陕西省西安市长安区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

2022-2023学年陕西省西安市长安区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若反比例函数的图象经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各种现象属于中心投影的是(    )

A. 晚上人走在路灯下的影子 B. 中午用来乘凉的树影
C. 上午人走在路上的影子 D. 阳光下旗杆的影子

5.  点的坐标是，从，，，，这五个数中任取一个数作为的值，再从余下的四个数中任取一个数作为的值，则点在平面直角坐标系中第二象限内的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点在的边上，要判断∽，添加下列一个条件，不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知菱形的对角线，的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若二次函数的图象的最高点是，则、的值分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.  如图，先画一个边长为的正方形，以其对角线为边画第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边画第三个正方形，如此反复下去，，那么第个正方形的对角线长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  三视图都是圆形的几何体是______．

12.  “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为______．

13.  如图，是由个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，现从标有、、、的四个小正方体中随机取走一个，所得新几何体与原几何体主视图相同的概率是        ．

14.  若，由下列表格的信息：可知与之间的函数关系式是        ．

15.  如图所示是一块含，，的直角三角板，直角顶点位于坐标原点，斜边垂直于轴，顶点在函数的图象上，顶点在函数的图象上，，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
用适当的方法解方程：
；
．

17.  本小题分
如图，在中，点是上一点，且，，．
求证：∽．

18.  本小题分
万科广场已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，从一楼到二楼有一自动扶梯如图，图是侧面示意图，已知自动扶梯的坡度或坡比：，米，是二楼楼顶，，点在上且在自动扶梯顶端的正上方，若，在自动扶梯底端处测得点仰角为，求二楼的层高精确到米，参考数据：，，
 

19.  本小题分
实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，．
画出绕点顺时针旋转后的；
点是的中点，在的条件下，的对应点的坐标为______．
以点为位似中心，相似比为：，在轴的上方画出放大后的．

20.  本小题分
已知反比例函数上的图象与一次函数的图象交于点和点．
求的函数关系式；
观察图象，直接写出使得成立的自变量的取值范围；
如果点与点关于轴对称，求的面积．

21.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，它的对称轴与轴交于点，过顶点作轴于点，连结交于点，已知点的坐标为．
求该抛物线的解析式及顶点的坐标．
求与的面积之比．

22.  本小题分
如图，在中，，是边的中点，过作，交的延长线于点，，，求：
线段的长．
的值．

23.  本小题分
我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．
如图已知小明的身高是米，他在路灯下的影子长为米，此时小明距路灯灯杆的底部米，求灯杆的高度；
如图现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置，此时测得其影长为米，求灯杆的高度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据，可得，代入代数式求解即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式

，
故选：．
根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上的点的坐标特征”这一知识点．
根据反比例函数图象上的点的坐标特征，将代入反比例函数的解析式，然后解关于的方程即可．
【解答】

解：点在反比例函数的图象上，
点满足反比例函数的解析式，
，
解得．
故选A．
 

4.【答案】 

【解析】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有选项得到的投影为中心投影．
故选：．
根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可．
此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为点还是平行光线．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中点在平面直角坐标系中第二象限内的结果有：，，，，共种，
点在平面直角坐标系中第二象限内的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数，以及点在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在和中，，
当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故A正确；
当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故B正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断∽，故C正确；
当时，其夹角不相等，则不能判断∽，故D不正确；
故选：．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，，
即菱形的对角线，的长度为和，
此菱形的面积．
故选：．
先利用因式分解法解方程得到和的长，然后根据菱形的面积公式求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．也考查了菱形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：、、三点都在函数的图象上，
，，．
．
故选：．
此题可直接把各点的横坐标代入求得纵坐标再比较大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．图象上点的坐标适合解析式．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的最值．解答此题时，弄清楚“二次函数的图象的最高点坐标就是该函数的顶点坐标”是解题的关键．
根据二次函数的二次项系数来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数的图象的最高点是确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答、的值．
【解答】
解：二次函数的二次项系数，
该函数的图象的开口方向向下，
二次函数的图象的最高点坐标就是该函数的顶点坐标，
，即；
，即；
由解得，，；
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：第个正方形的边长是，对角线长为，
第二个正方形的边长为，对角线长为，
第个正方形的边长是，对角线长为，
第个正方形的对角线长为，
故第个正方形对角线长为．
故选：．
第个正方形的边长是，对角线长为；第二个正方形的边长为，对角线长为，第个正方形的对角线长为；得出规律，即可得出结果．
本题主要考查了算术平方根，求出第一个、第二个、第三个正方形的对角线长，得出规律是解决问题的关键．
 

