2023年吉林省长春市二道区英俊中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市二道区英俊中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，元年，其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由相同小正方体组成的立体图形，其俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，在一块长为，宽为的长方形铁皮中，以为直径分别剪掉两个半圆，若，时，则剩下的铁皮的面积为取(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，下面推理过程正确的是(    )

A. 因为，所以
B. 因为，所以
C. 因为，所以
D. 因为，所以

6.  如图，为了测量某一垂直于地面的树高，小明站在离树米的点处，用测倾仪测得树顶端的仰角为若测倾仪离地面高为米，则树高可表示为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

7.  如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，已知点是一次函数图象上一点，过点作轴的垂线，是上一点在上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  下列各式：；；；能用完全平方公式进行因式分解的是______填序号即可

10.  若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是        ．

11.  中国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有三人共有，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆年，有个人需要步行问人与车各多少？若设车有辆，则根据题意可以列出关于的方程为______ ．

12.  如图，在中，，，按下列步骤作图：
以点为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于点，作射线；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于点、，作直线，交射线于点；以点为圆心，线段长为半径作圆．则的半径等于______．

13.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，把扩大到原来的倍，则点的对应点的坐标为______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为已知点的横坐标为，过点作轴的平行线分别交两条抛物线于点、点在点左侧，点在点右侧，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知，求代数式的值．

16.  本小题分
某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有个相同的小球，球上分别标有“元”、“元”、“元”和“元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满元，就可以在箱子里先后摸出两个球第一次摸出后不放回，商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费元．
该顾客至少可得到______元购物券，至多可得到______元购物券；
请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于元的概率．

17.  本小题分
为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲种机器人比乙种机器人每小时多分，甲种机器人分类垃圾所用的时间与乙种机器人分类垃圾所用的时间相等．
甲乙两种机器人每小时各分类多少垃圾？
现在两种机器人共同分类垃圾，工作小时后乙种机器人因机器维修退出，求乙种机器人退出后甲种机器人还需工作多长时间才能完成？

18.  本小题分
如图，在和中，，，连接交点，将绕点顺时针旋转．
如图，当点在边上，点在上时，请直接写出与之间的关系：
如图，将绕点顺时针旋转至图的位置，请判断的值及的度数，并说明理由；
在的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点若，，请直接写出当点与点重合时的长．
 

19.  本小题分
如图，已知是的直径，直线与相切于点，过点作交于点，连接并延长交的延长线于点．
求证：是的切线．
求证：；
若，，求线段的长度．

20.  本小题分
费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每年评选一次，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐年获得费尔兹奖为了让学生了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到年名费尔兹奖得主获奖时的年龄数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息．
截止到年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如图数据分成组，各组是，，，，：

如图，在的基础上，画出扇形统计图；
截止到年费尔兹奖得主获奖时的年龄在这一组的数据是：
，，，，，，，，，，，，，．
截止到年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
依据题意，补全频数直方图；
这组的圆心角度数是______ 度，并补全扇形统计图；
统计表中中位数的值是______ ；
根据以上统计图表试描述费尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征．

21.  本小题分
某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：
薪酬方式一：底薪提成，其中底薪为元，每销售一件商品另外获得元的提成；
薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得元的提成．
设销售人员一个月的销售量为件，方式一的销售人员的月收入为元，方式二的销售人员的月收入为元．
请分别写出、与之间的函数表达式；
哪种薪酬计算方式更适合销售人员？

22.  本小题分
如图，四边形中，，，，．
如图，为上的一个动点，以，为边作▱．
请问四边形能否成为矩形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
填空：当______时，四边形为菱形；
填空：当______时，四边形有四条对称轴．
如图，若为上的一点，以，为边作▱，请问对角线的长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
 

23.  本小题分
已知等腰三角形，，，．
如图，当时，
探究与之间的数量关系；
探究，与之间的关系用含的式子表示．
如图，当时，探究，与之间的数量关系用含，的式子表示．
 

