高中数学高考专题06 数列-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（解析版）

这是一份高中数学高考专题06 数列-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（解析版），共22页。


易错点1 忽略了n的取值

已知数列满足，求数列的通项公式．
【错解】由，可得两式相除可得．
【错因分析】仅适用于且时的情况，故不能就此断定就是数列的通项公式．
【试题解析】当时，；当时，由，可得两式相除可得，故

已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法
(1)形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式an＝a1···…·求通项公式．
(2)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项公式．
(3)形如an＋1＝ban＋d(其中b，d为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造an＋1＋x＝b(an＋x)(其中x＝)，则{an＋x}是公比为b的等比数列，利用它即可求出an.学科&网
(4)形如an＋1＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.
若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；
若p≠r，则采用(3)的办法来求．
(5)形如an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常数，且p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为an＋2－an＋1＝(－q)·(an＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得通项．
(6)形如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子，
由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①
得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，②
再由①－②可得an.
(7)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．
(8)形如an·an＋1＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得，然后分奇、偶讨论即可．
(9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，将方程的两边同时除以an＋1an，可构造一个等差数列．
具体步骤：对an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)两边同时除以an＋1an，得到－＝q，即
－＝－q，
令bn＝，则{bn}是首项为，公差为－q的等差数列.
(10)an＝pa(n≥2，p>0)型，一般利用取对数构造等比数列．
具体步骤：对an＝pa两边同取常用对数，得到lg an＝rlg an－1＋lg p，令bn＝lg an，则{bn}可归为an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型.

1．数列的前项和满足，则数列的通项公式为_____________.
【答案】

【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法：和步骤是解答本题的关键．由已知中的前项和，结合，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式．学.科网
易错点2 忽略数列中为0的项


设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，，则当最大时，__________．
【错解】由，得，即，由可知，解不等式组即得．又，故当时最大．
【错因分析】由于，所以，当或时最大，错解中忽略了数列中为0的项．
【试题解析】 【正解1】由，得，即，由可知，解不等式组即得．故当或时最大．
【正解2】由，可得，所以，由并结合对应的二次函数的图象知，当或时最大．学科&网
【正解3】由，得，即，，由可知，故当或时最大．

数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题
1．等差数列的前n项和与函数的关系
等差数列的前n项和公式为可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn.
当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．
2．等差数列前n项和的最值
(1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足
(2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足
3．求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．
4．在等差数列中，若，，则（1）为偶数当时最大；（2）为奇数当或时最大．

2．等差数列中，，，记，则当__________时，取得最大值.
【答案】4
【解析】在等差数列中，，，，即，，，，由，得，即，当时，，当，因此在中，当时，，当时，，故当时，取得最大值，故答案为.学科#网
【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式的计算，属于难题.求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数，即，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.
错点3 忽视奇数项或偶数项的符号

在等比数列中，，求的值.
【错解】因为为等比数列，所以，由可得，故.【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．
【试题解析】因为为等比数列，所以，由可得，故
．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以，所以．

1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．

3．已知等比数列中，，则
A． B．−2
C．2 D．4
【答案】C

【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.

应用等比数列性质时的注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.
易错点4 忽视q=1致错

在数列中，若，求的前n项和．
【错解】

.
【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于1的讨论；此外，还需讨论相关数列是否为等比数列.
【试题解析】当时，，所以；
当时，，所以；
当时，．
综上，.学科&网

1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．
3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．

4．各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，①
所以当时，，②
得：，即，
因为的各项均为正数，
所以，且，
所以．
由①知，，即，
又因为，
所以，
所以．
故，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
所以．

【名师点睛】（1）本题主要考查数列前n项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
（2）数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.

