2023赣州高三下学期3月一模试题数学（文）含答案
展开赣州市2023年高三年级摸底考试
文科数学试卷
2023年3月
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若，则实数的值为（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.3
3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4.某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（ ）
A.该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%
B.该公司在华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多
C.该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多
D.该公司2022年营收总额约为30800万元
5.若为锐角，，则（ ）
A. B.1 C. D.
6.若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
7.古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，S表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知Rt△ACB中，，则△ACB的重心G到AC的距离为（ ）
A. B. C.1 D.2
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
9.已知函数则方程的实根个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
10.已知函数的最小正周期为，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知棱长为3的正四面体的内切球球心为，现从该正四面体内随机取一点，则点落在球内的概率为（ ）
A. B. C. D.
12.为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左､右焦点，且，直线交轴于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，且，则向量在向量上的投影为__________.
14.已知函数，则曲线在处的切线方程为__________.
15.已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为__________.（写出一个值即可）
16.已知锐角的内角的对应边依次记为，且满足，则的取值范围为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本小题满分12分）
双减政策落地后，五项管理原则出台.某学校为了加强落实其中的“读物管理”，鼓励优质读物进校园，营造学校良好的阅读氛围，充分发挥课外读物帮助学生开阔视野､陶冶情操､增长知识､启迪智慧､塑造良好品质和健康人格等方面的积极作用，决定举办“阅读经典·收获未来”知识竞赛.
班主任张老师拿到班委推选的参赛名单后，按要求需从甲､乙两人中先淘汰一人，为此特意调取了甲､乙两人5次模拟大赛的成绩，统计结果如下茎叶图：
（1）你认为派谁去参赛合适？请用统计知识说明理由：
（2）据悉，知识大赛现场有一个观众互动游戏环节：将四大名著《红楼梦》､《西游记》､《三国演义》､《水浒传》及作者用红线连起来，求观众丙恰好连对1个的概率.
18.（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，是等比数列，且满足.
（1）若数列是唯一的，求实数的值；
（2）若，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，且点分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，证明：函数有两个零点.
参考数据：
21.（本小题满分12分）
已知抛物线为其焦点，点在上，且（为坐标原点）.
（1）求抛物线的方程；
（2）若是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值：若不存在，请说明理由.
请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知曲线（为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）曲线的极坐标方程及曲线的普通方程；
（2）已知是曲线上的两个动点（异于原点），且，若曲线与直线有且仅有一个公共点，求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1），解不等式；
（2）证明：.
赣州市2023年高三年级摸底考试
数学（文科）参考答案
一､选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | C | A | B | D | B | D | A | B | C | A |
8.解：因为，即，又，
所以，故选D.
12.由，所以为直角三角形，故内切圆半径
，
所以，故选A.
二､填空题
13. 14. 15.（取的整数即可） 16.
16.解：由正弦定理，，即为，
即，展开整理得，
因为锐角中，，
所以，即.
又
，因为，所以，
所以，所以范围为.
三､解答题
17.解：（1）甲的平均成绩为
乙的平均成绩为
甲的成绩方差
乙的成绩方差为
由于，甲的成绩较稳定故派甲参赛比较合适
（2）记四大名著《红楼梦》､《西游记》､《三国演义》､《水浒传》的作者依次记为，则游戏互动中，观众丙随机连线的结果有：
ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB；BCDA，BCAD，BDAC，BDCA，BACD，BADC；
CABD，CADB，CBDA，CBAD，CDAB，CDBA；DABC，DACB，DBAC，DBCA，DCBA，DCAB.
共24种连法
其中恰好连对1个的结果有：ACDB，ADBC；BDCA，BCAD；CABD，CBDA；
DACB，DBAC共8种
所以观众丙恰好连对1个的概率为
18.解：（1）由数列是等比数列，，设其公比为，
由题设，得，即（*）
因为数列是唯一的，所以对于方程（*），
①若方程（*）有一个根为0，另一个不为0，把0代入方程，得，
当时，或0（舍去），故，满足唯一性
②若方程（*）有两个相等的实根，且根不为0，则，解得，
代入（*）式，解得，又，所以是唯一的等比数列，符合题意
所以，或
（2）由，所以，得，
解得或0（舍去），此时
所以，所以等差数列的公差，
所以，即
所以①
②
①-②得
所以
19.解：（1）因为
所以是正三角形，所以
又，由余弦定理得
则，所以，即
因为点是的中点.所以，点是的中点，所以，
所以
又平面平面，平面平面平面
所以平面，因为平面，所以
因为平面
所以平面
（2）由（1）得平面
在直.角中，
设点到平面的距离为，由
即，
解得，所以点到平面的距离为
20.解：（1）因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立
又，所以在上单调递增
要使得在上恒成立，
则，解得
即所求的实数的取值范围为
（2）由（1）知在上单调递增，
因为，所以，
所以函数在上存在唯一零点，即，
又为的极值点，即，
所以，此时
所以当时，单调递减；
时，单调递增
又
，
记，
则，
所以在上递减，
所以，
所以
又，
所以函数在及上各存在一个零点，
即函数在上有两个零点
21.解：（1）因为点在上，则，而
所以
，所以
该抛物线的方程为
（2）法一：设，不妨设，
，则，
解得
①当与轴不垂直时，，
此时直线的方程为：，
整理得
的方程为：，
则直线恒过定点
，即，
在以为直径的圆上，
该圆方程为
即当为该圆心时，为定值
②当轴时，，
此时；
当时，也满足
综上，平面内存在一个定点，使得为定值4
法二：设直线的方程为
联立
由题意
由韦达定理得：
由，即
解得
即，直线恒过定点
下同法一
22.解：（1）由曲线（为参数），
得，
所以曲线的普通方程为
又由得，
所以曲线的极坐标方程为
又曲线，得，即
所以曲线的普通方程为
（2）由题意，设，则，
又曲线与直线有且仅有一个公共点，
故为点到直线的距离，
由曲线的极坐标方程为，
得，所以
所以，即
所以
又，
所以，
即所求实数的值为
解：（1）不等式即，
或或
解得，或，或
所以原不等式的解集为
（2）证明：
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号）
所以（当且仅当时等号成立）
法二：
知在单调递减，在上单调递增
所以
所以（当且仅当时等号成立）
