2023年上海市崇明区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年上海市崇明区中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各组图形，一定相似的是( )
A. 两个等腰梯形B. 两个菱形C. 两个正方形D. 两个矩形
2. 将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向右平移2个单位，下列结论中正确的是( )
A. 开口方向不变B. 顶点不变C. 对称轴不变D. 与y轴的交点不变
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，那么csA的值是( )
A. 35B. 74C. 34D. 43
4. 已知e为单位向量，向量a与e方向相反，且其模为|e|的4倍；向量b与e方向相同，且其模为|e|的2倍，则下列等式中成立的是( )
A. a=2bB. a=−2bC. a=12bD. a=−12b
5. 四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD//BC的式子是( )
A. FDBC=EDEC
B. AFDF=BFEF
C. ABED=AFFD
D. EFBE=EDEC
6. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，以下条件中不能推出△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A=∠BCD
B. CDAD=BDCD
C. ACBC=CDBD
D. ACBC=ADBD
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 如果x2=y3(x≠0)，那么x+yy= ．
8. 计算：5a−3(2a−b)= ．
9. 点P是线段MN的黄金分割点，如果MN=10cm，那么较长线段MP的长是 cm．
10. 如果抛物线y=(m−2)x2有最高点，那么m的取值范围是 ．
11. 如果抛物线y=2x2−bx+1的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 ．
12. 已知点A(2,y1)，B(−3,y2)为二次函数y=(x+1)2图象上的两点，那么y1 y2(填“>”，“=”或“<”)．
13. 如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为 ．
14. 飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为 千米.(用α的式子表示)
15. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠ACD=90°，∠D=45°，则S△ABCS△ACD= ．
16. 如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF//BC交AD于点F，那么FGAG=______．
17. 如图，菱形ABCD的边长为8，E为BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，过点F作FG//AD，交AE于点G，若csB=14，则FG的长为 ．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D在AC边上，点E在射线AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′D⊥AC且CA′//AB时，BE的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算：4cs30°−cs45°tan60°+2sin245°．
20. (本小题10.0分)
在梯形ABCD中，AD//BC，且BC=3AD.过点A作AE//DC，分别交BC，BD于点E、F，若AB=a，BC=b．
(1)用a、b表示BD和AF；
(2)求作BF在a、b方向上的分向量.(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量)
21. (本小题10.0分)
如图，D是△ABC边上的一点，CD=2AD，AE⊥BC，垂足为点E，若AE=9，sin∠CBD=34．
(1)求BD的长；
(2)若BD=CD，求tan∠BAE的值．
22. (本小题10.0分)
如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i=1：43的斜坡CD.如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．
(1)当影子全在水平地面BC上(图1).求标尺与路灯间的距离；
(2)当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上(图2)，求此时标尺与路灯间的距离为多少米？
23. (本小题12.0分)
已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=12BC，对角线AC与BD交于点F，点G是AB边上的中点，联结CG交BD于点E，并满足BG2=GE⋅GC．
(1)求证：∠GAE=∠GCA；
(2)求证：AD⋅BC=2DF⋅DE．
24. (本小题12.0分)
如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x=32的抛物线y=ax2+bx+2经过点A(4,0)、点M(1,m)，与y物交于点B．

(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标；
(2)联结AB、AM、BM，求S△ABM的面积；
(3)过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当△BMQ与△AMP相似时，求点Q的坐标．
25. (本小题14.0分)
已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，AD//BC.点E为射线AD上的一个动点(不与A重合)，过点E作EF⊥BE，交射线CA于点F，联结BF．