1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减
来完成；
(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．

1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为．
2．数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10
无穷数列
项数无限的数列，如数列1，2，3，4，…
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，…
常数列
各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，…
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2
按项的有界性
有界数列
任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…
无界数列
不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，…
3．数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．
（2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即．
②递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点．
4．数列的前n项和与通项的关系
数列的前n项和通常用表示，记作，则通项．
若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示．
5．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式，可得．
令，，则，其中，为常数．
（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．
（2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．学科&网
6．等差数列的前n项和
首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．
令，，可得，则
当，即时，是关于n的二次函数，点是函数的图象上一系列孤立的点；
当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线图象上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．
7．用前n项和公式法判定等差数列
等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．
8．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：
（1）通项公式的推广：，．
（2）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即

（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
（4）数列是常数是公差为td的等差数列．
（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．
（6）若，则．学.科网
9．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4）若数列共有项，则，．
（5），．
10．等比数列的性质
若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）数列仍是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
数列是公比为的等比数列；
若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
（4）成等比数列，公比为．
（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．
（6）当时，；当时，．
（7）．
（8）若项数为，则，若项数为，则．
（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
11．求和常用方法
方法1→错位相减法求和的注意点
在运用错位相减法求数列前n项和时要注意四点：
①乘数（式）的选择；
②对公比q的讨论（是否为1）；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数．
方法2→裂项相消法求和的注意点
在应用裂项相消法求和时应注意：
（1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；
（2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项．
方法3→求和方法——分组求和法的解题步骤
利用分组求和法解题的步骤：
①根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；
②分组求和，分别求出各个数列的和；
③得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题．

1．[2018新课标全国I理科]设为等差数列的前项和，若，，则
A． B．
C． D．
【答案】B

【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
2．公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，则的值为
A．15 B．21
C．23 D．25
【答案】D
【解析】依题意， ，其中；
，
故选D．学#科网
3．设为等比数列的前项和，，则
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，∵，
∴，且，即.
令， ，且.
∴，即.∴或（舍去）.即.
∴.
故选C．
4．设正项等比数列的前项和为，且，若，，则=
A．63或120 B．256
C．120 D．63
【答案】C

5．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则
A．10 B．12
C．18 D．30
【答案】A
【解析】在等比数列中，由，得，即，
又，，成等差数列，，即，
联立得：舍去或．
，则．
故选A．
【名师点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是中档题．
6．在数列{}中，已知，，则等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【名师点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出再作差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；还有构造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等.
7．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵{an}是递增数列，∴an+1＞an恒成立，
∵an=n2+λn，∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn恒成立，∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．
而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3.
故选D．学%科网
【名师点睛】本题主要考查由数列的单调性来构造不等式，解决恒成立问题．研究数列单调性的方法有：比较相邻两项间的关系，将an+1和an作差与0比较，即可得到数列的单调性；研究数列通项即数列表达式的单调性.
8．已知数列满足（），将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为
A． B．
C． D．
【答案】C

9．[2018浙江]已知成等比数列，且．若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此.
若公比，则，不合题意；
若公比，则但，即，不合题意；
因此，，故选B.
10．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D. 学&科网
【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
11．[2018年新课标I卷理科]记为数列的前项和，若，则__________．
【答案】

【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
12．[2018年北京卷理科]设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
13．已知数列满足： ，若，则__________．
【答案】320

14．设是等比数列的前项和， ，若，则的最小值为__________．
【答案】20
【解析】很明显等比数列{an}的公比q>0，q≠1.
∵，
则，
∴
当且仅当q3=2,即时取等号.
∴S9−S6的最小值为20.
15．在数列中，且，，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】在数列中，，，
，
，

，
上式相加：.
.学*科网
16．已知等差数列，若，，且，则公差__________．
【答案】或

（2）若，则
又，
，得，．
故答案为0或6．
17．（2018年理数全国卷II）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n项和公式得关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
18．已知等差数列满足，前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足， ，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2） ．

19．设，，数列满足：且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由题意知： ，
又，∴，
∴是以4为首项， 2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，故.
，
∴，
，
，
……
.
累加得： ，


，
即.
而，∴. 学*科网
20．[2018浙江卷]已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.

（2）设，数列前n项和为.
由解得.

设，
所以，
因此，
又，所以.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________