初中数学人教版九年级下册26.1.2 反比例函数的图象和性质综合训练题

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专训26.1 反比例函数的图象和性质
一、单选题
1．（2021·辽宁·沈阳市实验学校九年级期中）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　）
A．y＝﹣3x+6 B．y=x2 C．y＝ D．y＝
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的定义判断即可得到正确答案．
【详解】
解：A、是一次函数，不符合题意；
B、y=x2，不符合题意；
C、中，未知数的次数是次，不是反比例函数，不符合题意；
D、是反比例函数，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查反比例函数的定义，牢记定义内容是解题关键．
2．（2021·广西合浦·九年级期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数的定义逐项进行判断即可．
【详解】
解：A、 y与x2成反比例，因此该选项不符合题意；
B、， y是x的反比例函数，因此该选项符合题意；
C、，y是x的正比例函数，因此该选项不符合题意；
D、，即，y是x的正比例函数，因此该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数的定义，掌握“形如y=（k是常数，且k≠0）的函数是反比例函数”是正确判断的关键．
3．（2021·湖南道县·九年级期中）已知点A（1，2021）在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
A．2021 B．－2021 C．1 D．－1
【答案】A
【分析】
将点的坐标代入，然后求解即可．
【详解】
解：点A（1，2021）在反比例函数的图象上，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式．
4．（2021·湖南·新化县东方文武学校九年级期中）下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，8） C．（2，﹣4） D．（﹣16，﹣2）
【答案】A
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．即当时在反比例函数y＝图象上.
【详解】
解：∵2×4＝8，选项A的点在反比例函数y＝图象上；
∵﹣1×8＝﹣8，选项B的点不在反比例函数y＝图象上；
∵2×(﹣4)＝﹣8，选项C的点不在反比例函数y＝图象上；
∵﹣16×(﹣2)＝32，选项D的点不在反比例函数y＝图象上．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
5．（2021·海南海口·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为（ ）
A． B．6 C．或6 D．
【答案】B
【分析】
利用点过反比例函数图象，将点坐标代入求出反比例解析式，再求出m即可．
【详解】
根据反比例函数图像性质，若k>0，则反比例函数图象过第一、三象限；若k<0，则反比例函数图象过第二、四象限．
若点A（－1，2）在反比例函数图象上，则，解得k=－2，反比例函数图象过第二、四象限．故点C需在第四象限，与点C横坐标为－6矛盾．
若点B（2，3）在反比例函数图象上，则，解得k=6，反比例函数图象过第一、三象限．故点C需在第三象限，将点C（－6，m）代入反比例函数解析式得，解得m=－1．
综上，k的值为6．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图像性质，能熟练掌握反比例函数k值影响图象所在象限是解题的关键．
6．（2021·江苏江阴·八年级期末）反比例函数的图像如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据点A、B的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出-3＜k＜-2，再对照四个选项即可得出结论．
【详解】
解：观察函数图象可知：3×（-1）＜k＜（-2）×1，
即-3＜k＜-2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键．
7．（2021·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（ ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
根据函数图象确定k的取值范围．
【详解】
解：如图所示，

反比例函数的图象位于第二、四象限，则．
又，即．
观察选项，只有选项合题意．
故选：．
【点睛】
考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点．
8．（2021·山东济南·一模）一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数的图像和反比例函数的图像进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
反比例函数的图像在第一、三象限，则；
一次函数的图像在第一、三、四象限，则；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握两个函数图象的性质，能根据图象所在象限分析出k、b的正负．
9．（2021·重庆江北·九年级月考）如图，的直角边在轴的正半轴上，斜边上的中线的反向延长线交轴的负半轴于点，双曲线经过点，若的面积为5，则的值为（ ）

A． B．5 C．10 D．
【答案】C
【分析】
先根据题意证明，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．
【详解】
∵BD为的斜边AC上的中线，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：．
又∵，
∴，
又∵反比例函数图象在第一象限，，
所以：．
故选：C．
【点睛】
题目主要考察反比例函数中k的几何意义及相似三角形的判定和性质，找出并证明三角形相似、结合图象求解是解答此题关键．
10．（2021·陕西富平·九年级期末）反比例函数（为常数）的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数的性质可得m﹣2＞0，进一步即可求出答案．
【详解】
解：∵反比例函数（m为常数）的图象位于第一、三象限，
∴m﹣2＞0，
解得：m＞2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
11．（2021·山东无棣·九年级期末）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数图象分别位于第二、四象限
C．随的增大而增大
D．若，则
【答案】C
【分析】
根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵k=-2×4=-8，∴此函数图象过点（-2，4），故本选项不符合题意；
B、∵k=-8＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项不符命题意；
C、∵k=-8＜0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故本选项符合题意；
D、当，则，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
12．（2021·湖北孝南·九年级期末）已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点在该函数图象上
C．随的增大而增大 D．该图象关于原点成中心对称
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．
【详解】
解：A．∵反比例函数中-6＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．把（2，3）代入得：左边=3，右边=-3，左边≠右边，
所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C．∵反比例函数中-6＜0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D．反比例函数的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
13．（2020·广西灌阳·九年级期中）如图，ABO中，∠ABO＝45°，顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则OB2﹣OA2的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
直接利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特点得出答案．
【详解】
解：如图所示：过点A作AD⊥OB于点D，

