高中数学高考专题08 不等式选讲（解析版）

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备战2020高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典
专题八 不等式选讲
【考生存在问题报告】
（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位
【例1】（2019·湖北黄冈中学高三）[选修4-5：不等式选讲]:已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）当时，，原不等式可化为，①
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时，
综上，原不等式的解集为.
（2）由题意得， ，
因为的最小值为，所以，由，得，
所以 ，
当且仅当，即，时，的最小值为.
【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
（二）不能对条件进行正确的等价转化
【例2】【2017全国卷Ⅲ23（2）】已知函数.若不等式的解集非空，求m的取值范围.
【解析】原式等价于存在，使成立，即
设 ，由已知得
当时，，
当时，，
当时，，
综上述得，故的取值范围为.
【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式的解集非空”等价转化为解集非空，忽略了右边的代数式也是随着的变化而变化，左右两边的表示的是同一个数；错点二，将“不等式的解集非空”等价转化为“”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式成立，等价于即可.
【例3】（2020·福建高三）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|或}．（2）（，8）．
【解析】（1）当m=5时，，
或或
或或或或
或，所以不等式的解集为{x|或}；
（2）由条件，有当时，不等式，
即恒成立，
令，
则因为，
且， 所以，
所以m<8，即实数m的取值范围为（，8）．
【评析】（1）分类讨论去掉绝对值后再解不等式；
（2）由题意可得恒成立，令，利用绝对值三角不等式以及基本不等式可得，从而得出结论．
（三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法
【例4】（2020·广西高三）设，且.
（1）求证：；
（2）若，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由

，
（当且仅当时取等号）
故有
（2）

由，有
故当时，.
【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路.
（四）知识掌握不熟练，无法优选算法化简求解过程
【例5】【2014全国卷Ⅱ24（1）】设函数= 证明：2；
【解析】法一：因为，所以
当时，为增函数，所以，
当时，，
当时，为减函数，所以
综上述得成立.
法二：因为，又
所以.
【评析】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.
【命题专家现场支招】
一、解决问题的思考与对策
（一）强化绝对值不等式的求解训练
高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，可以归纳为写成分段函数求解、利用函数图象求解、利用绝对值不等式性质求解等方法，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握绝对值不等式求解的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.
【例6】（2020·贵州高三）设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，且关于的不等式有解，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，解不等式，即，
所以，解得.
所以不等式的解集为.
（2）
当时，.
因为有解，所以，即，
所以，所以，所以的取值范围为.
（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力
不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.
【例7】（2020·黑龙江哈九中高三期末）已知.
（1）若不等式的解集是区间的子区间，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，且，
，，
由题意知，，所以，
解得，所以实数的取值范围是.
（2），
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故对任意的，恒成立可转化为，
所以或，解得.
所以实数a的取值范围是.
【例8】（2020·江西高三）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（I）当时，，
由解得，综合得；
当时，，
由解得，综合得；
当时，，
由解得，综合得.
所以的解集是.
（II）∵的解集包含，
∴当时，恒成立
原式可变为，即，
∴即在上恒成立，
显然当时，取得最小值10，
即的取值范围是.
【例9】（2020·江西高三）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
当时，，无解；当时，可得；当时，可得；故不等式的解集为．
（2），
．
当或时，不等式显然成立；
当时，，则．
故的取值范围为．
（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用
均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.
【例10】（2020·河南高三期末）已知函数，记不等式的解集为.
（1）求；
（2）设，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），
由，解得，
故.
（2）证明：因为，所以，，
所以，
所以.
【例11】（2020·重庆西南大学附中高三）已知实数a、b、.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1），

，
，
当且仅当时，等号成立.
（2），①（当且仅当时取等号）.，②（当且仅当时取等号）.，③（当且仅当时取等号）.
又因为实数a、b、，
由得：当且仅当时取等号


