高中数学高考专题04 函数的性质（解析版）

专题04 函数的性质

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考点13函数的单调性

1．（2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（  ）

A．    B．     C．    D．

【答案】B【解析】为奇函数，在上为减函数，在上为减函数，故选B．

2．（2017北京）已知函数，则

A．是奇函数，且在R上是增函数         B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数         D．是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A【解析】，得为奇函数，

，所以在R上是增函数．选A．

3．(2015湖南)设函数，则是

A．奇函数，且在上是增函数     B．奇函数，且在上是减函数

C．偶函数，且在上是增函数     D．偶函数，且在上是减函数

【答案】A 【解析】由题意可知，函数的定义域为，且，易知在上为增函数，故在上为增函数，又，故为奇函数．

4．(2015北京)下列函数中，定义域是且为增函数的是

A．      B．         C．       D．

【答案】B【解析】四个函数的图象如下

显然B成立．

5．(2013北京)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是

A．        B．       C．      D．

【答案】C【解析】是奇函数，是非奇非偶函数，而D在单调递增．选C．

6．(2013湖北)为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为

A．奇函数      B．偶函数      C．增函数        D． 周期函数

【答案】D【解析】由题意f(1．1)＝1．1－[1．1]＝0．1，f(－1．1)＝－1．－[－1．1]＝－1．1－(－2)＝0．9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a，有f(a＋x)＝a＋x－[a＋x]＝x－[x]＝f(x)，故f(x)在R上为周期函数．故选D．

7．(2012天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为

A．            B．

C．          D．

【答案】B【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B．

8．(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A           B           C          D

【答案】D【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D．

9．（2019北京理13）设函数 (a为常数)，若为奇函数，则a=______； 若是上的增函数，则a的取值范围是 ________．

【答案】 【解析】①根据题意，函数，若为奇函数，则，即 ，所以对恒成立．又，所以．②函数，导数．若是上的增函数，则的导数在上恒成立，即恒成立，而，所以a≤0，即a的取值范围为．

10. (2018北京)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

【答案】（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足对任意的都成立，且函数在上不是增函数即可，如，，答案不唯一．

11．（2017山东）若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是

①    ②    ③    ④

【答案】①④【解析】①在上单调递增，故具有性质；

②在上单调递减，故不具有性质；

③，令，则，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

故不具有性质；

④，令，

则，

在上单调递增，故具有性质．

12．(2012安徽)若函数的单调递增区间是，则=________．

【答案】【解析】由可知的单调递增区间为，故．

考点14 函数的奇偶性

1．（2020全国Ⅱ文10）设函数，则 （   ）

A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减

【答案】A【解析】∵函数定义域为，其关于原点对称，而，

∴函数为奇函数．

又∵函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，∴函数在上单调递增，在上单调递增．故选A．

2．（2020山东8）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是 （   ）

A．     B．       C．     D．

【答案】D

【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：或或

解得或，所以满足的的取值范围是，故选D．

3．（2019全国Ⅱ理14）已知是奇函数，且当时，．若，则__________．

【答案】【解析】解析：，得，．

4．（2019全国Ⅱ文6）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=

A．        B． 

C．        D．

【答案】D【解析】 设，则，所以f(-x)=，因为设为奇函数，所以，
即，故选D．

5．（2017新课标Ⅱ）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则=        ．

【答案】12【解析】∵是奇函数，所以．

6．(2015新课标Ⅰ)若函数为偶函数，则=       

【答案】1【解析】由题意，所以，解得．

7．（2014新课标1）设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是

A．是偶函数             B．||是奇函数

C．||是奇函数            D．||是奇函数

【答案】B【解析】为奇函数，为偶函数，故为奇函数，||为奇函数，||为偶函数，||为偶函数，故选B．

8．（2014新课标2）偶函数的图像关于直线对称，，则=__．

【答案】3【解析】∵函数的图像关于直线对称，所以，，又，所以，则．

9．(2015福建)下列函数为奇函数的是

A．      B．       C．       D．

【答案】D【解析】∵函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，排除A；因为为偶函数，所以排除B；因为为偶函数，所以排除C；因为，，所以为奇函数．

10．(2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A．     B．      C．   D．

【答案】D 【解析】选项A、C为偶函数，选项B中的函数是奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数．

