一方面，恒成立，即恒成立，
也即恒成立．
因为，对称轴为，
所以，解得．
因此，k的取值范围是
(3)①当时，
由，得，整理得

令 则．
记
则恒成立，
所以在上是减函数，则，即．
所以不等式有解，设解为，
因此．
②当时，
．
设，
令，得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
，，则当时，．
(或证：．)
则，因此．
因为，所以．
③当时，因为，均为偶函数，因此也成立．
综上所述，．
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数．
(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
【解析】的定义域为，．
(1)当时，，，
曲线在点处的切线方程为，即．
直线在轴，轴上的截距分别为，．
因此所求三角形的面积为．
(2)当时，．
当时，，．
当时，；当时，．
所以当时，取得最小值，最小值为，从而．
当时，．
综上，的取值范围是．
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.

1．【2020·湖北省高三其他(理)】已知函数，对任意，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．， B．，
C．， D．
【答案】A
【解析】结合题意，显然，
，
由，，，得，，，
故，在，递增，
故(1)，，
对任意，，，不等式恒成立，
即，
，即，解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，属于中档题．
2．【2020·四川省南充高级中学高三月考(理)】已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是
A． B．
C．2 D．
【答案】D
【解析】曲线：，求导得，易知在点处切线方程为.
下面证明恒成立.
构造函数，求导得，则时，，单调递减；时，，单调递增.
故函数，即恒成立.
又：，求导得，当时，，且过点，故在点处的切线方程为.
下面证明在上恒成立.
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则，即在上恒成立.
因为，且平行线与之间的距离为，所以的最小值为.
故选：D．
【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.
3．【2020·河南省高三月考(理)】设函数是函数的导函数，当时，，则函数的零点个数为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则.
当时，，
当时，，故，所以，函数在上单调递减；
当时，，故，所以，函数在上单调递增.
所以，所以，函数没有零点，
故也没有零点.
故选：D．
【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．【2019·河北省高三月考(理)】若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】的定义域是(0，+∞)，
，
若函数有两个不同的极值点，
则在(0，+∞)由2个不同的实数根，
故，解得：，
故选D．
【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
5．【黑龙江省2020届高三理科5月数学模拟试卷】已知定义域为R的函数f(x)满足，其中f′(x)为f(x)的导函数，则不等式f(sinx)﹣cos2x≥0的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设g(x)＝f(x)+2x2﹣1，∴g′(x)＝f′(x)+4x＞0在R上恒成立，
∴g(x)在R上单调递增，不等式f(sinx)﹣cos2x＝f(sinx)+2sin2x﹣1，且g()＝0，
不等式f(sinx)﹣cos2x≥0，∴g(sinx)≥g()，sinx，
∴2kx≤x，k∈Z．故选：D．[来源:Zxxk.Com]
6．【2020届四川省宜宾市高三高考适应性考试(三诊)数学(理科)试题】已知函数，则关于的方程()的实根个数为
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】∵函数
∴，
令得：或，
∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
又，，
∴函数大致图象，如图所示：[来源:学_科_网Z_X_X_K]
，
令，则关于的方程变为，
∵，∴方程有两个不相等的实根．设为,
由韦达定理得：,，不妨设，，
①当时，∵，∴，此时关于的方程的实根个数为3个，
②当，∵，∴，此时关于的方程的实根个数为3个，
③当，∵，∴，此时关于的方程的实根个数为3个，
综上所述，关于的方程的实根个数为3个，故选：A．
7．【湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测(理)】已知，，，则，，的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于的大小：，，明显；
对于的大小：构造函数，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
，即，，
对于的大小：，，，，
故选：B．
【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来比较大小，此题是一道中等难度的题目.
8．【甘肃省天水市一中2020届高三第一次模拟考试(理)】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，
则，
∵，，
∴，
∴是上的增函数，
又，
∴的解集为，
即不等式的解集为.
故选A．
【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数是解题的关键.
9．【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学(理)试题】已知函数(其中且)有零点，则实数的最小值是______.
【答案】
【解析】由存在零点，即函数与的图象有公共点.
当时，两图象显然有公共点；当时，由图可知，最小时，
两图象均与直线相切，此时，设切点坐标为，
则∴∴∴[来源:学*科*网]
∴，∴，∴，∴.故答案为：.

