高中数学高考专题09 直线与圆的方程-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（解析版）

这是一份高中数学高考专题09 直线与圆的方程-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（解析版），共32页。

求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
【错解】由斜率公式可得直线AB的斜率k=eq \f(3－2,m－1)=eq \f(1,m－1).
①当m>1时，k=eq \f(1,m－1)>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；
②当m<1时，k=eq \f(1,m－1)<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．
本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论．
【参考答案】见试题解析.
1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y=tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.
2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y=tan x的单调性求斜率k的范围．
3．直线的倾斜角与斜率的关系
（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线的倾斜角为，但斜率不存在．
（2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
1．直线的倾斜角的大小是_________.
【答案】
【解析】直线方程为，.
易错点2 忽略斜率不存在的特殊情形
已知直线l1经过点A(3，a)，B(a−2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(−1，a−2)，若l1⊥l2，求a的值．
【错解】由l1⊥l2⇔，又k1=eq \f(3－a,a－5)，k2=eq \f(a－5,－3)，所以eq \f(3－a,a－5)·eq \f(a－5,－3)=−1，解得a=0.
【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．
【试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论．
当时，a=5，此时k1不存在，所以两直线垂直．
当时，由，得a=0.
所以a的值为0或5.
【参考答案】0或5
1．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解．
2．斜率公式
（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．
（2）若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k=．
3．求直线方程的方法
（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程；
（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．
4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.
5．已知三点若直线的斜率相同，则三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.
2．设直线的方程为，根据下列条件分别求的值．
（1）在轴上的截距为1；
（2）斜率为1；
（3）经过定点．
【答案】（1）1；（2）；（3）或.

(2)由斜率为1，得 解得m＝.
(3)直线过定点P(－1，－1)，
则－ (m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6， 解得m＝或m＝－2.
当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．
易错点3 忽视两条直线平行的条件
当a为何值时，直线：y=−x＋2a与直线：平行？
【错解】由题意，得=−1，∴a=±1.
【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合．
【试题解析】∵，∴=−1且2a≠2，解得a=−1.学&科网
【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合．
【参考答案】a=−1.
1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．
2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.
“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.
3．两条直线的位置关系
（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；
（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
3．已知过点和的直线与直线平行，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【名师点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系，以及两点间的斜率公式的应用，其中熟记两条直线的位置关系和斜率公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
易错点4 忽视截距为0的情形
已知直线l过点P(2，−1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
【错解】由题意，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)=1，
∵直线l过点(2，−1)，∴eq \f(2,a)＋eq \f(－1,a)=1，
∴a=1，则直线l的方程为x＋y−1=0.
【错因分析】错解忽略了过原点时的情况．
【试题解析】设直线l在两坐标轴上的截距为a.
若a=0，则直线l过原点，其方程为x＋2y=0；
若a≠0，则直线l的方程可设为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)=1，
∵直线l过点(2，−1)，∴eq \f(2,a)＋eq \f(－1,a)=1，
∴a=1，则直线l的方程为x＋y−1=0.
综上所述，直线l的方程为或x＋y−1=0.
【思路分析】截距式方程中a≠0，b≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x，y轴上的截距均为0，即过原点．
【参考答案】或x＋y−1=0.
1．在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．
2．在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点，常见的与截距问题有关的易错点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，应先考虑截距为0的情形，注意分类讨论思想的运用．
4．直线在轴和轴上的截距相等，则实数=__________.
【答案】1或-2
【解析】当，当，直线在轴和轴上的截距相等，所以，解得.
易错点5 含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误
若三条直线共有三个不同的交点，则a的取值范围为
A． B．a≠1且a≠−2
C．a≠−2 D．且a≠−2
【错解】选A或选B
【错因分析】在解题过程中，常错选B，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．
错选A时，只考虑三条直线斜率不相等的条件而忽视了三条直线相交于一点的情况．
【试题解析】因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．
①若三条直线交于一点，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋ay＋1＝0，,x＋y＋a＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－a－1，,y＝1，))
将l2，l3的交点代入l1的方程解得a=1或a=−2.
②若，则由a×a−1×1=0，解得a=±1，
当a=1时，与重合．学科*网
③若∥，则由1×1−a×1=0，解得a=1，
当a=1，与重合．
④若∥，则由a×1−1×1=0，解得a=1，
当a=1时，与重合．
综上，当a=1时，三条直线重合；当a=−1时，∥；当a=−2时，三条直线交于一点.
所以要使三条直线共有三个交点，需且a≠−2.
【参考答案】D
1．两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.
2．求过两直线交点的直线方程的求法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.
5．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是
A． B．或
C． D．
【答案】A