11．(2014山东)对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有

，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是

A．   B．   C．  D．

【答案】D【解析】由可知，准偶函数的图象关于轴对称，排除A，C，而B的对称轴为轴，所以不符合题意；故选D．

12．(2014湖南)已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且

=，＝

A．－3       B．－1       C．1        D．3

【答案】C【解析】用换，得，化简得，令，得，故选C．

13．(2014重庆)下列函数为偶函数的是

A．                  B．

C．               D．

【答案】D【解析】函数和既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中，则，所以=为奇函数，排除选项C；选项D中，则，所以为偶函数，选D．

14．(2013辽宁)已知函数，则

A．           B．0          C．1           D．2

【答案】D【解析】，

．

15．(2013广东)定义域为的四个函数，，，中，奇函数的个数是

A．        B．       C．         D．

【答案】C【解析】是奇函数的为与，故选C．

16．(2013山东)已知函数为奇函数，且当时， ，则=

A．－2   B．0    C．1        D．2

【答案】A【解析】．

17．(2013湖南)已知是奇函数，是偶函数，且，

，则等于

A．4       B．3       C．2       D．1

【答案】B【解析】由已知两式相加得，．

18．(2013重庆)已知函数，，则

A．         B．           C．           D．

【答案】C【解析】因为，又因为，所以，所以3，故选C．

19．(2011辽宁)若函数为奇函数，则=

(A)         (B)           (C)              (D)1

【答案】A【解析】∵为奇函数，∴，得．

20．(2011安徽)设是定义在上的奇函数，当时，，

则=

A．－3         B．－1         C．1          D．3

【答案】A【解析】因为是定义在R上的奇函数，且当时，，∴，选A．

21．(2014湖南)若是偶函数，则____________．

【答案】【解析】函数为偶函数，故，即，化简得，即，整理得，所以，即．

考点15 函数的周期性

1．(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．

若，则

A．    B．0    C．2    D．50

【答案】C【解析】∵是定义域为的奇函数，．且．∵，∴，，∴，∴，∴是周期函数，且一个周期为4，∴，， =，∴，故选C．

2．(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=

A．−2        B．−1         C．0         D．2

【答案】D【解析】当时，为奇函数，且当时，，所以．而，所以，故选D．

3．(2011陕西)设函数满足，则的图像可能是

【答案】B【解】 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．

4．(2018江苏)函数满足，且在区间上，则的值为    ．

【答案】【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间 上，，所以．

5．(2016江苏)设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中，若，则的值是    ．

【答案】【解析】由题意得，，由可得，则，则．

6．(2014四川)设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则      ．

【答案】【解析】．

7．(2012浙江)设函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则=_______________．

【答案】【解析】．

考点16 函数性质的综合应用

1．（2019全国Ⅲ理11）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则

A．（log3）＞（）＞（） 

B．（log3）＞（）＞（）

C．（）＞（）＞（log3）

D．（）＞（）＞（log3）

【答案】C【解析】 是定义域为的偶函数，所以，因为，，所以，又在上单调递减，所以． 故选C．

2．(2014福建)已知函数则下列结论正确的是

A．是偶函数                 B．是增函数

C．是周期函数               D．的值域为

【答案】D【解析】，所以函数不是偶函数，排除A；因为函数 在上单调递减，排除B；函数在上单调递增，所以函数不是周期函数，选D

3．（2017新课标Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足 的的取值范围是

A．        B．      C．      D．

【答案】D【解析】由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，所以得，即，选D．

4．(2016全国II) 已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则

A．0    B．m    C．2m     D．4m

【答案】B【解析】由得，可知关于对称，

而也关于对称，∴对于每一组对称点 ，∴，故选B．

5（2915新课标2，文12）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．[来源：Z*xx*k．Com]

【答案】A

【解析】由可知是偶函数，且在是增函数，所以

．故选A．

6．（2014卷2，理15）已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________．

【答案】（-1，3）．【解析】∵是偶函数，∴，又∵在单调递减，∴，解之：

7．（2017天津）已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为

A．       B．        C．       D．

【答案】C【解析】由题意为偶函数，且在上单调递增，所以，又，，所以，故，选C．

8．(2014辽宁)已知为偶函数，当时，，则不等式 的解集为

A．                    B．

C．                       D．

【答案】A【解析】当时，令，解得，当时，令，解得，故．∵为偶函数，∴的解集为，故的解集为

9．(2016天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是______．

【答案】【解析】由是偶函数可知，单调递增；单调递减，又，，可得，即．

10．（2017江苏）已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数 的取值范围是         ．

【答案】【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．