期末考试冲刺卷（一）（考试范围：22-27章）-简单数学之九年级下册考点专训（人教版）

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期末考试冲刺卷一
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2021·辽宁凌海·九年级期中）下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】
利用相似图形的判定方法：形状相同的图形称为相似形，进而分别判断得出即可．
【详解】
解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；
②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；
③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；
④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；
故选：C．
【点睛】
考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的图形相似，难度不大．
2．（2021·湖南永定·九年级期中）已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过点（-1，1） B．图象在第二、四象限
C．当x<0时，y随着x的增大而增大 D．当x>1时，y >-1
【答案】D
【分析】
根据反比例函数图像的性质和反比例函数上点的坐标特点进行逐一判断即可．
【详解】
解：∵反比例函数解析式为，，
∴当，，反比例函数图像经过二，四象限，故B选项不符合题意；
∴反比例函数图像经过点（-1，1），故A选项不符合题意；
∴在第二象限y随x增大而增大，即当x<0时，y随着x的增大而增大，故C选项不符合题意；在第四象限时y随x增大而增大，当x>1时，-1＜y＜0，故D选项符合题意；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图像的性质．
3．（2021·河南卫辉·九年级期中）如图，AD//BE//CF，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，则的长度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
因为，根据平行线分线段成比例，即可得出，代入即可得出答案．
【详解】
解：

，，，

．
故选B．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例的性质，属于基础概念题型．
4．（2021·福建安溪·九年级期中）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与如图中的△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】
解：由勾股定理得：AC＝，BC＝2，AB＝，
∴AB：BC：AC＝1：：，
A、∵，
∴三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、∵，
三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、∵，
三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、∵，
三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
5．（2021·四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图，将△DEF缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，取DP的中点A，再连接EP、FP，取它们的中点B、C，得到△ABC，下列说法错误的是（ ）

A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC 与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的周长比是1∶2 D．△ABC与△DEF的面积比是1∶2
【答案】D
【分析】
根据位似图形的性质，位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【详解】
分别为的中点，


，故B选项正确，不符合题意；
交于同一点，且
△ABC与△DEF是位似图形，故A选项正确，不符合题意；
,
△ABC与△DEF的周长比是1∶2，故C选项正确，不符合题意；
△ABC与△DEF的面积比是1∶4，故D选项不正确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了位似图形的定义与性质，相似三角形的性质与判定，掌握位似图形的性质是解题的关键．
6．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD∥AC交于点D，交BC于点E，若BC＝8，ED＝2，则⊙O的半径是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．2
【答案】C
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角可得，根据，可得，，在中，勾股定理即可求得半径
【详解】
AB是⊙O的直径，
，即
，
，
，
设圆的半径为，在中，，
即
解得
故选C
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，勾股定理，证明是解题的关键．
7．（2021·辽宁凌海·九年级期中）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）

A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2
【答案】A
【分析】
首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】
解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有：＝0.4，
解得x＝6．
故选：A．
【点睛】
本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
8．（2021·江苏·常州市北郊高级中学九年级期中）如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接，根据切线的性质可得，根据直角三角形的两锐角互余，求得，进而根据圆周角定理求得
【详解】
如图，连接，

与边相切






故选A
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2021·山东乐陵·八年级期中）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【分析】
要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等即可．
【详解】
∵要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等，
∴凳子要放在三角形的外心位置处即三边垂直平分线的交点，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形外心即三角形三边垂直平分线的交点，正确理解题意是解题的关键．
10．（2021·浙江衢州·九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图所示，连接BM，由题意得，线段QF的中点M所经过的路线长即为，因此只需要求出的长和，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠QBF=90°，
∵M是线段QF的中点，
∴，
∴M在以B为圆心，以的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为，
当Q与A重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=90°，
∴，
∴，
∴，
∵M是AF（QF）的中点，
∴，
∴，
同理可求得，
∴，
∴线段QF的中点M所经过的路线长，
故选C．