，解得，故选A.
易错点6 忽视圆的方程需要满足的条件致错
已知点O(0，0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k−1=0外，求k的取值范围．
【错解】∵点O(0，0)在圆外，∴2k2＋k−1＞0，解得k＞eq \f(1,2)或k＜−1.∴k的取值范围是(−∞，−1)∪(eq \f(1,2)，＋∞)．
【错因分析】本题忽视了圆的一般方程表示圆的条件为，而导致错误．
【试题解析】∵方程表示圆，∴k2＋(2k)2−4(2k2＋k−1)＞0，即3k2＋4k−4＜0，解得−2＜k＜eq \f(2,3).
又∵点O(0，0)在圆外，∴2k2＋k−1＞0，解得k＞eq \f(1,2)或k＜−1.
综上所述，k的取值范围是(−2，−1)∪(eq \f(1,2)，eq \f(2,3))．
【参考答案】(−2，−1)∪(eq \f(1,2)，eq \f(2,3)).
方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．
1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．
3．与圆有关的对称问题
（1）圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
4．对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．
6．已知圆和定点P(1，−1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是
A．(−2，＋∞)B．(−∞，2)
C．(−2，2)D．(−∞，−2)∪(2，＋∞)
【答案】C
易错点7 利用数形结合的解题误区
方程eq \r(1－x2)=kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是
A．k=±eq \r(3) B．k∈(−2，2)
C．k<−2或k>2 D．k<−2或k>2或k=±3
【错解】选A或选C
【错因分析】因忽视y=eq \r(1－x2)中的y≥0而认为直线与圆相切而错选A．虽然注意到图形表示半圆但漏掉直线与圆相切的情形而错选C．
【试题解析】由题意知，直线y=kx＋2与半圆x2＋y2=1(y≥0)只有一个交点．结合图形易得k<−2或k>2或k=±eq \r(3).
【参考答案】D
1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：
（1）明确圆心C的坐标（a，b）和半径长r，将直线方程化为一般式；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；
（3）比较d与r的大小，写出结论.
判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法.
2．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：
一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；
二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则.
7．若直线y=x＋b与曲线y=eq \r(4－x2)有公共点，试求b的取值范围．
【答案】−2≤b≤2eq \r(2)
【解析】如图所示，在坐标系内作出曲线y=eq \r(4－x2)(半圆)，直线l1：y=x−2，直线l2：y=x＋2eq \r(2).
当直线l：y=x＋b夹在l1与l2之间(包含l1，l2)时，l与曲线y=eq \r(4－x2)有公共点，
所以b的取值范围为−2≤b≤2eq \r(2).
易错点8 不理解两圆相切
已知圆圆，判断两圆的位置关系.
【错解】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，,x2＋y2－6x＋8y＋9＝0，))得4x−3y−4=0，即y=eq \f(4x－4,3).
将其代入方程x2＋y2＋2x＋2y＋1=0，得，
即9x2＋16x2＋16−32x＋18x＋3(8x−8)＋9=0，25x2＋10x＋1=0，
因为Δ=100−4×25=0.
所以两圆只有一个公共点，两圆相切．
【错因分析】将两圆方程联立，Δ=0说明两圆只有一个公共点，此时两圆有可能外切，也有可能内切．
【参考答案】外切.
1．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：
（1）确定两圆的圆心坐标和半径长；
（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求；
（3）比较的大小，写出结论.
2．求两圆公共弦长一般有两种方法：
一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；
二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.
8．已知圆，圆，当m的取值满足什么条件时，有圆与圆相切？
【答案】当m=−5或m=2或m=−1或m=−2时，两圆相切．
两圆外切和内切统称为相切，d=|r1−r2|⇔内切；d=r1＋r2⇔外切．本题容易出现的错误是：只考虑外切的情况而把内切情况漏掉了．
易错点9 求切线时考虑不全致错
过点P(2，4)引圆的切线，则切线方程为__________．
【错解】设切线方程为y−4=k(x−2)，即kx−y＋4−2k=0，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d=，解得k=，
故所求切线方程为x−y＋4−2×=0，即4x−3y＋4=0.学&科网
【错因分析】本题容易忽略切线斜率不存在的情况，从而导致漏解．
【试题解析】显然点P(2，4)不在圆上，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−2)，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即d=，解得k=，