(1)如图，当点F在线段AC上时，EF与AB交于点G，求证：△AEG∽△FBG；
(2)在(1)的情况下，射线CA与BE的延长线交于点Q，设AE=x，QF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)当BE=3时，求CF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；
B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；
D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意．
故选：C．
根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．
2.【答案】A
【解析】解：A、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向右平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确；
B、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向右平移2个单位，顶点的横坐标改变，纵坐标不变，故错误；
C、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向右平移2个单位，形状不变，顶点改变，对称轴改变，故错误；
D、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向右平移2个单位，与y轴的交点也改变，故错误．
故选：A．
由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
3.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，
∴csA=ACAB=34，
故选：C．
利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意知，a=−4e，b=2e.则a=−2b，观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
根据平面向量的性质进行一一判断．
此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
5.【答案】D
【解析】解：当FDBC=EDEC时，无法判断AD//BC，故选项A不符合题意；
当AFDF=BFEF时，∠AFB=∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF=∠DEF，AB//CD，但无法判断AD//BC，故选项B不符合题意；
当ABED=AFFD时，无法判断AD//BC，故选项C不符合题意；
当EFBE=EDEC时，∠FED=∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD=∠EBC，可以判断判断AD//BC，故选项D符合题意；
故选：D．
根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】D
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°
∴若∠A=∠BCD，则∠ACD+∠BCD=90°，故∠ACB=90°，选项A不符合题意；
若CDAD=BDCD，则△BCD∽△CAD，∠BCD=∠A，故∠ACD+∠BCD=90°，∠ACB=90°，选项B不符合题意；
若ACBC=CDBD，则△BCD∽△CAD，∠BCD=∠A，故∠ACD+∠BCD=90°，∠ACB=90°，选项C不符合题意；
若ACBC=ADBD，无法判断△BCD∽△CAD，从而可以不能推出△ABC为直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：D．
根据题意和各个选项中的条件，可以判断各个选项中的条件能否推出△BCD∽△CAD，从而可以判断△ABC是否为直角三角形．
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】53
【解析】解：∵x2=y3(x≠0)，
∴xy=23，
∴x+yy
=xy+1
=23+1
=53，
故答案为：53．
根据x2=y3(x≠0)，可以得到xy=23，然后将所求式子变形，再将xy=23代入计算即可．
本题考查比例的性质，解答本题的关键是明确题意，求出xy的值．
8.【答案】−a+3b
【解析】解：5a−3(2a−b)
=5a−6a+3b
=−a+3b．
故答案为：−a+3b．
先去括号，然后计算加减法．
本题主要考查了平面向量的知识，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．
9.【答案】(55−5)
【解析】解：较长线段MP=10×5−12=(55−5)(cm)．
故答案为：(55−5)．
由黄金分割的定义即可计算．
本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10.【答案】m<2
【解析】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴m−2<0，
解得m<2，
故答案为：m<2．
由抛物线有最高点可得抛物线开口方向，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11.【答案】(0,1)
【解析】解：∵抛物线的对称轴为y轴，
∴−−b4=0，
∴b=0，
∴y=2x2+1，
∴抛物线顶点坐标为(0,1)，
故答案为：(0,1)．
由抛物线的对称轴为y轴可得b=0，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
12.【答案】>
【解析】解：∵y=(x+1)2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，
∵2−(−1)>−1−(−3)，
∴y1>y2．
故答案为：>．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．
13.【答案】4：9
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比是4：9，
∴两个相似三角形的相似比为4：9，
∴它们的对应角平分线的比为4：9．
故答案为：4：9．
直接利用相似三角形的性质解决问题．
本题考查了相似三角形的性质：相相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比等于相似比．
14.【答案】3sinα
【解析】解：如图：BC为飞机离地面的高度，