【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判定，弧长公式，解题的关键在于能够求出．
11．（2021·山东栖霞·九年级期中）如图，小明以抛物线y=x2-2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB=4，DE=2，则杯子的高CE为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
先求得抛物线的顶点坐标，再根据AB=4,得出点B的横坐标，代入抛物线解析式得出点B的纵坐标，从而可求得CD的值，则利用CE=CD+DE计算即可得出答案。
【详解】
∵=（x-1）2+3，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），
∵AB=4，
∴BC=2，
点B的横坐标为x =3，把x =3代入得y=7，
∴CD=7-3=4，
∴CE=CE+DE=4+2=6，
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并求得顶点D和点B的坐标是解题的关键
12．（2021·山东日照·中考真题）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．
【详解】
解：当在上时，即点在上时，有，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
，
该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；
当点在弧上时，补全图形如图所示，

阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，
设，则，
，，
当时，，，
，
当时，，，
，
在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．
13．（2021·北京·九年级期末）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b=那么函数y = 2★x的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据规定得出y = 2★x的解析式，再利用一次函数和反比例函数的图像性质即可求解．
【详解】
由题意得，这是一个分段函数图象，
，
即当时，；
当时，．
故选：C．
【点睛】
本题考查新定义、一次函数与反比例函数的图像性质，根据新定义得出y = 2★x的解析式是解题的关键．
14．（2021·江苏·常州市清潭中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以点A为圆心，3为半径作圆，在圆上取一点D，连接BD并取中点M，连接CM．则CM长度的取值范围（　　）

A．3.5＜CM＜6.5 B．3＜CM＜7 C．5＜CM＜10 D．4.5＜CM＜9.5
【答案】A
【分析】
取AB的中点E，连接AD、EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
【详解】
解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE．
在直角△ABC中，AB=，

∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=AB=5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=AD=1.5．
∵5-1.5＜CM＜5+1.5，
即3.5＜CM＜6.5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形三边之间的关系解答．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·河南西峡·九年级期中）如图，直线，直线AB和直线DF分别与三条平行线相交．已知AC：CB＝2：3，EF＝6，则DE＝______．

【答案】4
【分析】
利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
【详解】
解：∵，
∴AC：CB＝DE：EF，
∴2：3= DE：6，
∴DE＝4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
16．（2021·贵州德江·九年级期中）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是________．

【答案】
【分析】
连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】
解：连结OA，如图，

∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝3，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝3，
∵反比例函数图像在第二象限，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
17．（2021·广西容县·九年级期中）在平面直角坐标系中，如图是二次函数（）的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③方程的两根分别为和；④；⑤．其中正确的命题是________．


【答案】③④⑤
【分析】
由函数图象可知，则可判定①；由抛物线的对称轴为直线可判定②；根据抛物线的对称性可直接判定③；由图象可知抛物线与x轴有两个交点，进而可判定④；由抛物线的顶点可进行判断⑤．
【详解】
解：由图象得：抛物线的对称轴为直线，开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴，，
∴，故①②错误；
由图象可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性可知另一个交点的横坐标为，
∴方程的两根分别为和，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故④正确；
当x=1时，则有，
∵，
∴，故⑤正确；
综上所述：正确的有③④⑤；
故答案为③④⑤．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
18．（2021·黑龙江龙沙·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3；…；按此规律，则S2021为 ___．

【答案】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】
解：由题意△、、、、都是等腰直角三角形，
，，，，
，，，，
；
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解题的关键是找出规律．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·山西盐湖·九年级期中）如图，正方形ABCD中，M为BC上点，F是AM的中点，过点F作，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：；
（2）若，，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=6，BM=2，
∴AM=，AD=6，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=10，
∴DE=AE-AD=4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了正方形的性质．
20．（2021·山东龙口·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数(k≠0)的图象交于C，D两点，点C的坐标为(n，6)．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）连接OC，OD，求COD的面积．