故所求切线方程为x−y＋4−2×=0，即4x−3y＋4=0；
当切线的斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意．
综上，切线方程为或4x−3y＋4=0．
【参考答案】或4x−3y＋4=0.
求解此类问题时，应先判断点是在圆上还是在圆外，在圆上时切线方程唯一，在圆外时切线方程必有两条．
1．求过圆上的一点的切线方程：
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为；若，则由图形可写出切线方程为；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求出切线方程.
2．求过圆外一点的圆的切线方程：
（1）几何方法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程.
（2）代数方法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由，求得k，切线方程即可求出.
3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
9．经过点（3，4）的圆=25的切线方程为______________.（用一般式方程表示）
【答案】3x+4y-25=0
一、直线与方程
1．直线的倾斜角
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．
（2）范围：直线l倾斜角的范围是．
2．斜率公式
（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．
（2）若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k=．
3．直线方程的五种形式
1．常见的直线系方程
（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程：还可以表示为，斜率不存在时可设为x=x0.
（2）平行于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程：．
（3）垂直于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程：.
（4）过两条已知直线交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0(其中不包括直线)．
2．求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：
（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.
二、直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；
（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
2．两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，与的交点坐标就是方程组的解．
（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；
（2）方程组无解；
（3）方程组有无数解与重合．
3．距离问题
（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|=．
（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C=0的距离d=．
（3）两条平行线Ax＋By＋C1=0与Ax＋By＋C2=0(C1≠C2)间的距离d=．
1．求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.
2．解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.
3．求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
4．对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
解决对称问题要抓住以下两点：
（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；
（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
三、圆的方程
1．圆的标准方程与一般方程
当D2+E2−4F =0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0表示一个点；当D2+E2−4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0没有意义，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
（1）圆的三个性质
①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）两个圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．
①同心圆系方程：，其中a，b为定值，r是参数；
②半径相等的圆系方程：，其中r为定值，a，b为参数．
四、直线与圆的位置关系
1．直线与圆的三种位置关系
（1）直线与圆相离，没有公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相交，有两个公共点．
2．直线与圆的位置关系的判断方法
3．圆与圆的位置关系
4．圆与圆位置关系的判断
圆与圆的位置关系的判断方法有两种.
（1）几何法：
由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系来判断（如下图，其中）．

