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数学27.2.1 相似三角形的判定课时训练
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专训27.2.1 相似三角形的判定
一、单选题
1．（2021·上海市复旦初级中学九年级月考）如图，在中，为上一点，在下列四个条件中，不能判定和相似的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【详解】
解：A、当∠ACP=∠B，
∵∠A=∠A，
所以△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
B、当∠APC=∠ACB时，
∵∠A=∠A，
所以△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
C、当AC2=AP•AB，
即AC：AB=AP：AC，
∵∠A=∠A，
所以△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
D、当AB•CP=AP•CB，即，
而∠PAC=∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
2．（2021·四川师范大学实验外国语学校九年级月考）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】
解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
3．（2021·上海虹口·九年级月考）点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【详解】
满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；
如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；
如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；
如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．
4．（2021·北京市古城中学九年级月考）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可．
【详解】
∵AC=，AB=2，BC=，
A选项中的三边长分别为：，1，，
且：=2：=：1=，
三边对应成比例，
∴这两个三角形相似，A符合题意；
B选项中的三边长分别为：，3，，
三边不成比例，
∴这两个三角形不相似，B不符合题意；
C选项中的三边长分别为：，1，2，
三边不成比例，
∴这两个三角形不相似，C不符合题意；
D选项中的三边长分别为：，2，，
三边不成比例，
∴这两个三角形不相似，D不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了网格中三角形相似，灵活运用勾股定理计算各边长，熟练运用三边对应成比例的两个三角形相似求解是解题的关键．
5．（2021·上海市实验学校西校九年级月考）依据下列条件不能判断ABC和DEF的相似是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐项分析即可．
【详解】
A. ∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
，
ABCDEF，不符合题意；
B. ∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
又
，不符合题意；
C. ∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
但
不能判断ABC和DEF相似符合题意；
D. AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2021·内蒙古·包头市第二十九中学九年级月考）下列各组图形中可能不相似的是（ ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
根据判定三角形相似的方法：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似，逐项分析即可．
【详解】
解：A、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；
B、正确，由已知我们可以得到这是两个等边三角形，从而可以根据三组边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似；
D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
7．（2021·山东大学附属中学九年级月考）如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y 轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
因为点C在第一象限，所以只有点A，点C可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．
【详解】
解：∵点C在第一象限，
∴当点C为直角顶点时，有两种情形，
当点A为直角顶点时，也有两种情形，
共有4种情形．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是（ ）．
A．∠APB＝∠EPC B．∠APE＝90° C．P是BC的中点 D．BP∶BC＝2∶3
【答案】C
【分析】
利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．
【详解】
解：A. ∠APB=∠EPC，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到ΔABP∽ΔECP，不合题意；
B. ∠APE=90，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到∠APB=∠PEC，可以得到ΔABP∽ΔPCE，不合题意；
C. P是BC的中点，无法判断ΔABP与ΔECP相似，符合题意；
D. BP:BC=2:3，根据正方形性质得到AB:BP=EC:PC=3:2，又∵∠B=∠C，可以得到ΔABP∽ΔECP，不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．
二、多选题
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠1＝∠2，则下列各式能说明ABC∽ADE的是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组对应角相等或两组对应边成比例即可．
【详解】
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B，∴ABC∽ADE，故A选项正确；
B、∵∠DAE＝∠BAC，∠E＝∠C，∴ABC∽ADE，故B选项正确；
C、∵∠DAE＝∠BAC，，∴ABC∽ADE，故C选项正确；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选：ABC．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，下列条件能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE
C． D．∠C=∠AED
【答案】ABD
【分析】
利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对A、C进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对B、C进行判断．
【详解】
解：∵∠EAD=∠BAC，
当，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，故选项A符合题意；
当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C选项中角A不是成比例的两边的夹角，故选项C不符合题意；
当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故选项D符合题意；