∵∠ABO＝45°，∠ADB＝90°， 
∴∠DAB＝45°，
∴设AD＝x，则BD＝x，
∵顶点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴DO•AD＝3，
则DO＝ ，
故BO＝x+ ，  
OB2﹣OA2＝（OD+BO）2﹣（OD2+AD2）
＝（x+ ）2﹣x2﹣
＝6.
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数和（且）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数图象、正比例函数图象分析解答．
【详解】
由条件可知，，
当时的图像经过第二、四象限，
当时的图像经过第一、三象限，故选B．
【点睛】
本题考查反比例函数图象、正比例函数图象的特征，熟记图象与比例系数k的关系．
15．（2021·山东招远·九年级期中）如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是和，则的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，3），B（3，2）．再过A，B两点分别作轴于C，轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出，根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=，从而得出．
【详解】
解：解：∵A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和3，
∴当x=2时，y=3，即A（2，3），当x=3时，y=2，即B（3，2），
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=×6=3．

∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=，
∴S△AOB=2.5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．解题的关键是根据题意得出S△AOB=S梯形ABDC．
16．（2021·福建·厦门市第十一中学九年级期中）如图已知点M为反比例函数上的一点，过点M向x轴引垂线，垂足为P，连接OM，的面积等于3，则k的值为（ ）

A．3 B．-3 C．6 D．-6
【答案】C
【分析】
根据三角形的面积求出xy=6，即可求出k=xy=6，得出选项即可．
【详解】
解：∵△OPM的面积等于3，M（x，y），
∴，
∴xy=6，
∵点M为反比例函数上的一点，
∴k=xy=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和反比例函数图象上点的坐标特征，能求出xy=6和k=xy是解此题的关键．
17．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）如图，点和点分别是反比例函数和的图像上的点，轴，点为轴上一点，若，则的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】
连接MO，NO，将△MNP面积转化为△MON的面积，然后结合反比例函数系数k的几何意义求解．
【详解】
解：连接MO，NO，

∵MN∥x轴，
∴S△MNP＝S△MNO＝，
∵点M和点N分别是反比例的数和的图象上的点，
∴a＜0，b＞0，
∴，
∴S△MNP＝2，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
18．（2021·山东沂源·八年级期末）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】
解：图1中，阴影面积为xy＝4；
图2中，阴影面积为xy＝×4＝2；
图3中，阴影面积为2×xy＝2××4＝4；
图4中，阴影面积为4×xy＝4××4＝8；
则阴影面积为4的有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．


二、填空题
19．（2021·湖南道县·九年级期中）若函数是关于x的反比例函数，则n的值为__________．
【答案】0
【分析】
根据反比例函数的定义可得关于n的一元一次方程，解方程求出n的值即可得答案．
【详解】
解：∵函数是关于的反比例函数，
∴，
解得：，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题关键．
20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校九年级月考）点（－3，4）在反比例函数的图象上，则的值为_______
【答案】
【分析】
将点（－3，4）代入反比例函数，求解即可．
【详解】
解：将点（－3，4）代入反比例函数，得，解得
故答案为
【点睛】
此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的有关性质是解题的关键．
21．（2021·广东台山·九年级期末）点和点均在反比例函数（k为常数，）的图象上，则________．
【答案】5
【分析】
由得k=xy，把A、B两点的坐标分别代入既得关于a的方程，解方程即可．
【详解】
由得k=xy，把A、B两点的坐标分别代入k＝xy中，得k=2(a+1)=3(a-1)
解得：a=5
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象点的特征，掌握此特征是解题的关键．
22．（2021·江苏·苏州市振华中学校八年级期末）若点，在同一个反比例函数的图像上，则的值为_______．
【答案】－6
【分析】
根据反比例函数中，k=xy为定值即可得出结论．
【详解】
解：∵点A（-4，3）、B（a，2）在同一个反比例函数的图象上，
∴（-4）×3=2a，
解得a=-6．
故答案为-6．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
23．（2020·四川龙泉驿·九年级期中）如图，在，，，直线经过原点，交轴于点，，若反比例函数经过，两点，则的值为___________．