由题意得：
BC⊥AC，BC=3千米，∠DBA=α，BD//AC，
∴∠A=∠DBA=α，
在Rt△ABC中，AB=BCsinA=3sinα(千米)，
∴此时飞机与目标A点的距离为3sinα千米，
故答案为：3sinα．
根据题意可得：BC⊥AC，BC=3千米，∠DBA=α，BD//AC，从而可得∠A=∠DBA=α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：∵∠ACD=90°，∠D=45°，
∴∠DAC=45°，
∵AD//BC，
∴∠BCA=∠DAC=45°，
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△DCA∽△ABC，
∴S△ABCS△ACD=(CBAC)2，
∵∠B=90°，∠BCA=45°，
∴∠CAB=45°，
∴sin∠CAB=CBAC=22，
∴S△ABCS△ACD=(CBAC)2=(22)2=12，
故答案为：12．
根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质，可以得到S△ABCS△ACD=(CBAC)2，再根据锐角三角函数即可求得CBAC的值，从而可以求得S△ABCS△ACD的值．
本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形、梯形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】14
【解析】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴EGBG=12，DGAG=12，
∵EF//BC，FGDG=EGBG=12，
∴FGAG=14．
故答案为：14．
由三角形的重心定理得出EGBG=12，DGAG=12，由平行线分线段成比例定理得出FGDG=EGBG=12，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG=1：2是解决问题的关键
17.【答案】163
【解析】解：作AM⊥BC于M，延长AE、DC交于点N，
∵csB=14，AB=8，
∴BM=2，
∵点E为BC的中点，
∴BE=4，
∴ME=BM=2，
∴AM垂直平分BE，
∴AB=AE=8，
∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF=∠GAF，
∵AD//GF，
∴∠DAF=∠AFG，
∴∠GAF=∠GFA，
∴AG=FG，
设AG=FG=x，
∴EG=8−x，
∵BE=CE，∠AEB=∠NEC，∠ABE=∠NCE，
∴△ABE≌△NCE(ASA)，
∴NE=AE=8，
∵CE//FG，
∴△NCE∽△NFG，
∴4x=816−x，
解得x=163，
∴FG=163，
故答案为：163．
作AM⊥BC于M，延长AE、DC交于点N，首先说明AM垂直平分BE，可得AB=AE，再证明△ABE≌△NCE(ASA)，得NE=AE=8，由CE//FG，得△NCE∽△NFG，从而解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18.【答案】257
【解析】解：如图，延长A′D交AB于点G，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵A′D⊥AC，
∴∠A′DC=∠ADG=∠ACB=90°，
∵CA′//AB，
∴∠A′CD=∠A，
∴A′D=CD⋅tan∠A′CD=CD⋅tanA=34CD，
由翻折得AD=A′D=34CD，
∴AD=34(4−AD)，
解得AD=127，
∴GD=AD⋅tanA=34AD=34×127=97，CD=4−127=167，
∴AG=AD2+GD2=(127)2+(97)2=157，
∴BG=5−157=207，
∵∠A′DE=∠ADE=360°−90°2=135°，
∴∠CDF=135°−90°=45°，
∴CF=CD⋅tan∠CDF=CD⋅tan45°=CD×1=CD=167，
∴BF=3−167=57，
∴BF//GD，
∴△EBF∽△EGD，
∴BEGE=BFGD，
∴BEBE+207=5797，
解得BE=257，
故答案为：257．
延长A′D交AB于点G，由A′D⊥AC，得∠A′DC=∠ADG=∠ACB=90°，由CA′//AB，得∠A′CD=∠A，则A′D=CD⋅tan∠A′CD=CD⋅tanA=34CD，所以AD=34(4−AD)，求得AD=127，则GD=34AD=97，CD=167，由勾股定理得AG=AD2+GD2=157，则BG=5−157=207，可证明∠CDF=45°，则CF=CD=167，BF=57，再证明△EBF∽△EGD，即可根据相似三角形的对应边成比例求得BE=257．
此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：原式=4×32−22×3+2×(22)2
=23−62+2×12
=23−62+1．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20.【答案】解：(1)∵AD//BC，BC=b，BC=3AD，
∴AD=13b，
∴BD=BA+AD=−a+13b，
∵AD//EC，AE//CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC，
∴BE=2EC，
∴BE=23b，
∴AE=AB+BE=a+23b，
∵AD//BE，
∴AFFE=ADBE=12，
∴AF=13AE，
∴AF=13a+29b；
(2)如图，BN，BM即为所求．

【解析】(1)利用平行线的性质，平行四边形的判定和性质，三角形法则求解即可；
(2)利用平行四边形法则画出图形即可．
本题考查作图−复杂作图，梯形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)作DF⊥BC于点F，
∵AE⊥BC，
∴DF//AE，
∴DFAE=CDCA，
∵CD=2AD，CD+AD=CA，
∴CDCA=23，
∵AE=9，
∴DF9=23，
解得DF=6，
∵sin∠CBD=34，sin∠CBD=DFBD，
∴6BD=34，
解得BD=8；
(2)∵BD=CD，DF⊥BC，
∴BF=CF，
由(1)知：DF=6，BD=8，∠DFC=90°，
∴CF=CD2−DF2=82−62=27，
∴BF=27，
∵DF//AE，CD=2AD，
∴CF=2EF，
∴EF=7，
∴BE=BF−EF=27−7=7，
∴tan∠BAE=BEAE=79．
【解析】(1)作DF⊥BC于点F，根据平行线分线段澄碧，可以得到DF的长，再根据sin∠CBD=34，即可得到BD的长；
(2)根据(1)中的结论和勾股定理，可以得到BE的长，然后即可计算出tan∠BAE的值．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：如图1，连接AE并延长，交BC于点G，
由题意可知，AB=9米，EF=3米，FG=4米，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB//EF，
∴△GEF∽△GAB，
∴EFAB=FGBG，即39=4BG，
∴BG=12米，
∴BF=BG−FG=12−4=8(米)，
∴标尺与路灯间的距离为8米；