故选：ABD．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB上一点，给出下列四个条件中能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．AC2=AP·AB D．AB·CP=AP·CB
【答案】ABC
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】
解：A、∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，故选项A符合题意；
B、∵∠APC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，故选项B符合题意；
C、∵AC2=AP·AB，∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，故选项C符合题意；
D、AB·CP=AP·CB不是两个对应边成比例，不能证明△APC和△ACB相似，故选项D不符合条件，
故选：ABC．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图，下列条件能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
【答案】BCD
【分析】
根据相似三角形的判断方法求解即可．
【详解】
解：A、，不能判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B、∵∠B=∠ADE，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，符合题意；
C、∵，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，符合题意；
D、∵∠C=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，符合题意；
故选：BCD．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判断方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法．
13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，P为AB上点，在下列四个条件中能确定△APC和△ACB相似的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．∠CAP＝∠BAC D．
【答案】ABD
【分析】
根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B、C进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对D进行判断．
【详解】
解：∵∠ACP=∠B，∠A公共角，
∴△APC∽△ACB，故选项A正确，符合题意；
∵∠APC=∠ACB，∠A公共角，
∴△APC∽△ACB，故选项B正确，符合题意；
∵∠CAP=∠BAC，只有一组角相等，∴不能判断△APC和△ACB相似，故选项C错误，不符合题意；
∵，∠A是夹角，∴△APC∽△ACB，故选项D正确，符合题意．
故答案为：ABD．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△AED∽△ABC的是（ ）
A．∠AED＝∠ABC B．∠ADE＝∠ACB
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据三角形相似的判断方法判断即可．
【详解】
解：A、∵∠AED＝∠ABC，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，符合题意；
B、∵∠ADE＝∠AC，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，符合题意；
C、，不能判定△AED∽△ABC，不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，符合题意．
故选：ABD．
【点睛】
此题考查了三角形相似的判断方法，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
15．（2021·全国全国·九年级专题练习）已知正方形，是的中点，是边上的一点，下列条件中，能推出与相似的是（ ）
A． B． C．是的中点 D．
【答案】ABD
【分析】
根据相似三角形的判定逐项判断即可得出答案.
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB，∠B=∠C=90°，又∠APB=∠EPC，
∴△ABP∽△ECP，故选项A符合题意；
B、∵∠APE=90°，
∴∠APB+∠EPC=90°，又∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EPC，又∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，故选项A符合题意；
C、当点P是BC的中点时，不能证出△ABP∽△ECP，故选项C不符合题意；
D、∵BP：BC=2：3，
∴BP：PC=2：1，
∵E是CD的中点，
∴CE：CD=1：2，又CD=AB，
∴BP：PC=AB：CE=2：1，又∠B=∠C，
∴△ABP∽△ECP，故选项D符合题意，
故选：ABD.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定、正方形的性质、等角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键.
16．（2021·全国全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．B．．D．
【答案】AC
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各个选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A.根据平行线可知，阴影三角形与原三角形相似；
B.只有一个公共角，无法判定阴影三角形与原三角形相似；
C.∵，，∴在阴影三角形中∠A的两邻边长分别为3和2，
由于，且∠A为公共角，因此阴影三角形与原三角形相似；
D. ∠B为公共角，但不知道邻边BC的长，因此无法判定阴影三角形与原三角形相似．
故选：AC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
三、填空题
17．（2021·安徽·六安市汇文中学九年级月考）在和中，，，，，则__时，和相似．
【答案】或
【分析】
由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分与两种情况进行讨论．
【详解】
解：，
当时，，
又∵，，，
即，
解得：；
当时，，
又∵，，，
即，
解得：．
综上所述，当或时，和相似．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．
18．（2021·山东张店·八年级期末）如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件即可．
【详解】
解：添加条件是：，
理由是：，，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力．
四、解答题
19．（2021·陕西师大附中九年级月考）如图，已知Rt△ABC中∠C＝90°，点D为AB边上一点，利用尺规作图的方法在AC上找一点 E，使得△ADE∽△ACB．
【答案】图见解析．
【分析】
由图可知∠A为公共角，若△ADE∽△ACB，只需作出∠ADE=∠C＝90°即可，即作ED⊥AB交AC于E．
【详解】
解：如下图所示，△ADE∽△ACB，
【点睛】
本题考查尺规作图－作垂线．能借助相似三角形的判定定理分析是解题关键．
20．（2021·全国·九年级课时练习）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为，和，另一个三角形框架的一边长为，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？
【答案】另外两条边长分别是：，；，；，；有三种制作方案．
【分析】
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，注意分情况进行分析．
【详解】
解：题中没有指明边长为cm的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：