24.  本小题分
已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于和，点是线段上的动点不与、重合，过点作轴，与二次函数的图象交于点．

求、的值；
如图，为内一点，且，，分别为边和上两个动点，求周长的最小值；
若是直角三角形，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，可得答案．
本题考查了有理数的加法，先确定和的符号，再进行绝对值得运算．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示应为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看到的图形是列行，
故选：．
俯视图就是从上面看到的图形，也就是从上面的正投影所得到的图形，根据图形的性质得出答案．
考查简单几何体的三视图，俯视图就是对几何体从上面的正投影所得到的图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，得：
剩下的铁皮的面积长方形的面积圆的面积


．
故选：．
根据题意剩下的铁皮的面积为长方形的面积减去圆的面积即可求解．
本题考查了列代数式、代数式求值，解决本题的关键是列代数式．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，所以，错误；
B.因为，所以，错误；
C.因为，所以，正确；
D.因为，所以，错误．
故选：．
根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，四边形是矩形，
米，米．
在中，
，
米．

米．
故选：．
在中，先用的正切和表示出，根据线段的和差关系可得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据折叠可得，，
设，则，
在中，，，，
，
，
在中，由勾股定理得，，
解得，
故选：．
根据折叠得到，，设，则，根据勾股定理求得的值，再由勾股定理可得方程，解方程即可算出答案．
本题考查的是翻转变换的性质，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过作轴于，交于．
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
设，则，，
，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故选：．
过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：；；；能用完全平方公式进行因式分解的是，
故答案为：
利用完全平方公式判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集是，
，且，即，
则不等式可变形为，
移项，得：，
系数化为，得：，
故答案为：．
由关于的不等式的解集是知，且，即，据此将不等式变形为，再移项、系数化为即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设有辆车，则可列方程：
．
故答案是：．
根据人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆年，有个人需要步行，进而表示出总人数得出等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，垂直平分，
设交于，
，
，，
连接，如图，设的半径为，
在中，，
在中，，，
，
解得，
即的半径为．
故答案为：．
利用基本作图得到平分，垂直平分，利用等腰三角形的性质得到，，连接，如图，设的半径为，利用勾股定理计算出，则，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．
 

13.【答案】， 

【解析】解：以原点为位似中心，把扩大到原来的倍，点，
点的对应点的坐标为或，
即，，
故答案为：，．
根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线，
点的横坐标为，
点的横坐标为，点横坐标为，
，
故答案为：．
由两抛物线的解析式确定出两抛物线对称轴，利用对称性确定出与的横坐标，进而即可求出的长．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据完全平方公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
 

16.【答案】   
解法一树状图：

从上图可以看出，共有种可能结果，其中大于或等于元共有种可能结果，
因此不低于元；
解法二列表法：

以下过程同“解法一” 

【解析】

如果摸到元和元的时候，得到的购物券是最少，一共元．如果摸到元和元的时候，得到的购物券最多，一共是元；
见答案．
【分析】
列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．  

17.【答案】设乙型机器人每小时分类垃圾，则甲型机器人每小时分类垃圾，
根据题意得：，
解得 ，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
则．
答：甲型机器人每小时分类垃圾，乙型机器人每小时分类垃圾．
小时．
答：乙种机器人退出后甲种机器人还需工作小时才能完成． 

【解析】设乙型机器人每小时分类垃圾，则甲型机器人每小时分类垃圾，由题意：甲种机器人分类垃圾所用的时间与乙种机器人分类垃圾所用的时间相等．列出分式方程，解方程即可；
根据条件列出算式即可求出答案．
本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，结论：理由如下：

在和中，，，
，，
．

结论：如图中，，，

理由是：
中，，，
，
同理得：，

，
，
∽，
，，
在中，．

点与点重合时，如图，同理得：∽，

，，
设，则，
中，，，
，，，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，，
；
点与点重合时，如图，同理得：，
 
