第13讲 一次函数、二次函数背景下的最值问题（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮第十三讲  一次函数、二次函数背景下的最值问题一、三大必备知识点考点一  将军饮马型求最小值考点二  搭桥模型求最小值考点三  胡不归模型求最小值             
   一、三大必备知识点一、求线段之和的最小值（将军饮马型）1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：    （2）点A、B在直线同侧：      A、A’ 是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：                                （2）一个点在内侧，一个点在外侧：   （3）两个点都在内侧：    （4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.   变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.   二、求线段之和的最小值（修桥模型）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：      过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：       过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 三、胡不归求最值（胡不归模型）一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．，记，即求BC+kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．  考点一  将军饮马型求最小值 1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）求出△BCO的面积；（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标．       2．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，其中AB＝3，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求△PQD的周长的最小值； 3．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，若点E是AB上一动点（点A、B除外），连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；    4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．（1）求抛物线和直线AB的解析式．（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．                            考点二  搭桥模型求最小值 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，过点B作直线l2⊥l1交x轴于点C，将直线l2沿y轴正方向平移2个单位得到直线l3，直线l1与直线l3交于点D．（1）求△ABC的面积；（2）如图2，点F在直线l1上，点F的纵坐标为7，点M、点N分别为直线l3、l2上的两个动点（点M的横坐标小于点N的横坐标），且∠MNB＝30°，连接FM、NO，求FM+MN+NO的最小值；                     6．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣x+4，与x轴交于点C．直线l上有一点B的横坐标为，点A是OC的中点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）在直线BC上有两点P，Q，且PQ＝2，使四边形OAPQ的周长最小，求周长的最小值；  7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+b与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OB＝1，∠OBC＝60°．（1）如图1，求直线BC的解析式；（2）如图1，线段AC上方抛物线上有一动点P，PD⊥x轴于点H，交线段AC于点D，直线BG∥AC，交抛物线于点G，点F是直线BG上一动点，FE∥BC交AC于点E，点Q是点A关于直线BG的对称点，连接PE、QF．当线段PD取最大值时，求PE+EF+QF的最小值及点E的坐标；   8．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF＝1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标． 考点三  胡不归模型求最小值 9．如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．（1）求直线l2的解析式；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值； 10．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+3（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：y＝x+1分别交x轴，y轴于点D，E，且直线l1⊥l2于点C．（1）如图1，在y轴上有一长为的线段PQ（点P在点Q上方），当线段PQ在y轴正半轴移动时，求CP+PQ+OQ的最小值．11．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为Q，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值；    12．如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．