（1）若边长为cm的边与边长为的边相对应，则设另两边为xcm和ycm，
∴，
解得，
∴另两边为和3cm；
（2）同理若边长为cm的边与边长为cm的边相对应，则另两边为和；
（3）若边长为cm的边与边长为cm的边相对应，则另两边为和．
故三角形框架的两边长可以是：cm和cm或cm和cm或cm和cm，即有三种制作方案．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
21．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（1），，∠A=40°
，，；
（2），，，
，，．
【答案】（1）相似，因为两边成比例，夹角相等；（2）相似，因为三边成比例．
【分析】
（1）根据两组边对应成比例且夹角相等判定三角形相似的方法求解即可；
（2）根据三组边对应成比例判定三角形相似的方法求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：1.三组边对应成比例的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两组角对应相等的两个三角形相似．
22．（2021·全国·九年级课时练习）如图中的两个三角形是否相似？为什么？
【答案】（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等．
【分析】
（1）先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可；
（2）先求两对应边的比值，可得两边对应成比例，夹角为对顶角，根据相似三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：（1）相似，理由如下：
标字母如图，
∵，，，
∴，
∴∽；
（2）相似，理由如下：
∵，，
∴，
又∵∠ACB=∠ECD，
∴∽．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
23．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（l），，，
，，；
（2），，，
，，．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析．
【分析】
（1）根据题意可得，，，即可推出，由此即可得到答案；
（2）由题意可以证明，再由，即可证明．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法．
24．（2021·全国·九年级课时练习）如图，，垂足为D，，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？
【答案】，见解析
【分析】
根据相似三角形的判定即可在图中找出一对相似三角形
【详解】
解：，理由是：
∵，，
∴，
∵，
∴．
（或，等）（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
25．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．找出图中的相似三角形，并说明理由．
【答案】，见解析
【分析】
根据平行线的性质和对顶角相等可证得∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，再根据相似三角形的判定即可得出结论．
【详解】
解：，理由为：
∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，又∠AOB=∠COD，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定、平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
26．（2021·全国·九年级课时练习）如图，P是的边上的一点．
（1）如果，与是否相似？为什么？
（2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？
【答案】（1）相似．因为，；（2）相似，因为，；不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等．
【分析】
（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证；
（2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解．
【详解】
解：（1）相似，理由如下：
∵，，
∴；
（2）相似，理由如下：
∵，，
∴；
不相似，理由如下：
因为虽然，但它们的夹角 与 不相等，
所以与不相似．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
27．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）
【答案】见解析
【分析】
此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．
【详解】
解：在射线BF上截取线段BM1＝，连接M1C，
在△APB和△M1CB中，
∵AB＝BC＝5，BP＝3，BM1＝，
则＝＝＝，
∵BF⊥BP，AB⊥BC，
∴∠ABP＝∠CBM1，
∴△M1BC∽△ABP．
在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，
在△CBM2和△ABP中，
，
∴△CBM2≌△ABP（SAS）（全等必相似），
∴在射线BF上取BM1＝或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，明确全等三角形属于特殊的相似三角形，注意分类讨论．
28．（2021·全国·九年级课时练习）如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
【详解】
证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△CBD∽△ABC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
29．（2021·山东省济南第二十中学九年级月考）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．
【答案】见解析
【分析】
根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可．
【详解】
证明：∵PC＝PD＝CD，
∴为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴,
∵∠A＝∠BPD，
∴△APC∽△PBD．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．
30．（2021·浙江·翠苑中学二模）（1）如图1，在中，，，，请在图1中作一条直线，使得被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．
（2）如图2，在两个不相似的和中，，，，直线和直线将和分别分为两个三角形，并使的两部分能分别与的两部分相似．请在图中作出直线和直线，并标注出相应的角度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的判定解决问题即可．
（2）根据相似三角形的判定解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图，直线AE即为所求作．
（2）如图，直线a，直线b即为所求作．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
31．（2021·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学九年级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
【答案】（）见解析；（2）或．
【分析】
（1）根据题目已知条件可知，，所以得到，即可得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
【详解】
（1）
在中，
又
；
（2），
是等腰直角三角形
BC=6，
AB=AC=BC=3
①当AD=AE时，则
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②当AD=DE时，如图，
由（1）可知
又
：
AB=DC=
．
③当AE=DE时，如图
，
平分,
．