【答案】（1）；（2）D(-3，-2)；（3）8
【分析】
（1）利用一次函数解析式求得点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）用一次函数和反比例函数解析式联立方程组，解方程组即可；
（3）用求解即可．
【详解】
解（1）∵点C（n，6）在一次函数y=2x+4的图象上，
∴6=2n+4，解得，n=1，
∴点C坐标为(1，6).
把点C坐标(1，6)代入，得k=6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）把两个函数解析式联立得，，解得＝-3，(舍去)
当x=-3时，y=2×(-3)+4=-2，
∴点D的坐标是(-3，-2)
（3）一次函数y=2x+4的图象与y轴交点坐标为（0，4）上，


=
=8
COD的面积为8．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数综合，解题关键是根据一次函数解析式求出点的坐标，利用点的坐标解决问题．
21．（2021·安徽·安庆市石化第一中学九年级期中）如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．

【答案】45m
【分析】
过点A作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G，根据题意可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的高之比等于相似比，求得,进而根据即可求得河的宽度．
【详解】
解：如图，过点A作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G，

∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵AF⊥DE，DE∥BC，
∴AG⊥BC，
∴＝，
∴＝.
解得AG＝75，
∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，
即河的宽度为45 m.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．（2021·四川达州·九年级期中）达州市红色旅游景点众多，例如罗江镇张爱萍故居，宣汉县红军公园、王维舟纪念馆，万源战史陈列馆等等，为了解初三学生对达州历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为组：，组：，组：，组：，表示问卷测试的分数），其中男生得分处于组的有14人，男生组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25．


男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
男
20

22
女
20
23
20
（1）求，的值，并补全条形统计图；
（2）已知初三年级总人数为1800人，请估计参加问卷测试，成绩处于组的人数；
（3）据了解男生中有两名同学得满分，女生中分数最高的两名同学分别是30分和29分．现从这四名同学中随机抽取两名参加全校总决赛，用树状图或列表的方法求恰好抽到两名男生的概率是多少？
【答案】（1），，见解析；（2）522人；（3）见解析，
【分析】
（1）根据男生得分处在C组的人数和百分比即可求出总人数m，然后根据扇形统计图求出男生成绩处在A组的百分比，根据男女生人数一样，即可求出女生成绩处在C组的人数，再根据中位数的定义求出n的值，最后补全统计图即可；
（2）先求出样本中成绩在C组的百分比，然后求总体的即可；
（3）根据题意列出树状图，得到一共有的结果数，然后找到抽到两名男生的结果数，由此计算即可
【详解】
解：（1）由题意得：（人），男生成绩处在A组的百分比=1-24%-46%-28%=2%，
∴男生的中位数成绩为第25名与第26名成绩的平均成绩
∵（人），
∴男生中位数，
女生组人数（人），
条形图如图所示：


（2）（人），
答：估计成绩处于组的人数约为522人．
（3）如图


所以恰好抽到两名男生的概率为：．
【点睛】
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，用样本估计总体，树状图求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．
23．（2021·广东·广州市第三中学三模）在抗击新冠病毒期间，某公司为了员工们的身心健康，在休息日用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物释放过程中，y与x成反比例，如图所示，根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物燃烧到释放过程中，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低到0.45毫克以下时，人员方可入室，那么从药物燃烧开始，至少需要经过多少分钟后，人员才能进入教室？

【答案】（1）；（2）240分钟
【分析】
（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（12，9）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点（12，9）代入即可；
（2）把y≤0.45代入反比例函数解析式，求出相应的x的值即可．
【详解】
解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为，
代入为，
解得，
设药物燃烧后关于的函数关系式为，
代入为，
解得．
所以药物燃烧时关于的函数关系式为，药物燃烧后关于的函数关系式为；
（2）结合实际，令中，，
解得．
即从药物燃烧开始，至少需要经过240分钟后，学生才能进入教室．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24．（2021·河南·漯河市实验中学九年级期中）如图，内接于．是直径，过点作直线，且是的切线．

