高中数学高考专题03 导数及其应用-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（解析版）

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专题03 导数及其应用
易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系

A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有

A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
【错解】选C.
因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．
【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．

1．平均变化率
函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为.学科+网
2．瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.

1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？

【答案】见解析.
【解析】山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝，
山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝，
∴hBC>hAB，
∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．
易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”

若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为
A． B．
C．或 D．或
【错解】设，由定义得f ′(2)=12，
∴所求切线方程为，即.
【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
【参考答案】D

1．导数的几何意义
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.
2．曲线的切线的求法
若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：
（1）当点是切点时，切线方程为；
（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；
第二步：写出过的切线方程为；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程．

2．过点作曲线的切线，则切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，设切点为则，∴切线方程为，∵切线过点，∴−ex0＝ex0(e−x0)，解得．∴切线方程为，整理得：.
故选C．

在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解.
易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则

求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
【错解】（1）；
（2）.
【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.

1．导数计算的原则
先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．导数计算的方法
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

3．若函数满足，则的值为
A．0 B．2
C．1 D．
【答案】A
【解析】令x=1,则
故答案为A.

（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数与指数函数且的导数公式，与的导数，与的导数及积与商的导数公式记混弄错．
（2）本题中要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解．
易错点4 审题不细致误

设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
【错解】（1）∵，∴，∴.
∴，
令，得或，令，得，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）∵在定义域上为增函数，∴恒成立，
∵，∴恒成立，
∴，∴，即实数a的取值范围是.学！科网
【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分．
【试题解析】（1）由已知得x>0，故函数的定义域为(0，+∞)．
∵，
∴，
∴.
∴，
令，得或，令，得，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

【参考答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

用导数求函数的单调区间的“三个方法”：
1．当不等式(或)可解时，
①确定函数的定义域；
②求导数；
③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2．当方程可解时，
①确定函数的定义域；
②求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
3．当不等式(或)及方程均不可解时，
①确定函数的定义域；
②求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号；
③得单调区间．

4．已知函数.
（1）若函数在点处切线的斜率为4，求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）6；（2）见解析；（3）.
【解析】（1），而，即，解得.
（2）函数的定义域为.
①当时，，的单调递增区间为；
②当时，.
当变化时，的变化情况如下:

由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3），于是.
因为函数在上是减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
又因为函数的定义域为，
所以有在上恒成立.
于是有在上恒成立，
设，则，
所以有，，
当时，有最大值，
于是要使在上恒成立，只需，即实数的取值范围是.

若的单调减区间为，则在的两侧函数值异号，且；
若在区间上单调递减，则在上恒成立．
易错点5 极值的概念理解不透彻

已知在处有极值，则________.
【错解】或
由题得，，由已知得解得或，所以等于或.
【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“是f(x)的极值点”的情况．
【试题解析】由题得，，由已知得解得或，所以等于或.
当时，在x=1两侧的符号相反，符合题意.
当时，在x=1两侧的符号相同，所以不合题意，舍去.
综上可知，，
所以.
【参考答案】

对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑，又要考虑在两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．

1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
2．求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果在这个根的左右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．学@科网
3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.

5．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，因为函数在内有且只有一个极值点，所以，即，又当时，，当时，令，满足题意.所以，故选C.

（1）在处有极值时，一定有，可能为极大值，也可能为极小值，应检验在两侧的符号后才可下结论；
（2）若，则未必在处取得极值，只有确认时，，才可确定在处取得极值．
（3）在本题中，不要遗漏掉这种特殊情况.

一、导数的概念及计算
1．导数的定义：.
2．导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.

求曲线的切线方程的类型及方法
（1）已知切点，求过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为k，求的切线方程：设切点，通过方程解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由求出切点坐标，最后写出切线方程．
（5）①在点处的切线即是以为切点的切线，一定在曲线上.
②过点的切线即切线过点，不一定是切点．因此在求过点的切线方程时，应首先检验点是
否在已知曲线上．
3．基本初等函数的导数公式
函数
导数
f (x)=C(C为常数)
=


f (x)=sin x

f (x)=cos x







f (x)=ln x

4．导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
5．复合函数的导数
复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
二、导数的应用
1．函数的单调性与导数的关系
一般地，在某个区间(a,b)内：
①如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;
②如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;
③如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数．

（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条
件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
（3）函数在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)
的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数在区间内
的单调性.
2．函数的极值与导数的关系
一般地，对于函数，
①若在点x= a处有f ′(a)= 0，且在点x= a附近的左侧，右侧，则称x= a为f(x)的极小值点；叫做函数f (x)的极小值.
②若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x= b为f(x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．
③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
3．函数的最值与极值的关系
①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
②在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
③函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

求函数在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数在(a,b)内的极值；
②将函数的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．[2018新课标全国Ⅰ文科]设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
2．[2016新课标全国Ⅰ卷文]若函数在上单调递增，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，构造，易知开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
3．函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，∴，且当时，，，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，由函数图象的对称性可知应选B.
【名师点睛】本题运用导数来画出函数图象，可以先判断其奇偶性，然后求导得出单调性，继而给出图象.
4．已知函数是自然对数的底数），则的极大值为
A． B．
C．1 D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，令，则令，得
令，得即函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极大值，极大值为
故选D.
【名师点睛】本题考查导数的运用——求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题．解本题时，求函数的导数，令，先求出的值再求的极大值为即可得．
5．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x