第27讲 尺规作图（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

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【2022讲通练透】二轮第二十七讲  尺规作图必备知识点考点一  尺规作图             
   必备知识点（1）题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：（1）       作射线AP；（2）       在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法：（１）分别以M、N为圆心，大于　　　的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 （3）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）       作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。 （4）题目四：作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB。求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB作法：（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；（5）连接O’N’并延长到B’。则∠A’O’B’就是所求作的角。（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。已知：如图，P是直线AB上一点。求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。作法：（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；（3）过D、Q作直线CD。则直线CD是求作的直线。 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线已知：如图，直线AB及外一点P。求作：直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB。作法：（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；（2）分别以M、N圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；（3）过P、Q作直线CD。则直线CD就是所求作的直线。 （7）题目七：已知三边作三角形。已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法：（1）       作线段AB = c；（2）       以A为圆心，以b为半径作弧，以B为圆心，以a为半径作弧与前弧相交于C；（3）       连接AC，BC。则△ABC就是所求作的三角形。 （8）题目八：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段m，n, ∠.求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n. 作法：（1）       作∠A=∠；（2）       在AB上截取AB=m ,AC=n；（3）       连接BC。则△ABC就是所求作的三角形。  （9）题目九：已知两角及夹边作三角形。已知：如图，∠，∠，线段m . 求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m. 作法：（1）       作线段AB=m；（2）       在AB的同旁作∠A=∠，作∠B=∠，∠A与∠B的另一边相交于C。 则△ABC就是所求作的图形（三角形）。       考点一  尺规作图 1．如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．（1）尺规作图：以E为顶点，作∠AEF＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．【解答】解：（1）如图，∠AEF即为所求；（2）∵∠DFE＝150°，∴∠EFB＝180°﹣150°＝30°，∵∠AEF＝∠ABC，∴EF∥BC，∴∠FBC＝∠EFB＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠BEF＝∠FBC＝30°．答：∠BEF的度数为30°．2．已知线段a，b，点A，P位置如图所示．（1）画射线AP，请用圆规在射线AP上依次截取AB＝a，BC＝b；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作图形中，若M，N分别为AB，BC的中点，在图形中标出点M，N的位置，再求出当a＝4，b＝2时，线段MN的长．【解答】解：（1）如图所示，线段AB、BC即为所求．（2）∵a＝4，b＝2，即AB＝4，BC＝2，且M，N分别为AB，BC的中点，∴MB＝AB＝2，BN＝BC＝1，∴MN＝MB+BN＝2+1＝3．3．如图，已知∠BAC．用三种不同的方法作∠α等于∠BAC．要求：（1）尺规作图；（2）保留作图痕迹，不写作法．【解答】解：如图①～③，∠α即为所求．4．如图，已知∠BAC，用三种不同的方法画出∠BAC的角平分线．要求：（1）画图工具：带有刻度的直角三角板；（2）保留画图痕迹，简要写出画法． 【解答】解：如图，射线OP即为所求．5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF．【解答】（1）解：如图，（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，而DE＝DF，∴AD垂直平分EF，即AD⊥EF．6．如图，已知△ABC，以A为圆心，AC为半径画弧与BC相交于另一点E．（1）用尺规作图的方法，作出△ABC的高AD（垂足为D）．（2）求证：ED＝CD．【解答】（1）解：如图，AD为所作；（2）证明：由作法得AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形，∵AD⊥CE，∴AD为△ACE的中线，∴ED＝CD．7．作图题：如图，平面内有四个点A、B、C、D，请你利用直尺和圆规，根据下列语句画出符合要求的图，请保留作图痕迹．（1）画直线AB，射线AC，线段BC；（2）在直线AB上找一点M，使线段MD与线段MC之和最小；（3）在线段AD的延长线上截AE＝3AD，连线段CE交直线AB于点F．【解答】解：（1）如图，直线AB，射线AC，线段BC为所作；（2）如图，点M为所作；（3）如图，点E、F为所作．8．在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明．【解答】解：如图，理由是：因为P是∠A的平分线和MN的垂直平分线的交点，所以P到∠A的两边AB和AC的距离相等，P到M、N的距离相等，所以P就是所求．9．如图，已知△ABC和两内角平分线AD，BE．（1）求作△ABC的角平分线CF；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：△ABC的三条角平分线AD，BE，CF相交于同一点．【解答】（1）解：CF即为所求作的角分线；（2）证明：设AD，BE相交于P过点P分别作PH⊥AB于H，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，∵AP是∠BAC的平分线，∴PH＝PM，∵BP是∠ABC的平分线，∴PN＝PM，∴PH＝PN，∴点P在∠ACB的平分线上，∴△ABC的三条角平分线AD，BE，CF相交于同一点．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD．（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB．【解答】（1）解：如图，AE为所作； （2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠DAE，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠ADE＝∠C＝90°，∴DE⊥AB．11．下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l外取一点A，作射线AP与直线l交于点B，②以A为圆心，AB为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q，则直线PQ即为所求．根据小王设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，（　等边对等角　）（填推理的依据）．∵AP＝　PQ　，∴∠APQ＝∠AQP．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．∴PQ∥BC（　同位角相等，两直线平行　）（填推理的依据）．即PQ∥l．【解答】解：（1）如图所示，直线PQ即为所求． （2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，∴∠APQ＝∠ABC．∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行），即PQ∥l．故答案为：等边对等角；AQ；同位角相等，两直线平行．12．如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．【解答】解：（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB＝180°或∠MPN＝∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MPN+∠AOB＝180°．右图中，∵∠PJM＝∠OJN，∠AMJ＝∠JNO＝90°，∴∠MPN＝∠AOB．13．尺规作图：作△ABC的高AD（要求：保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，AD即为所求．