2023年山东省泰安市岱岳区英雄山中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市岱岳区英雄山中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约千米，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是(    )
 

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  从、、、这四个数中任取两数，分别记为、，那么点在函数的图象上概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若数使关于的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，中，弦与半径相交于点，连接，若，，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

11.  如图，在▱中，，于点，为的中点，连结、，下列结论：；；；，其中正确结论的个数共有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点在以为圆心，为半径的上，是的中点，已知长的最大值为，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  关于的方程有实数根，则偶数的最大值为______．

14.  孙子算经中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有匹大马，匹小马，根据题意可列方程组为______．

15.  在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸，小聪在河岸上点处用测角仪测得河对岸小树位于东北方向，然后沿河岸走了米，到达处，测得河对岸电线杆位于北偏东方向，此时，其他同学测得米．请根据这些数据求出河的宽度为______米．结果保留根号

16.  如图，在中，，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，此时点恰好在的延长线上，则图中阴影部分的面积为______结果保留．

17.  如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，则以下结论：无论取何值，的值总是正数；；当时，；；其中正确结论是        ．

18.  如图，将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，折痕到的距离为；还原纸片后，再将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第次操作后得到折痕，到的距离记为若，则的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
解不等式组：；
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，一次函数、为常数，的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数为常数，且的图象在第二象限交于点轴，垂足为，若．
求一次函数与反比例函数的解析式；
记两函数图象的另一个交点为，求的面积；
直接写出不等式的解集．

21.  本小题分
年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的同学共有多少人？
扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为多少？
现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

22.  本小题分
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：

求出与之间的函数表达式；不需要求自变量的取值范围
该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

23.  本小题分

如图，，，，，垂足为．

求证：≌；

求的度数；

求证：．

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点点、是抛物线上的动点．
求抛物线的解析式；
当点在直线下方时，求面积的最大值
直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
利用数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】
解：的绝对值为．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，
当原数绝对值时，是正整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可．
【解答】
解：，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式，符合题意，
故选：．
计算各项得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】
解：从正面看，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：如图，

过点作，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
先利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可；
此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在函数的图象上，
．
列表如下：

的值为的概率是．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，列表找出所有的值，根据表格中所占比例即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出的概率是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
解得，
解得，
不等式组的解集是．
仅有三个整数解，

，

．

，
，
又有整数解，
或，
所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
根据不等式的解集，可得的范围，根据方程的解，可得的值，根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出的值是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出度数是解题关键．
直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出以及度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
【解答】
解：，，
，，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：：由图象可知，开口向下，则，又因为顶点在轴左侧，则，则，而图象与轴交点为在轴正半轴，与矛盾，故此选项错误；
：由图象可知，开口向下，则，又因为顶点在轴左侧，则，则，而图象与轴交点为在轴正半轴，可知与矛盾，故此选项错误；
：由图象可知，开口向上，则，顶点在轴右侧，则，，故此选项正确；
：由图象可知，开口向上，则，顶点在轴右侧，则，与轴交于正半轴，则，而图象与轴的交点为，则，即与矛盾，故此选项错误．
故选C．
根据各选项中函数的图象可以得到、、的关系，从而可以判断各选项中那个函数图象可能是正确的．
本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断、、的关系．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
先根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论，据此即可解答．
【解答】
解：连接，，
的直径，，，
，，
当点位置如图所示时，
，，，
，
，
；
当点位置如图所示时，同理可得，
，
，
在中，．
故选C．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
如图延长交的延长线于，取的中点连接，利用平行四边形和全等三角形的判定和性质即可判断，想办法证明四边形是菱形即可判断．
【解答】
解：如图延长交的延长线于，取的中点连接．

，，
，
，
，
，
，
故正确，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，故正确，
，
，故正确，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，故正确，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：连接，