10．【2020·湖北省高三其他(理)】函数(其中)的图象在处的切线方程是_____．
【答案】
【解析】由，得，所以切线的斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程的求法，同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数，属于基础题.
11．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】函数在处的切线在轴上的截距为____________．
【答案】
【解析】对函数求导得，
所以，函数在处的切线方程为，即，
因此，函数在处的切线在轴上的截距为.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线在轴上的截距的求解，考查了利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
12．【2019·天津市静海区大邱庄中学高三月考】已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________________.
【答案】
【解析】问题等价于当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围．
作出函数的图象如下图所示：

先考虑直线与曲线相切时，的取值，
设切点为，对函数求导得，切线方程为，
即，则有，解得.
由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；
当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；
当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；
当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是，故答案为.
【点睛】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量分离转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，若转化为直线(不恒与轴垂直)与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题．
13．【2020·天津市武清区杨村第一中学高三开学考试】已知函数，
(1)当时，求的单调区间；
(2)当，讨论的零点个数；
【解析】∵∴为偶函数，
只需先研究,
,
,
当，，当，，
所以在单调递增，在，单调递减,
所以根据偶函数图象关于轴对称，
得在单调递增，在单调递减，
.故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，.
(2),
①时，在恒成立,
∴在单调递增
又，所以在上无零点
②时，，
使得，即.
又在单调递减，
所以，，，
所以，单调递增，，单调递减，
又，
(i)，即时
在上无零点，
又为偶函数，所以在上无零点，
(ii)，即.
在上有1个零点，
又为偶函数，所以在上有2个零点，
综上所述，当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.
【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
14．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在直线，使得对任意的，，对任意的，，求的取值范围.
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2).
【解析】(1)函数的定义域为.

(i)若，则；
(ii)若，则由得，由得；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)设存在直线满足题意.
(i)由，即对任意的都成立，得，所以，
(ii)令，
，
①若，则，单调递增，，不合题意；
②若，则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即，
由(i)得，
即，
令，，
，所以单调递增，
又因为，所以在是单调递减，是单调递减，所以，所以.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，属于能力提升题.
15．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在极值，对于任意，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】(1)，，
①当时，，
即，所以在上是增函数；
②当时，令，
则，
∴，，
所以时，，
时，，
所以在上是减函数，
在上是增函数；
(2)由存在极值知，
“对于任意，都有恒成立”等价于
“对于任意，都有恒成立”，
设，，
则，，
设，，
则，，
所以在上是减函数，
又，所以时，
，时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，
所以，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.
16．【2020·南昌市八一中学高三三模(理)】已知函数，.
(1)当时，总有，求的最小值；
(2)对于中任意恒有，求的取值范围.
【答案】(1)1；(2).
【解析】(1)令，
则，
在上单调递增，且
若，则在上单调递增，，即满足条件；
若存在单调递减区间，又，
所以存在使得与已知条件矛盾，所以，的最小值为1.
(2)由(1)知，如果，则必有成立.
令，
则，即.
若，必有恒成立，
故当时，恒成立，
下面证明时，不恒成立.
令，，
当时，，在区间上单调递增
故，即，故.
，
令，，
所以在上单调递增，又，则一定存在区间 (其中)，
当时，，
则，故不恒成立.
综上所述：实数取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.
17．【2020·河北省衡水中学高三其他(理)】已知函数且.
(1)求a；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且.
【答案】(1)a=1；(2)见解析.
【解析】(1)因为f(x)＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x(ax﹣a﹣lnx)(x＞0)，
则f(x)≥0等价于h(x)＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′(x)＝a．
则当a≤0时h′(x)＜0，即y＝h(x)在(0，+∞)上单调递减，
所以当x0＞1时，h(x0)＜h(1)＝0，矛盾，故a＞0．
因为当0＜x时h′(x)＜0、当x时h′(x)＞0，
所以h(x)min＝h()，
又因为h(1)＝a﹣a﹣ln1＝0，
所以1，解得a＝1；
另解：因为f(1)＝0，所以f(x)≥0等价于f(x)在x＞0时的最小值为f(1)，
所以等价于f(x)在x＝1处是极小值，
所以解得a＝1；
(2)证明：由(1)可知f(x)＝x2﹣x﹣xlnx，f′(x)＝2x﹣2﹣lnx，
令f′(x)＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t(x)＝2x﹣2﹣lnx，则t′(x)＝2，
令t′(x)＝0，解得：x，
所以t(x)在区间(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，
所以t(x)min＝t()＝ln2﹣1＜0，从而t(x)＝0有解，即f′(x)＝0存在两根x0，x2，
且不妨设f′(x)在(0，x0)上为正、在(x0，x2)上为负、在(x2，+∞)上为正，
所以f(x)必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，
所以f(x0)x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，
由x0可知f(x0)＜(x0)max；
由f′()＜0可知x0，
所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，
所以f(x0)＞f()；
综上所述，f(x)存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f(x0)＜2﹣2．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
18．【2019·山东省实验中学高三月考】已知函数：
(I)当时，求的最小值；
(II)对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围．
【答案】(I)答案不唯一，见解析(II)
【解析】(I)
时，递增，,
时，递减，，
时，时递减，
时递增，
所以
综上，当；
当
当
(II)因为对于任意的都存在唯一的使得成立,
所以的值域是的值域的子集.
因为
递增，的值域为
(i)当时，在上单调递增，
又，
所以在[1,e]上的值域为,
所以，
即，
(ii)当时，因为时，递减，时，递增，且，
所以只需
即，所以
(iii)当时，因为在上单调递减，且，
所以不合题意.
综合以上，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题.
解题方法总结:
像”对于任意的都存在唯一的使得，”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.
19．【2020·河北新乐市第一中学高三其他】设函数，其中e为自然对数的底数．
(1)若曲线在y轴上的截距为，且在点处的切线垂直于直线，求实数a，b的值；
(2)记的导函数为，求在区间上的最小值．
【答案】(1)实数a，b的值分别为1，；(2)
【解析】Ⅰ曲线在y轴上的截距为，则过点，
代入，
则，则，求导，
由，即，则，
实数a，b的值分别为1，；
Ⅱ，，，
当时，，，恒成立，
即，在上单调递增，
．
当时，，，恒成立，
即，在上单调递减，