【答案】
【分析】
过点作轴垂线垂足为，连结，设，先证，得出，再根据列出方程求解即可．
【详解】
解：过点作轴垂线垂足为，连结，如图所示，

设，则，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
则，
，，，
设直线为，代入，
，，
：，
令，
，，，
则，
∵，关于对称，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴在中，，
在中，，
则有，
，
，
，①
∵在中，，
∴，
，②
将②代入①中得：

，
，③
将③代入②中的：，
，
则，
∵反比例函数经过一、三象限．
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关性质与判定是解题的关键．
24．（2021·全国·九年级）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，在轴上，在轴上，点的坐标为，反比例函数与、交于、两点，将沿着翻折，点恰好落在上的处，则反比例函数的解析式为________．

【答案】
【分析】
先用待定系数法解得直线AC的解析式，设，作出折叠后的图形，根据反比例函数解析式表示出点E、F的坐标，过点作于点H，于点G，可得，根据相似三角形的对应边成比例列式整理，求得点的坐标，然后在直角三角形中由勾股定理解得k的值．
【详解】
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标为

设直线AC的解析式为，代入点A、C得，

设，
点E、F在双曲线上，
设，
折叠


如图，过点作于点H，于点G，





解得



在直角中，由勾股定理得，

解得
反比例函数的解析式为
【点睛】
本题考查反比例函数的综合，涉及矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质等，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键
25．（2021·广西合浦·九年级期中）如图，点B在反比例函数的图象上，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为____________．

【答案】3
【分析】
根据反比例函数k的几何意义求解即可．
【详解】
解：∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴．
∵四边形OABC是矩形，
∴．
∴矩形OABC的面积为=．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义．反比例函数k的几何意义：反比例函数上任意一点与两坐标轴围成的矩形面积=．
26．（2021·重庆第二外国语学校九年级月考）如图，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，过点B向x轴作垂线，垂足为A，连接OB，则△OAB的面积为___．

【答案】1
【分析】
直接根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】
解：∵BA⊥x轴，
∴S△OAB=×|2|=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键．
27．（2021·云南·云大附中九年级期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过作轴的垂线交轴于，连接，则的面积为______．

【答案】1
【分析】
过双曲线上任意一点与原点所连的直线，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，点A、C关于原点对称，则，据此解题
【详解】
解：过点C作轴于点D，

点A、C关于原点对称，


依题意有，
故答案为：．
【点睛】
本题考查反比例函数中k的几何意义，体现数形结合的思想，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
28．（2020·山东·日照市新营中学九年级期中）如图是反比例函数和在x轴上方的图像，x轴的平行线AB分别与这两个函数图像相交于点A，B，点P在x轴上，则点P从左到右的运动过程中，的面积是______________．

【答案】5
【分析】
利用反比例函数的比例系数的几何意义即可得到答案．
【详解】
解：连接OA、OB，

∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B．设AB交y轴于C．
∴AB⊥y轴，
∵点A、B在反比例函数y=和y=-在x轴上方的图象上，
∴S△PAB=S△AOB=S△COB+S△AOC=（7+3）=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
29．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，，，分别是，的中点，函数的图象过点，若，则的值为 __．

【答案】3
【分析】
作AD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分即可求得△AOD的面积为6，然后通过证得△POE∽△AOD，由相似三角形的性质即可求得S△POE＝S△AOD＝，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝3．
【详解】
解：作轴于，轴于，
，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
函数的图象过点，
，
，
，
，
故答案为3．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
30．（2021·浙江温州·八年级期末）如图，是等边三角形，点在轴的正半轴上（）的图象上，则的面积为______．

【答案】12
【分析】
过点A作AH⊥OB于点H，根据反比例函数的几何意义，得到 ，再根据等边三角形的性质，可得到，即可求解．
【详解】
解：如图，过点A作AH⊥OB于点H，

∵点在轴的正半轴上（）的图象上，
∴ ，
∵是等边三角形，AH⊥OB
∴ ，
∴ ．
故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所得矩形面积等于 是解题的关键．

三、解答题
31．（2021·全国·九年级课时练习）用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：
（1）一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：）的变化而变化；
（2）某长方体的体积为，长方体的高h（单位：）随底面积S（单位：）的变化而变化；
（3）一个物体重，物体对地面的压强p（单位：）随物体与地面的接触面积S（单位：）的变化而变化．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据游泳池的容积=游泳池注满水所用时间×注水速度解答即可；
（2）根据长方体的体积=长方体的底面积×高求解即可；
（3）根据物体对地面的压强=物体重量÷物体与地面的接触面积解答即可．
【详解】
解：（1）根据vt=2000得：游泳池注满水所用时间；
（2）根据1000=Sh得：长方体的高；
（3）根据题意，物体对地面的压强．
【点睛】
本题考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解答的关键．
32．（2020·山西·九年级专题练习）如图，已知一次函数的图象分别于x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点P和点，连接OP、OQ．
求m和b的值；求的面积．