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
专训27.2.1 相似三角形的判定
一、单选题
1．（2021·上海市复旦初级中学九年级月考）如图，在中，为上一点，在下列四个条件中，不能判定和相似的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【详解】
解：A、当∠ACP=∠B，
∵∠A=∠A，
所以△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
B、当∠APC=∠ACB时，
∵∠A=∠A，
所以△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
C、当AC2=AP•AB，
即AC：AB=AP：AC，
∵∠A=∠A，
所以△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；
D、当AB•CP=AP•CB，即，
而∠PAC=∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
2．（2021·四川师范大学实验外国语学校九年级月考）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】
解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
3．（2021·上海虹口·九年级月考）点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【详解】
满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；
如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；
如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；
如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．
4．（2021·北京市古城中学九年级月考）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可．
【详解】
∵AC=，AB=2，BC=，
A选项中的三边长分别为：，1，，
且：=2：=：1=，
三边对应成比例，
∴这两个三角形相似，A符合题意；
B选项中的三边长分别为：，3，，
三边不成比例，
∴这两个三角形不相似，B不符合题意；
C选项中的三边长分别为：，1，2，
三边不成比例，
∴这两个三角形不相似，C不符合题意；
D选项中的三边长分别为：，2，，
三边不成比例，
∴这两个三角形不相似，D不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了网格中三角形相似，灵活运用勾股定理计算各边长，熟练运用三边对应成比例的两个三角形相似求解是解题的关键．
5．（2021·上海市实验学校西校九年级月考）依据下列条件不能判断ABC和DEF的相似是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐项分析即可．
【详解】
A. ∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
，
ABCDEF，不符合题意；
B. ∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
又
，不符合题意；
C. ∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
但
不能判断ABC和DEF相似符合题意；
D. AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2021·内蒙古·包头市第二十九中学九年级月考）下列各组图形中可能不相似的是（ ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
根据判定三角形相似的方法：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似，逐项分析即可．
【详解】
解：A、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；
B、正确，由已知我们可以得到这是两个等边三角形，从而可以根据三组边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似；
D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
7．（2021·山东大学附属中学九年级月考）如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y 轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
因为点C在第一象限，所以只有点A，点C可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．
【详解】
解：∵点C在第一象限，
∴当点C为直角顶点时，有两种情形，
当点A为直角顶点时，也有两种情形，
共有4种情形．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是（ ）．
A．∠APB＝∠EPC B．∠APE＝90° C．P是BC的中点 D．BP∶BC＝2∶3
【答案】C
【分析】
利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．
【详解】
解：A. ∠APB=∠EPC，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到ΔABP∽ΔECP，不合题意；
B. ∠APE=90，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到∠APB=∠PEC，可以得到ΔABP∽ΔPCE，不合题意；
C. P是BC的中点，无法判断ΔABP与ΔECP相似，符合题意；
D. BP:BC=2:3，根据正方形性质得到AB:BP=EC:PC=3:2，又∵∠B=∠C，可以得到ΔABP∽ΔECP，不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．
二、多选题
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠1＝∠2，则下列各式能说明ABC∽ADE的是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组对应角相等或两组对应边成比例即可．
【详解】
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B，∴ABC∽ADE，故A选项正确；
B、∵∠DAE＝∠BAC，∠E＝∠C，∴ABC∽ADE，故B选项正确；
C、∵∠DAE＝∠BAC，，∴ABC∽ADE，故C选项正确；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选：ABC．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，下列条件能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE
C． D．∠C=∠AED
【答案】ABD
【分析】
利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对A、C进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对B、C进行判断．
【详解】
解：∵∠EAD=∠BAC，
当，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，故选项A符合题意；
当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C选项中角A不是成比例的两边的夹角，故选项C不符合题意；
当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故选项D符合题意；
故选：ABD．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB上一点，给出下列四个条件中能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．AC2=AP·AB D．AB·CP=AP·CB