，设，则，
在中，由勾股定理得：，

，
，
，，
；
综上所述，的长为或． 

【解析】如图中，结论：利用直角三角形度角的性质即可解决问题．
结论：如图中，，，证明∽即可解决问题．
分两种情形：点与点重合时，如图点与点重合时，如图，分别利用参数构建方程解决问题即可．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：∽，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
 

19.【答案】解：，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的切线，
，
即，
是的半径，
是的切线；
是的切线，
，
即，
又是的直径，
，
，
又，
，
又，
∽，
，
即；
，
，
而，
，
，
由∽，
，
，
，
由得，
，
，
，
设，则，由勾股定理得，
，
即，
解得，
． 

【解析】根据平行线的性质，等腰三角形以及全等三角形的判定和性质得出，由切线的性质得出，进而得出，进而得出结论；
证出∽即可；
利用互为余角可得，由可得相似三角形的对应边成比例，进而求出，由的结论得求出直径，再根据直角三角形的边角关系求出、．
本题考查切线的判定和性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定和性质以及直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：人，补全统计图如下：


这组的圆心角度数是：，
所占的百分比是，补全扇形统计图如下：

故答案为：；

把这些数从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，
则中位数人．
故答案为：；

答案不唯一，如：菲尔兹奖得主获奖时年龄集中在岁至岁．
根据总人数为求出第二组的人数即可解决问题．
根据圆心角百分比计算即可，根据百分比的和为，求出第二组的百分比，即可画出扇形统计图．
根据中位数的定义，中位数等于第，的年龄的平均数．
答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：根据题意得：
与之间的函数表达式为，
与之间的函数表达式为；
由，解得：，
当时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，
当时，解得，
当时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．
当时，解得，
当时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，
综上所述，当时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，当时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员． 

【解析】根据已知直接可得、与之间的函数表达式；
由的表达式，分别列方程和不等式，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，通过方程或不等式解答．
 

22.【答案】   

【解析】解：四边形能成为矩形，的长为或，理由如下：
四边形是平行四边形，假设四边形是矩形，
则，
，
在中，，
，
，
，
∽，
，
，，，
设，则，
，
解得：，，
当的长为或时，四边形是矩形；
四边形为菱形时，，
，
，
即，
解得：，
故答案为：；
当四边形为正方形时，有四条对称轴，
同时满足的四边形为正方形，
，
故答案为：；
存在，理由如下：
过作，交的延长线于，如图所示：
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当时，的长最小，
此时，，
的长存在最小值，为．
证∽，得，设，则，得，求解即可；
四边形为菱形时，则，由勾股定理得，即，求解即可；
四边形是正方形时，满足条件，即可求解；
过作，交的延长线于，证≌，进而求得的长，即可求得答案．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质、菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，本题综合性强，证明∽和≌是解题的关键，属于中考常考题目．
 

23.【答案】解：作交于，

，
，
，
，
，
，
点、、、共圆，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
；
由上得，
，，
，
作于，
，
，
，
，
，
；


作交的延长线于，作于，
由得，，
点、、、四点共圆，
，
∽，
，
，
，
，
在中，
，
，
． 

【解析】作，推导，，从而∽，从而求得；
由∽，推出，作，，进一步求得；
由的同样的方法，由特殊推出一般，方法不变．
本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似等综合知识，解题的关键是构造三角形相似．
 

24.【答案】解：将代入，
，
，
将代入，
；
作关于直线和的对称点，，连接、、，
则周长的最小值为的长，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
直线的解析式为，
，
由对称轴性可知，，，
，
，，
，
周长的最小值为；
联立，
或，
，
设，则，
，
分两种情况：
当时，即时，
，
解得舍去或或舍去，
；
当时，即时，
，
解得舍去或，
，
综上所述：点坐标为或． 

【解析】将代入，可求，将代入，可求；
作关于直线和的对称点，，连接、、，则周长的最小值为的长，由，则点在以为圆心，为半径的圆上，再由直线可知，，由对称轴性可知，可求，即可求；
先求出，设，则，由，分两种情况：当时，即时，，求出；当时，即时，，求出．
本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质，熟练用轴对称求最短距离是解题的关键．