当时，，得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，

【点睛】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程考查发现问题解决问题的能力．
20．【2020·山东省高三其他】已知函数.
(1)若，，求的最大值；
(2)当时，讨论极值点的个数.
【答案】(1)(2)时，极值点的个数为0个；时，极值点的个数为2个
【解析】(1)当，时，，
此时，函数定义域为，，
由得：；由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
(2)当时，函数定义域为，
，
①当时，对任意的恒成立，
在上单调递减，所以此时极值点的个数为0个；
②当时，设，
(i)当，即时，
对任意的恒成立，即在上单调递减，
所以此时极值点的个数为0个；
(ii)当，即时，记方程的两根分别为，，
则，，所以，都大于0，
即在上有2个左右异号的零点，
所以此时极值点的个数为2.
综上所述时，极值点的个数为0个；
时，极值点的个数为2个.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
21．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模(理)】设函数，，其中，是自然对数的底数．
(1)若在上存在两个极值点，求的取值范围；
(2)若，，函数与函数的图象交于，，且线段的中点为，证明：．
【答案】(1)；(2)见解析.
【解析】(1)的定义域为，，
则在上存在两个极值点等价于在上有两个不等实根，
由，解得，
令，则，
令，则，
当时，，故函数在上单调递减，且，
所以，当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以，是的极大值也是最大值，
所以，所以，
又当时，，当时，大于0且趋向于0，
要使在有两个根，则；
(2)证明：，
由，得，则，
要证成立，
只需证，即，
即，
设，即证，
要证，只需证，
令，则，
所以在上为增函数，所以，即成立；
要证，只需证，
令，则，
所以在上为减函数，
所以，即成立；
所以成立，即成立.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及分析法证明不等式，考查学生的转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.
22．【山东师范大学附属中学2020届高三年级学习质量评估考试数学试题】已知函数
.
(1 )若b=0，曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;
(2)若b=2，且函数f(x)的值域为求a的最小值.
【解析】(1)当时，，，
由，得，
即， 解得或.
当时，，此时直线恰为切线，故舍去，所以.
(2)当时，，设，则，
故函数可化为.
由,可得的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以的最小值为， 此时，函数的的值域为，
问题转化为当时，有解，
即，得，设，则，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以的最小值为，故的最小值为.
23．【2020届河南省开封市第五中学高三第四次教学质量检测数学(理)试卷】已知函数，的最大值为．
(1)求实数b的值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】(1) 由题意得，令，解得，
当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减.
所以当时， 取得极大值，也是最大值，所以，解得.
(2)的定义域为.
,
① 即,则，故在单调增;
②若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调递减，在单调递增．
③若,即,同理在单调递减，在单调递增
(3)由(1)知，
所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增， 所以恒成立，
所以函数在区间内单调递增.
假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，
则，
问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，
即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，
令， ，则，
设， ，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，
故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.
综上所述，不存在区间，使得函数在区间上值域是.