【答案】ABC
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】
解：A、∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，故选项A符合题意；
B、∵∠APC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，故选项B符合题意；
C、∵AC2=AP·AB，∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，故选项C符合题意；
D、AB·CP=AP·CB不是两个对应边成比例，不能证明△APC和△ACB相似，故选项D不符合条件，
故选：ABC．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图，下列条件能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
【答案】BCD
【分析】
根据相似三角形的判断方法求解即可．
【详解】
解：A、，不能判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B、∵∠B=∠ADE，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，符合题意；
C、∵，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，符合题意；
D、∵∠C=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，符合题意；
故选：BCD．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判断方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法．
13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，P为AB上点，在下列四个条件中能确定△APC和△ACB相似的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．∠CAP＝∠BAC D．
【答案】ABD
【分析】
根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B、C进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对D进行判断．
【详解】
解：∵∠ACP=∠B，∠A公共角，
∴△APC∽△ACB，故选项A正确，符合题意；
∵∠APC=∠ACB，∠A公共角，
∴△APC∽△ACB，故选项B正确，符合题意；
∵∠CAP=∠BAC，只有一组角相等，∴不能判断△APC和△ACB相似，故选项C错误，不符合题意；
∵，∠A是夹角，∴△APC∽△ACB，故选项D正确，符合题意．
故答案为：ABD．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△AED∽△ABC的是（ ）
A．∠AED＝∠ABC B．∠ADE＝∠ACB
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据三角形相似的判断方法判断即可．
【详解】
解：A、∵∠AED＝∠ABC，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，符合题意；
B、∵∠ADE＝∠AC，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，符合题意；
C、，不能判定△AED∽△ABC，不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，符合题意．
故选：ABD．
【点睛】
此题考查了三角形相似的判断方法，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
15．（2021·全国全国·九年级专题练习）已知正方形，是的中点，是边上的一点，下列条件中，能推出与相似的是（ ）
A． B． C．是的中点 D．
【答案】ABD
【分析】
根据相似三角形的判定逐项判断即可得出答案.
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB，∠B=∠C=90°，又∠APB=∠EPC，
∴△ABP∽△ECP，故选项A符合题意；
B、∵∠APE=90°，
∴∠APB+∠EPC=90°，又∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EPC，又∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，故选项A符合题意；
C、当点P是BC的中点时，不能证出△ABP∽△ECP，故选项C不符合题意；
D、∵BP：BC=2：3，
∴BP：PC=2：1，
∵E是CD的中点，
∴CE：CD=1：2，又CD=AB，
∴BP：PC=AB：CE=2：1，又∠B=∠C，
∴△ABP∽△ECP，故选项D符合题意，
故选：ABD.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定、正方形的性质、等角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键.
16．（2021·全国全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．B．．D．
【答案】AC
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各个选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A.根据平行线可知，阴影三角形与原三角形相似；
B.只有一个公共角，无法判定阴影三角形与原三角形相似；
C.∵，，∴在阴影三角形中∠A的两邻边长分别为3和2，
由于，且∠A为公共角，因此阴影三角形与原三角形相似；
D. ∠B为公共角，但不知道邻边BC的长，因此无法判定阴影三角形与原三角形相似．
故选：AC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
三、填空题
17．（2021·安徽·六安市汇文中学九年级月考）在和中，，，，，则__时，和相似．
【答案】或
【分析】
由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分与两种情况进行讨论．
【详解】
解：，
当时，，
又∵，，，
即，
解得：；
当时，，
又∵，，，
即，
解得：．
综上所述，当或时，和相似．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．
18．（2021·山东张店·八年级期末）如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件即可．
【详解】
解：添加条件是：，
理由是：，，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力．
四、解答题
19．（2021·陕西师大附中九年级月考）如图，已知Rt△ABC中∠C＝90°，点D为AB边上一点，利用尺规作图的方法在AC上找一点 E，使得△ADE∽△ACB．
【答案】图见解析．
【分析】
由图可知∠A为公共角，若△ADE∽△ACB，只需作出∠ADE=∠C＝90°即可，即作ED⊥AB交AC于E．
【详解】
解：如下图所示，△ADE∽△ACB，
【点睛】
本题考查尺规作图－作垂线．能借助相似三角形的判定定理分析是解题关键．
20．（2021·全国·九年级课时练习）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为，和，另一个三角形框架的一边长为，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？
【答案】另外两条边长分别是：，；，；，；有三种制作方案．
【分析】
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，注意分情况进行分析．
【详解】
解：题中没有指明边长为cm的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：
（1）若边长为cm的边与边长为的边相对应，则设另两边为xcm和ycm，
∴，
解得，
∴另两边为和3cm；
（2）同理若边长为cm的边与边长为cm的边相对应，则另两边为和；
（3）若边长为cm的边与边长为cm的边相对应，则另两边为和．