二、典型问题剖析
（一）含绝对值不等式的求解
1．零点分段求解绝对值不等式的模型
(1)求零点；
(2)划区间，去绝对值号；
(3)分别解去掉绝对值号的不等式；
(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．
2．绝对值不等式恒成立问题的求解模型
(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式；
(2)转化最值：f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a有解⇔f(x)max>a；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x) (3)得结论．
【例12】【河南省九师联盟2019届高三2月检测】已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围.
【解析】
（1），
①当时，，由，解得；
②当时，，由，解得；
③当时，，由，解得.
综上或.
所以不等式的解集是.
（2）由（1）可知，
所以函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
所以函数的最小值.
由题意得有解，
所以有解.
设，
则.
所以.
故实数的取值范围是.
【例13】（2020·福建省福州第一中学高三期末）（1）解不等式；
（2）若成立，求常数的取值范围.
【答案】（1）或（2）
【解析】（1）由，得
所以或
解得：或
故不等式的解集为：或
（2）由已知得：

当a=1时，恒成立；
当a>1时，,即，从而；
当a<1时，,即，从而；
综上：a的取值范围是：
【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：①求零点；②分区间、去绝对值号；③分别解各区间上所得不等式；④取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值．也可以采用图象法，通过作出函数图象，利用数形结合的思想求解.
（二）给定条件，求参数的取值范围
【例14】（2020·深圳市南山区华侨城中学高三）已知函数
(1)解不等式: f(x)<5;
(2)当x∈R时，f(x)> ax+1,求实数a的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解:由题,
当时,,则,解得,则；
当时,,则,解得,则；
当时,,则,解得,则,
综上,解集为
（2）由题,,
则的图象如图所示:

因为均满足,则的图象在直线的上方,
因为直线恒过定点,点,则,
由图象可知
【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
【例15】（2020·湖南师大附中高三）已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）可化为，
故，或，或；
解得：，或，或；
不等式的解集为；
（2）由题意：，．
故方程在区间有解函数和函数，图像在区间上有交点
当时，
实数的取值范围是.
【评析】本题属于“恰成立”问题，对于“恰成立”问题，解决此类问题只需按照正常解不等式进行，再根据集合相等的条件即可求解.
（三）不等式的证明
对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法．
(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法．
(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法．
(3)能转化为比较大小的可以用比较法．
(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法．
【例16】（2020·云南昆明一中高三）已知正数，，满足等式.
证明：（1）；
（2）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）要证不等式等价于，因为
，
所以，当且仅当时取等号.
（2）因为，所以，
又因为，，.所以，
所以，当且仅当时取等号.
【例17】（2020·四川三台中学实验学校高三）已知，，，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1) 见解析(2) 见解析
【解析】（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴ab，
由均值不等式可得：ab≤
∴（a+b）3﹣2，∴（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
【评析】不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法.
【新题好题针对训练】
一、单选题
1．（2020·浙江高三期末）若函数的最小值3，则实数的值为（ ）
A．5或8 B．或5 C．或 D．或
【答案】D
【解析】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.
二、解答题
2．（2020·湖南长郡中学高三）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值.
【答案】（1）或.（2）4
【解析】（1）原不等式可化为，
①当时，原不等式可化为，
解得，；
②当时，
原不等式可化为，解得，；
③当时，
原不等式可化为，解得，；
综上，不等式的解集为或.
（2），
.
由恒成立可知，
不等式恒成立.
，
，
，当且仅当时等号成立.
故的最小值4.
3．（2020·山西高三）已知函数（其中）.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）.（2）.
【解析】（1）当时，函数，
则不等式为，
①当时，原不等式为，解得：；
②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；
③当时，原不等式为，解得：，
原不等式的解集为.
方法二：当时，函数 ，画出函数的图象，如图：

