高中数学高考专题12 概率-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）

专题12  概率

易错点1  忽略概率加法公式的应用前提致错

某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：

已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率.

【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000) (元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.

【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A与事件B+C+D并不是对立事件.

【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.

在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.

1．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

【答案】得到黑球的概率为，得到黄球的概率为，得到绿球的概率为.

【解析】从袋中任取一球，记事件A＝{得到红球}，事件B＝{得到黑球}，事件C＝{得到黄球}，事件D＝{得到绿球}，

则有解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.

所以得到黑球的概率为，得到黄球的概率为，得到绿球的概率为.

【名师点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，考查了互斥事件的概率加法公式，关键是明确互斥事件和的概率等于概率的和，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．分别以表示事件：从袋中任取一球“摸到红球”，“摸到黄球”，“摸到绿球”，则由题意得到三个和事件的概率，求解方程组，即可得到答案．

易错点2  混淆“等可能”与“非等可能”

从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.

【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为.

【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.

【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选中女生的概率为.

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利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基本事件是等可能发生的.

2．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是

A．             B．

C．            D．

【答案】D

【解析】投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面向上的概率为，抛掷第999次正面向上的概率还是.

故选D.

【名师点睛】本题主要考查了概率的基本概念及应用，其中熟记随机事件的概率的基本概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．由题意投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为，它不因抛掷的次数而变化，即可得到答案．

错点3  几何概型中测度的选取不正确

在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C．

（1）在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率;

（2）在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率.

【错解】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.

由题意,知AB=AC．

由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB．

所以.

（2）在∠ACB的内部作射线，则所求概率为.

【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB的内部作射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度.

【试题解析】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.

由题意,知AB=AC．

由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB．

所以.

（2）由于在∠ACB内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,又，，所以.

对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．

(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．

3．在区间上随机取两个数x，y，记P为事件“”的概率，则

A．            B．

C．            D．

【答案】D

【解析】如图所示，表示的平面区域为，

平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，，

结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为.

本题选择D选项.

【名师点睛】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.

(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；

(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；

(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．

一、随机事件与概率

1.事件关系的判断方法

对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．

2．基本事件个数的计算方法

(1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图列举.

3.求互斥事件概率的两种方法

(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．

(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法往往会较简便.

二、古典概型

1.求古典概型的基本步骤

(1)算出所有基本事件的个数n.

(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.

(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．

2．基本事件个数的确定方法

(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型．

(2)列表法：此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法．

3．求与古典概型有关的交汇问题的方法

解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.

三、几何概型

1.求解与长度(角度)有关的几何概型的方法

求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．

2．求解与体积有关的几何概型的方法

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

3．求解与面积有关的几何概型的方法

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．

1．（2018年全国卷Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为

A．0.3            B．0.4

C．0.6            D．0.7

2．（2018年全国卷II文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为

A．            B．

C．            D．

3．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是

A．            B．

C．            D．

4．已知平面上有3个点,在处放置一个小球,每次操作时将小球随机移动到另一个点处,则4次操作之后,小球仍在点的概率为

A．          B． 

C．          D．

5．已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：

907  966  191  925  271  431  932  458  569  683

该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

A．            B．

C．            D．

6．传说战国时期,齐王与田忌各有上等,中等,下等三匹马,且同等级的马中,齐王的马比田忌的马强,但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹马,每匹马赛一次,赢得两局者为胜.如果齐王将马按上,中,下等马的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,则田忌获胜的概率是

A．          B． 

C．          D．

7．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于l的概率为

A．            B．

C．            D．

8．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为,从集合中任取一个元素,则函数是增函数的概率为

A．  B． 

C．  D．

9．设函数f(x)=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是

A．  B．1﹣ 

C．  D．

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A．p1=p2            B．p1=p3

C．p2=p3            D．p1=p2+p3

11．（2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

12．已知向量若，则向量的概率为_______.

13．设集合,,从集合中任取一个元素,则这个元素也是集合中元素的概率是__________．

13．某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示．

（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；

（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；

（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[80,90）内的概率．

14． 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:

甲商场:顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计)即为中奖·

乙商场:从装有2个白球、2个蓝球和a个红球的盒子中一次性摸出1球（这些球除颜色外完全相同），它是红球的概率是，若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2个相同颜色的球，即为中奖.

（1）求实数的值；

（2）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.

15．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率.

16．（2018天津文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

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