故三角形框架的两边长可以是：cm和cm或cm和cm或cm和cm，即有三种制作方案．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
21．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（1），，∠A=40°
，，；
（2），，，
，，．
【答案】（1）相似，因为两边成比例，夹角相等；（2）相似，因为三边成比例．
【分析】
（1）根据两组边对应成比例且夹角相等判定三角形相似的方法求解即可；
（2）根据三组边对应成比例判定三角形相似的方法求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：1.三组边对应成比例的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两组角对应相等的两个三角形相似．
22．（2021·全国·九年级课时练习）如图中的两个三角形是否相似？为什么？
【答案】（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等．
【分析】
（1）先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可；
（2）先求两对应边的比值，可得两边对应成比例，夹角为对顶角，根据相似三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：（1）相似，理由如下：
标字母如图，
∵，，，
∴，
∴∽；
（2）相似，理由如下：
∵，，
∴，
又∵∠ACB=∠ECD，
∴∽．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
23．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（l），，，
，，；
（2），，，
，，．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析．
【分析】
（1）根据题意可得，，，即可推出，由此即可得到答案；
（2）由题意可以证明，再由，即可证明．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法．
24．（2021·全国·九年级课时练习）如图，，垂足为D，，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？
【答案】，见解析
【分析】
根据相似三角形的判定即可在图中找出一对相似三角形
【详解】
解：，理由是：
∵，，
∴，
∵，
∴．
（或，等）（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
25．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．找出图中的相似三角形，并说明理由．
【答案】，见解析
【分析】
根据平行线的性质和对顶角相等可证得∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，再根据相似三角形的判定即可得出结论．
【详解】
解：，理由为：
∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，又∠AOB=∠COD，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定、平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
26．（2021·全国·九年级课时练习）如图，P是的边上的一点．
（1）如果，与是否相似？为什么？
（2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？
【答案】（1）相似．因为，；（2）相似，因为，；不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等．
【分析】
（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证；
（2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解．
【详解】
解：（1）相似，理由如下：
∵，，
∴；
（2）相似，理由如下：
∵，，
∴；
不相似，理由如下：
因为虽然，但它们的夹角 与 不相等，
所以与不相似．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
27．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）
【答案】见解析
【分析】
此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．
【详解】
解：在射线BF上截取线段BM1＝，连接M1C，
在△APB和△M1CB中，
∵AB＝BC＝5，BP＝3，BM1＝，
则＝＝＝，
∵BF⊥BP，AB⊥BC，
∴∠ABP＝∠CBM1，
∴△M1BC∽△ABP．
在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，
在△CBM2和△ABP中，
，
∴△CBM2≌△ABP（SAS）（全等必相似），
∴在射线BF上取BM1＝或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，明确全等三角形属于特殊的相似三角形，注意分类讨论．
28．（2021·全国·九年级课时练习）如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
【详解】
证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△CBD∽△ABC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
29．（2021·山东省济南第二十中学九年级月考）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．
【答案】见解析
【分析】
根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可．
【详解】
证明：∵PC＝PD＝CD，
∴为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴,
∵∠A＝∠BPD，
∴△APC∽△PBD．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．
30．（2021·浙江·翠苑中学二模）（1）如图1，在中，，，，请在图1中作一条直线，使得被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．
（2）如图2，在两个不相似的和中，，，，直线和直线将和分别分为两个三角形，并使的两部分能分别与的两部分相似．请在图中作出直线和直线，并标注出相应的角度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的判定解决问题即可．
（2）根据相似三角形的判定解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图，直线AE即为所求作．
（2）如图，直线a，直线b即为所求作．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
31．（2021·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学九年级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
【答案】（）见解析；（2）或．
【分析】
（1）根据题目已知条件可知，，所以得到，即可得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
【详解】
（1）
在中，
又
；
（2），
是等腰直角三角形
BC=6，
AB=AC=BC=3
①当AD=AE时，则
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②当AD=DE时，如图，
由（1）可知
又
：
AB=DC=
．
③当AE=DE时，如图
，
平分,
．
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
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