（2）代数法：
设圆 ①，圆 ②，
联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
设圆 ①，圆 ②，
若两圆相交，则有一条公共弦，由①−②，得③．
方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．
1．（2018新课标Ⅲ理）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线分别与轴，轴交于A，B两点，
,则，
点P在圆上，
圆心为（2，0），则圆心到直线距离，
故点P到直线的距离的取值范围为
则，
故选A.
2．（2016新课标II理）圆的圆心到直线的距离为1，则a=
A． B．
C． D．2
【答案】A
3．直线经过定点，则点为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】直线的方程可化为，
当，时方程恒成立，
直线过定点.
故选.
【名师点睛】本题考查的知识点是恒过定点的直线，解答的关键是将参数分离，化为的形式，令，即可解得答案.
4．若直线与直线垂直，则实数
A．3 B．0
C． D．
【答案】D
5．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为
A．(－4，0) B．(－3，-1)
C．(－5，0) D．(－4，-2)
【答案】A
【解析】设C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心为，
代入欧拉直线有：，
整理得m－n＋4＝0 ①.
AB的中点为(1，2)，kAB＝＝－2，
AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，
联立可得：，所以△ABC的外心为(－1，1)，
外心与点B的距离：，
外心与点B的距离与外心与点C的距离相等，则：
(m＋1)2＋(n－1)2＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8 ②，
联立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.
当m＝0，n＝4时，B，C两点重合，舍去，
当m＝－4，n＝0时满足题意.
所以点C的坐标为(－4，0)．
故选A.
6．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则
A．至少存在两个点使得 B．对于任意点都有
C．对于任意点都有 D．存在点使得
【答案】C
即至少存在两解，恒成立，
所以至多存在一解，所以A不成立．
综合以上分析可得选项C正确．
故选C．
【名师点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到的大小关系，进而得到的取值范围．同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的．
7．在中，若，则圆与直线的位置关系是
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】因为，所以.
故圆心到直线的距离，故圆与直线相切，故选A．
8．若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】B
（本题也可以由数形结合直接得出）
9．已知点，是圆：上任意一点，若线段的中点的轨迹方程为，则的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】设，的中点为，则由中点坐标公式得.
因为点在圆上，所以，
即.
将此方程与方程比较可得，解得.故选D.
10．过直线上的点作圆:的两条切线、，当直线、关于直线对称时，
A． B．
C． D．
【答案】B
【名师点睛】解答本题的难点是如何理解两条切线关于直线对称，从而将问题转化为，最终求得点到直线的距离，即，从而使得问题获解.
11．已知圆：，动点在圆：上，则面积的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
当时，的面积最大，其最大值为，应选B.
12．（2018天津卷）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
【答案】
【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
13．（2018新课标I卷）直线与圆交于两点，则________．
【答案】
【解析】根据题意，圆的方程可化为，
所以圆的圆心为，且半径是2，学&科网
根据点到直线的距离公式可以求得，
结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.
【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.
14．若直线与直线之间的距离是，则_________.
【答案】0
【解析】直线与直线之间的距离是，
，解得，（负值舍去）
则.
故答案为.
15．（2017江苏）在平面直角坐标系中，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．
16．设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 ．
【答案】
【解析】设圆心坐标为，则，焦点，，
，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆的圆心为，半径为1，所求圆的方程为.学科*网
【名师点睛】待定系数法求圆的标准方程，先根据圆心的位置巧设圆心可以起到减元的作用，减轻解方程组的负担，根据题目的要求列出方程组解出圆心坐标和半径.直线和圆的位置关系问题是高考常见题，要学会利用圆心到直线的距离去解决直线与圆有关问题.
17．（2018新课标II理）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由题意得，l的方程为．
设，
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得（舍去），．
因此l的方程为．学&科网
18．（2017新课标III理）已知抛物线C：，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【答案】（1）见解析；（2）直线的方程为，圆的方程为；或直线的方程为，圆的方程为.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，
故，即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
（1）设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由斜率之积为可得，即得结论；
（2）结合（1）的结论求得实数的值，分类讨论即可求得直线的方程和圆的方程.
19．已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积
【答案】（1）（2）
（2）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
由于，故在线段的垂直平分线上，
又在圆上，从而，
因为的斜率为3，所以的斜率为，
所以的方程为，
又，到的距离为，
所以的面积为.
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立， 之间的关系；
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
（4）代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．
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________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
斜截式
一般式
与相交

与垂直
与平行
且
或
与重合
且
方程
适用范围
①点斜式：
不包含直线
②斜截式：
不包含垂直于x轴的直线
③两点式：
不包含直线和直线
④截距式：
不包含垂直于坐标轴和过原点的直线
⑤一般式：不全为
平面直角坐标系内的直线都适用
斜截式
一般式
与相交

与垂直
与平行
且
或
与重合
且
圆的标准方程
圆的一般方程
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径
方程
圆心
半径
区别与
联系
（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；
（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；
（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程
标准方程的形式
一般方程的形式
点（x0，y0）在圆上
点（x0，y0）在圆外
点（x0，y0）在圆内
判断方法
直线与圆的位置关系
几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断

方程无实数解，直线与圆相离
方程有唯一的实数解，直线与圆相切
方程有两个不同的实数解，直线与圆相交
两圆的位置关系
外切
相切
两圆有唯一公共点
内切
内含
相离
两圆没有公共点
外离
相交
两圆有两个不同的公共点