(2)如图2，连接AE并延长，交CD于点H，过点H作HN⊥AB于点N，交EF于点M，过点H作HP⊥BC交BC延长线于点P，
由题意可得，CF+CH=4米，HPCP=34，
设CH=x米，则CF=(4−x)米，HP=35x米，CP=45x米，
∴MF=BN=HP=35x米，MH=4−x+45x=(4−15x)米，
∴AN=(9−35x)米，ME=(3−35x)米，
∵BC=15.5米，
∴NH=(15.5+45x)米，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB//EF，
∴∠EMH=∠ANH，∠HEM=∠HAN，
∴△HEM∽△HAN，
∴MEAN=MHNH，即3−35x9−35x=4−15x15.5+45x，
整理得：2x2+9x−35=0，
解得：x1=−7(不符合题意，舍去)，x2=52，
则CF=4−x=4−52=1.5(米)，
∴BF=BC−CF=15.5−1.5=14(米)，
∴此时标尺与路灯间的距离为14米．
【解析】(1)连接AE并延长，交BC于点G，根据题意可得AB//EF，易证明△GEF∽△GAB，根据相似三角形的性质即可求解．
(2)连接AE并延长，交CD于点H，过点H作HN⊥AB于点N，交EF于点M，过点H作HP⊥BC交BC延长线于点P，根据题意可得CF+CH=4米，HPCP=34，设CH=x米，则CF=(4−x)米，HP=35x米，CP=45x米，再分别表示出MH、AN、ME、NH的长，易证△HEM∽△HAN，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，求解即可．
本题主要考查解直角三角形的应用−坡度坡脚问题、中心投影、相似三角形的判定与性质，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
23.【答案】证明：(1)∵点G是AB边上的中点，
∴BG=GA，
∵BG2=GE⋅GC，
∴GA2=GE⋅GC，
∴GEGA=GAGC，
∵∠EGA=∠AGC，
∴△EGA∽△AGC，
∴∠GAE=∠GCA．
(2)∵BG2=GE⋅GC，
∴GEBG=BGGC，
∵∠EGB=∠BGC，
∴△EGB∽△BGC，
∴∠GBE=∠GCB，
∴∠AED=∠GAE+∠GBE=∠GCA+∠GCB=∠FCB，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠FBC，
∴△ADE∽△FBC，
∴ADFB=DEBC，
∴AD⋅BC=FB⋅DE，
∵△ADF∽△CBF，AD=12BC，
∴DFFB=ADBC=12，
∴FB=2DF，
∴AD⋅BC=2DF⋅DE．
【解析】(1)由BG=GA，且BG2=GE⋅GC，得GA2=GE⋅GC，则GEGA=GAGC，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△EGA∽△AGC，则∠GAE=∠GCA；
(2)先证明△EGB∽△BGC，得∠GBE=∠GCB，则∠AED=∠GAE+∠GBE=∠GCA+∠GCB=∠FCB，由AD//BC，得∠ADE=∠FBC，所以△ADE∽△FBC，得ADFB=DEBC，所以AD⋅BC=FB⋅DE，再证明△ADF∽△CBF，推导出FB=2DF，则AD⋅BC=2DF⋅DE．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ADE∽△FBC是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2的对称轴为直线x=32，
∴−b2a=32①，
∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A(4,0)，
∴16a+4b+2=0②，
由①②可得a=−12，b=32，
∴y=−12x2+32x+2，
在y=−12x2+32x+2中，令x=32得：y=−12×(32)2+32×32+2=258，
∴抛物线顶点D的坐标为(32,258)；
(2)过M作MP//y轴交AB于P，如图：