【答案】（1）m的值为4，b的值为，（2）的面积为．
【解析】
【分析】
把点分别代入反比例函数和一次函数的解析式中，分别得到关于m和b的一元一次方程，解之即可，
结合，得到反比例函数和一次函数的解析式，二者联立，即可得到点P的坐标，根据一次函数的解析式，可以得到点A的坐标，即线段OA的长，根据，结合点P和点Q的坐标，计算求值即可．
【详解】
解：点Q在反比例函数和一次函数的图象上，
，，
，，
即m的值为4，b的值为，
由得，反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：，
解方程组得：，，
点P的坐标为，
点A的坐标为，
，，
即的面积为．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：正确掌握代入法，正确掌握解二元一次方程组和三角形的面积公式．
33．（2021·全国·九年级专题练习）如图是反比例函数与反比例函数在第一象限中的图象，点P是图象上一动点， PA⊥X轴于点A，交函数图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数 图象于点D，点D的横坐标为a．

（1）用字母a表示点P的坐标；
（2）求四边形ODPC的面积；
（3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形．
【答案】（1）P（2a，）；（2）2；（3）见解析
【分析】
（1）先求出点D的纵坐标得到点P的纵坐标，代入解析式即可得到点P的横坐标；
（2）利用矩形的面积计算公式及反比例函数k值的几何意义，利用，即可求出答案；
（3）证明△DPC≌△EAC，即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵点D的横坐标为a，且点D在函数图象上，
∴点D的纵坐标，
又PB⊥y轴，且点P在图象上，
∴点P的纵坐标，
∴点P的横坐标为x＝2a，
∴P（2a，）；
（2）∵，，
∴；
（3）∵PA⊥x轴于点A，交函数图象于点C，
∴点C的坐标为（2a，），
又P（2a，），
∴PC＝CA＝，
∵DP∥AE，
∴∠PDE＝∠DEA，∠DPA＝∠PAE，
∴△DPC≌△EAC，
∴DP＝AE，
∴四边形DAEP是平行四边形．
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，反比例函数图象与几何图形，平行四边形的判定定理，反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键．
34．（2020·海南·海口市第十四中学八年级月考）如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接OA，过A作轴，截取在A右侧，连接OB，交反比例函数的图象于点P．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；
（3）求的面积．
【答案】（1） （2）（9，3）； （3）5
【分析】
（1）直接代入A点坐标课的k的值，进而可得函数解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AB长，然后可得B点坐标．设OB所在直线解析式为y=mx（m≠0）利用待定系数法可求出BO的解析式；
（3）首先联立两个函数解析式，求出P点坐标，过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，再确定E点坐标，最后求面积即可．
【详解】
解：将点代入，
得：，
则反比例函数解析式为：；
如图，过点A作轴于点C，

则、，
，
轴，且，
点B的坐标为；
设OB所在直线解析式为，
将点代入得，
所在直线解析式为；
联立解析式：，
解得：
可得点P坐标为，
过点P作轴，延长DP交AB于点E，连接AP，

则点E坐标为，
，，，
则的面积．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
35．（2020·全国·九年级专题练习）小亮在研究矩形的面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：
x
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
y
12
6
■
3
2
1.5
1
0.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的数据为_________；
（2）y与x的函数关系式为_________，且y随x的增大而_________；
（3）如图是小亮画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断与的大小关系，并说明理由；

（4）在（3）的条件下，交于点G，反比例函数的图象经过点G交于点H，连接、，则四边形的面积为_________．
【答案】（1）4；（2）y=，减小；（3），说明见解析；（4）4
【分析】
（1）矩形的面积S=xy，先根据表格中的数据得出S的值，然后确定涂黑处的值；
（2）y=，第（1）问中已经求出S的值，可得x、y的函数关系，根据反比例函数的增减性，可得y随x的变化情况；
（3）根据反比例函数k的几何意义可得与的大小关系；
（4）如下图，依据反比例函数k的几何意义，可知，从而得出．
【详解】
（1）∵表格中x、y表示矩形的边长
则S=xy=0.5，解得：S=6
∴当x=1.5时，y=4；
（2）∵S=xy=6
∴y=
根据反比例函数的性质，在第一象限内，y随x的增大而减小；
（3）∵y=
其中k=6表示任取函数图像上一点P，过点分别做x轴、y轴垂线，则与坐标轴构成的矩形面积为6
∴，
∴；
（4）如下图，ED与OH交于点M

反比例函数k的几何意义还可以如下图，表示为：任取函数上一点P，向x轴作垂线，交x轴于点N，则△ONP的面积为

∵点G在函数图像上
∴==1
∴
∴．
【点睛】
本题考查反比例函数k的几何意义，第（4）问中，解题关键是利用推导得出．