结合图象可得原不等式的解集为.
（2）不等式即为 ，
即关于的不等式恒成立.
而 ，
所以，
解得或，
解得或.
所以的取值范围是.
4．（2020·山西大同一中高三）设函数，．
（1）若不等式的解集为，求a的值；
（2）若存在，使，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意可得，可化为，
∴，解得．
（2）令，
所以函数的最小值为，
根据题意可得，所以a的取值范围为．
5．（2020·海南高三）已知都是正数，求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）∵，∴，当且仅当时等号成立，
同理可得，，
∴，即；
（2）因为，所以，
当且仅当时等号成立，
同理可得，，
∴，
即.
6．（2019·广西大学附属中学高三）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）正数满足，证明：.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）当时，，
解得，所以；
当时，，；
当时，，
解得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）证明：因为为正数，则
等价于对任意的恒成立.
又因为，且，所以只需证，
因为，当且仅当时等号成立.
所以成立.
7．（2020·南昌市新建区第二中学高三）已知函数.
（Ⅰ）解关于x的不等式；
（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证：.
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）即，
可得或或，
解得或或，
则原不等式的解集为；
（Ⅱ）证明：，
当且仅当，即时上式取得等号，
可得函数的最小值为1，
则，且a，b，，
由
，
可得，当且仅当取得等号，即.,
8．（2020·河北衡水中学高三）已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，，可转化为
或或，
所以不等式的解集为.
（2）根据题意，，，
即，.
记不等式右边函数为，
根据题意
于是的值域为，因此实数的最小值为.
9．（2020·江西高三期末）已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.
【答案】（1）（2）8
【解析】（1）
∴或或
∴或或
∴不等式的解集为
（2）由
可知
∴
∴
∴当且仅当
即当时的最小值为8.
10．（2020·甘肃高三期末）已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
由得：或或解得：；
由，或或解得：.
故不等式的解集为：.
（2）依题意可得等价于，
由（1）知的解集为.
因为对恒成立，
所以，所以解得，
所以a的取值范围为.
11．（2019·云南昆明一中高三）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）当时，，
即.
当时，由解得，所以，
当时，不等式恒成立，所以，
当时，由解得；所以.
综上，不等式的解集为.
（2）因为
，
所以，，解得.
12．（2020·内蒙古高三期末）已知函数，.
（1）解不等式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，得，
所以，即或，
解得：或，
所以原不等式的解集为.
（2）因为存在，使得成立，
所以只需要，
因为，当时，等号成立，即，
，当时，等号成立，即.
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
13．（2020·全国高三）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）当时，不等式，即为，
当时，由，得，所以，
当时，由，得，所以，
当时，由，得，所以，
故不等式的解集为.
（2）当时， ，
由，得，
当时，由基本不等式得，
当且仅当，即时取等号，
因为函数在上单调递减，
所以当时，取最大值为，
故实数a的取值范围是.
14．（2020·广东金山中学高三期末）已知函数，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若是正实数，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）∵，
∴等价于，
由有解，得且其解集为，
又的解集为，故；
（2）证明：由（1）知，
又，，是正实数，
由基本不等式，得


，
当且仅当时取等号．
∴．
15．（2020·武邑县教育局教研室高三期末）已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）
或 或
,不等式解集为.
（Ⅱ） ,
,
又,,
, ,
当且仅当 即时取等号,所以.
16．（2020·福建高三期末）设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
当时，由可得出，解得，此时；
当时，由可得出，解得，此时；
当时，由可得出，解得，此时.
所以不等式的解集为；
（2）根据（1）可知，函数的最大值为，即，
所以.

，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
17．（2020·广东深圳中学高三期末）已知函数.
(Ⅰ)若，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（Ⅰ）由可得，，
①当时，不等式化为，解得，
∴；
② 当时，不等式化为，解得，
∴；
③ 当时，不等式化为，解得，
∴.
综上实数的取值范围是．
（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，
当时，取得最小值．
∵不等式恒成立，
∴，即，
解得或．
∴ 实数的取值范围是.
18．（2020·陕西高三）已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）证明：当，时，恒成立.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）时,
或或
或
所以,原不等式的解集为.
（2）由题意得：
在是减函数,在是增函数.
,成立.