由对称性得：，
是的中点，
，
长的最大值为，
长的最大值为，
如图，当过圆心时，最长，过作轴于，
，
，
在直线上，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
舍或，
，
点在反比例函数的图象上，
；
故选：．
作辅助线，先确定长的最大时，点的位置，当过圆心时，最长，设，则，，根据勾股定理计算的值，可得的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，原方程为，
解得：，
符合题意；
当时，，
即，
解得：且．
综上所述：，
偶数的最大值为．
故答案为：．
由方程有实数根，可得出，代入数据即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得的取值范围，再找出其内的最大偶数即可．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分方程为一元一次或一元二次方程两种情况找出的取值范围是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
【解答】
解：由题意可得，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图作，，垂足分别为、，则四边形是矩形，

设，
，，
，
，，
，
在中，，，
，
，
解得．
河的宽度为米．
如图作，，垂足分别为、，则四边形是矩形，设，根据列出方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，，．
将绕点顺时针方向旋转到的位置，此时点恰好在的延长线上，
≌，
，




．
故答案为．
由将绕点顺时针方向旋转到的位置，此时点恰好在的延长线上，可得≌，由题给图可知：可得出阴影部分面积．
本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，扇形的面积，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
无论取何值，的值总是正数，正确；
抛物线与交于点，
，
，正确；
当时，，，
当时，，错误；
当时，，解得或，
当时，，解得或，
，
即，正确；
综上正确的有，
故答案为：．
根据的图象在轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出的值；由抛物线与轴的交点求出的值；根据两函数的解析式求出、、的坐标，计算出与的长，即可得到的值．
本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
 

18.【答案】 

【解析】解：将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的点处，
，，
，
，，
，
，
到的距离为，
点到的距离，
由折叠的性质得：≌，
，
点到的距离点到的距离为，
同理：，点到的距离点到的距离为，
到的距离，
同理：，
，

，
故答案为：．
由折叠的性质与已知条件可得，，得出，再由平角与三角形内角和定理得出，则，得出点到的距离，由折叠的性质得≌，则，由三角形同底等高面积相等，得出点到的距离点到的距离为，同理，点到的距离点到的距离为，则到的距离，依次得到、、、即可．
本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、平行线的判定与性质、图形的变化规律等知识，首先根据变化发现规律得出一般性结论是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：，
由得：，
解得：，
由得：，
解得：，
不等式组的解集为：；
原式

，
当时，
原式
． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序．
 

20.【答案】解：由已知，，，
轴

∽



点坐标为

反比例函数解析式为：
把点，代入得：

解得：
一次函数解析式为
当时，解得
，
当时，
点坐标为

不等式，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象
由图象得，或 

【解析】根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
联立解析式，可求交点坐标；
根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
 

21.【答案】解：根据题意得：人，
即这次被调查的学生共有人；
根据题意得：，
即扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为；
画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有种，
恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 

【解析】根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
用乘以篮球的学生所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
，
解得，，
即与之间的函数表达式是；
，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为元；
由题意可得，
，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为元可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据题意和表格中的数据可以得到与之间的函数表达式；
根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
根据题意，可以得到与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
 

23.【答案】证明：，
，，
，
在和中，
，
≌，
即≌；
，，
，
由知≌，
，
，
，
，
；
延长到，使得，

，
，
在和中，
，
≌，
，，
≌，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和题目中的条件可以找出≌的条件；
根据中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数；
根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
 

24.【答案】解：设函数的表达式为，将点坐标代入上式并解得，
故抛物线的表达式为．
如图，设直线与轴交于点，设点，

将点、的坐标代入一次函数表达式并解得
直线的表达式为，则，
，其中、分别为点、的横坐标，
，故有最大值，当时，其最大值为．
如图，，，
，故与相似时，分为两种情况：
当时，
，，，
过点作与点，

，解得，
则，则，
则直线的表达式为，
联立并解得舍去负值，
故点
时，
，
则直线的表达式为，
联立并解得，
故点，
综上，点或 

【解析】设函数的表达式为，将点坐标代入上式，即可求解；
设直线与轴交于点，设点，将点、的坐标代入一次函数表达式并解得直线的表达式，由可求解；
分、两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、锐角三角函数、三角形相似的性质、三角形面积的计算等，其中要注意分类求解，避免遗漏．