（1）求证：；
（2）设是弧的中点，连接交于点，过点作于点，交于点．
①求证：．
②若，，试求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②1
【分析】
（1）由直径所对的圆周角等于90°得出，由切线的性质定理得出，即可得出结论；
（2）①由等弧所对的圆周角相等得出，由直角所对的圆周角为90°得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即可得出结论；②连接、，作，交的延长线于点，由角平分线的性质得出，由全等三角形的判定得出和，得出，，代入计算即可求出AE的值．
【详解】
解：（1）证明：是直径，
，
；
是的切线；
∴，，
；
（2）①证明：是弧的中点，
，
是直径，
，
∵，
，
，
，
．
②连接、，作，交的延长线于点．

，，，
，
在与中，
，
，
，
是弧的中点，
，
在与中，
，
．
．
，即，
．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
25．（2021·江苏海安·九年级期中）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．

（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？
（2）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
方案A：销售单价高于进价且不超过60元．
方案B：每月销售量不少于220件，且每件文化衫利润至少为35元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【答案】（1）y＝－10x＋1000，当销售单价为70元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大；（2）方案B利润最高，见解析
【分析】
（1）根据一次函数的图象，得到图象上两点坐标（40，600），（80，200），利用待定系数法解题；设销售利润为W，根据销售利润=销售单价销售量，结合配方法解得利润为，再根据二次函数的最值解题；
（2）根据题意解得75≤x≤78，再根据二次函数图象的性质，解出最值即可做出判断．
【详解】
解（1）：由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx＋b（k≠0），
将（40，600），（80，200）代入得：

解得，
∴y＝－10x＋1000，
由题意得：W＝（x－40）y
＝（x－40）（－10x＋1000）
＝－10x2＋1400x－40000



，
∵a＝－10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值，W最大值＝9000（元），
答：当销售单价为70元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大；
（3）方案A：由题意，40＜x≤60，
方案B：由y＝－10x＋1000≥220，可得x≤78，
再由每件文化衫利润至少为35元，可得75≤x≤78，
∵a＝－10＜0，且对称轴为直线x＝70，75－70＜70－60，
当x＝75时，最大利润最高，选择方案B．
【点睛】
本题考查二次函数及其应用、待定系数法法求一次函数解析式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
26．（2021·河北竞秀·一模）已知如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转60°到BD的位置，连接ED．

（1）求证：△EBA≌△DBC．
（2）当ED＝2时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由．
（3）直接写出△BCD面积的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）BE与半圆A相切，理由见解析；（3）△BCD面积的最大值8．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及旋转的性质证得BE=BD，∠EBA＝∠DBC，BA=BC，由此即可判定△EBA≌△DBC；
（2）BE 与半圆A相切 ，证明△EBD是等边三角形，即可得BE＝ED＝2，再证明BE2 +AE2 ＝AB2 ，根据勾股定理的逆定理即可得∠BEA=90°，由此即证得BE与半圆A相切；
（3）当CDBC时，△BCD的面积最大，由此即可求得△BCD面积的最大值．
【详解】
证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA=BC ，
由旋转可得∠EBD＝60°，BE=BD，
∴∠EBA+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，
∴∠EBA＝∠DBC ，
在△EBA 和△DBC中，
∵BE=BD，∠EBA＝∠DBC，BA=BC，
∴△EBA≌△DBC；
（2）BE 与半圆A相切 ，理由：
在△EBD 中，
∵∠EBD＝60°，BE=BD，
∴△EBD是等边三角形，
∴BE＝ED＝2
∴BE2 =60，
∵AE2 =22 = 4，AB2 = 82=64
∴BE2 +AE2 ＝AB2 ，
∴∠BEA=90°
∴BE与半圆A相切；
（3）由（1）知，△EBA≌△DBC，
∴CD=AE=2，
又∵BC=AB=8，
∴当CDBC时，△BCD的面积最大，此时．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质及应用，涉及三角形全等的判定及性质、圆的切线判定、三角形面积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．