在y=−12x2+32x+2中，令x=0得y=2，
∴B(0,2)，
∵A(4,0)，
∴直线AB解析式为y=−12x+2，
在y=−12x2+32x+2中，令x=1得y=3，
∴M(1,3)，
在y=−12x+2中，令x=1得y=32，
∴P(1,32)，
∴PM=3−32=32，
∴S△ABM=12PM×|xA−xB|=12×32×4=3；
(3)过B作BH⊥MP于H，如图：

由(2)知，B(0,2)，M(1,3)，
∴BH=MH=1，BM2=2，
∴△BMH是等腰直角三角形，
∴∠BMQ=45°，
∵A(4,0)，
∴AB2=20，AM2=18，
∴AM2+BM2=AB2，
∴∠AMB=90°，
∴∠AMP=90°−∠BMQ=45°=∠BMQ，
要使△BMQ与△AMP相似，只需MQMP=BMAM或MQAM=BMMP，
设Q(1,t)，则MQ=3−t，
当MQMP=BMAM时，3−t32=232，
解得t=52，
∴Q(1,52)，
当MQAM=BMMP时，3−t32=232，
解得t=−1，
∴Q(1,−1)，
综上所述，Q的坐标为(1,52)或(1,−1)．
【解析】(1)由抛物线y=ax2+bx+2的对称轴为直线x=32，得−b2a=32①，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(4,0)，有16a+4b+2=0②，可解得a=−12，b=32，y=−12x2+32x+2，即得抛物线顶点D的坐标为(32,258)；
(2)过M作MP//y轴交AB于P，在y=−12x2+32x+2中，得B(0,2)，故直线AB解析式为y=−12x+2，令x=1得P(1,32)，在y=−12x2+32x+2中，可得M(1,3)，从而PM=3−32=32，S△ABM=12PM×|xA−xB|=3；
(3)过B作BH⊥MP于H，由B(0,2)，M(1,3)，可得BH=MH=1，BM2=2，即知∠BMQ=45°，可求出AM2+BM2=AB2，∠AMB=90°，故∠AMP=90°−∠BMQ=45°=∠BMQ，要使△BMQ与△AMP相似，只需MQMP=BMAM或MQAM=BMMP，设Q(1,t)，则MQ=3−t，即得3−t32=232或3−t32=232，分别解方程可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
25.【答案】(1)证明：取BF的中点O，连接OE，OA．

∵∠BEF=∠BAF=90°，OB=OF，
∴OE=12BF，OA=12BF，
∴OE=OB=OA=OF，
∴E，B，F，A四点共圆，
∴∠AEG=∠GBF，
∵∠AGE=∠FGB，
∴△AEG∽△FBG；
(2)解：过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N．

∵AB=AC=4，∠BAC=90°，
∴BC=2AB=42
∵∠BME=∠BEF=∠N=90°，
∴∠BEM+∠FEN=90°，∠FEN+∠EFN=90°，
∴∠BEM=∠EFN，
∵BE=EF，
∴△BME≌△ENF(AAS)，
∴BM=EN=EM=FN，
∵AD//CB，
∴∠DAB=∠ABC=45°，∠NAF=∠C=45°，
∴BM=AM=EN=22AB=22，
∴AM=NF=22−x，
∴AF=2AN=4−2x，
∴AQ=y−(4−2x)，
∵AE//CB，
∴AEBC=AQQC，
∴x42=y−(4−2x)y−(4−2x)+4，
∴y=2x2−8x+16242−x(0(3)解：当点F在线段AC上时，∵BE=3，BM=22，
∴ME=BE2−BM2=32−(22)2=1，
∴AN=AF=1，
∴AF=2，
∴CF=AC−AF=4−2．
当点F在CA的延长线上时，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FN⊥DA交DA于点N．

同法可证EM=FN=AN=1，
∴AF=2，
∴CF=AF+AC=4+2，
综上所述，满足条件的CF的值为4−2或4+2．
【解析】(1)取BF的中点O，连接OE，OA.证明EBFA四点共圆，可得结论；
(2)过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N.证明△BME≌△ENF(AAS)，推出BM=EN=EM=FN，解直角三角形可得BM=AM=EN=22AB=22，推出AM=NF=22−x，推出AF=2AN=4−2x，可得AQ=y−(4−2x)，由AE//CB，推出AEBC=AQQC，由此构建关系式，可得结论；
(3)分两种情形：当点F在线段AC上时，当点F在CA的延长线上时，分别求解可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．