11.【答案】球 

【解析】解：三视图都是圆形的几何体是球．
故答案为：球．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形为边长为的正方形，
，
由平移的性质可知，，
，
故答案为：．
根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的概念求出，计算即可．
本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：共有种可能，其中拿走是主视图是相同的，
相同的概率是．
故答案为：．
根据三视图的定解决问题即可．
本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意，得
解得
与之间的函数关系式是．
故本题答案为：．
将代入中，得，当，时，函数的值分别为，；列方程组求、、的值即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：；顶点式，其中顶点坐标为；交点式，抛物线与轴两交点为，．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，中，，，
，
，
，
，
设，则，，
，
顶点在函数的图象上，
，
中，，
，
，
顶点在函数的图象上，
，
，
故答案为：．
设，则，，根据直角三角形角的性质和勾股定理分别计算点和的坐标，写出和两点的坐标，代入解析式求出和的值，相比即可．
本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，正确写出、两点的坐标是关键．
 

16.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

17.【答案】证明：，，，
，，
，
又，
∽． 

【解析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得结论．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

18.【答案】解：延长交于点．
由题意可知：，，米，
，
米，
由勾股定理可知：米，
，
米，
米．
答：二楼的层高米． 

【解析】延长交于点，由题意可知：，，米，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的长度．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理，本题属于基础题型．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．

点是的中点，
点是的中点，
，，
点的坐标为
故答案为：
如图，即为所求．

根据旋转的性质作图即可．
由题意得，点是的中点，利用中点坐标公式求解即可．
根据位似的性质作图即可．
本题考查作图旋转变换、位似变换，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：把代入，则，
则，
则反比例函数的解析式是：；
点在反比例函数的图象上，
，
，
把和代入得：
，
解得：，
则一次函数的解析式是：；
当或时，．
点与点关于轴对称，
，
． 

【解析】把的坐标代入反比例函数的解析式即可求得的值，然后求得交点的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式．
根据图象由两交点、，当一次函数位于反比例函数图象上时求的取值范围．
求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查用待定系数法求函数解析式，无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取．
 

21.【答案】解：由题意可得：，
解得：，
，
，
顶点；

，抛物线的对称轴为直线，
点，
，，
，
∽，
． 

【解析】直接将代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；
利用，则∽，进而求出与的面积之比．
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出∽是解题关键．
 

22.【答案】解：，，，
，
为直角三角形斜边上的中点，
；

，为的中点，
，
，
，
由勾股定理得：，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
． 

【解析】根据求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，再求出即可；
求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理得出，代入求出，再解直角三角形求出答案即可．
本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识点，能求出的长是解此题的关键．
 

23.【答案】解：，
∽，
，
小明的身高是米，他在路灯下的影子长为米，此时小明距路灯灯杆的底部米，
，，，
，
解得，
灯杆的高度是．
由题意得：
米，米，，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
米，
，
米，
灯杆的高度为米． 

【解析】根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可；
根据题意得：米，米，，然后证明字模型相似三角形∽，从而可得，再证明字模型相似三角形∽，从而可得，进而可得，最后求出的长，从而求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，数学常识，中心投影，列代数式，平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．此题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出∽进而得出比例式是解题关键．