第1讲《方程与不等式》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第1讲 “ 方程与不等式”.（第一课时）
［教学目标］
知识技能
1.掌握一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程和一元一次不等式（组）的相关概念；
2.理解上述方程的根的意义和一元一次不等式（组）解集的意义；
3.掌握一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程的四种解法，求解不等式的解集，能够熟练的选择最合适的方法解二元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程以及求不等式（组）的解集.
数学思考
根据具体实例，通过独立思考，理解解二元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程解法中的降次思想和化归的思想，体会方程模型和不等式解集的作用。
问题解决
经历和探究上述方程和不等式求解的过程，培养学生自主学习的能力.
情感态度
1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；
2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.
[教学重点、难点]
重点：二元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程、不等式组以及一元二次方程的四种解法；
难点：分式方程的验根、不等式解集的确定和一元二次方程求根公式的推导过程.
[教学准备]
动画多媒体语言课件
第一课时
教学路径
导入
师：我们前面学习过一元一次方程、二元一次方程组、分式方程以及一元二次方程的解法，这节课那我们开始认识相关这些方程家族中的更有趣的问题.下面我们就一起来探究它们其中的乐趣吧！
知识佳构：
师：在探究学习本节课内容之前，请同学们回顾一下上述几个方程即不等式的相关概念.
知识架构：
“佳”题探究
探究类型之一 一元一次方程的定义
已知（m2-1）x2-（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式 的值．
解析：
在 “关于x的一元一次方程”下面画横线，
（下一步）在“m2-1”下面画线，出示箭头后出示：=0，在“-（m+1）”下画横线，再出示箭头，文字：≠0
1.学生独立审题,独立完成.
2. 师指定生说说自己的解题思路：
生：题中要求的是的值，需知道m的值和x的值.
题干中给出的方程是一元一次方程，通过对一元一次方程定义的理解可知，方程中不含的二次项，所以，，同时还要满足的一次项系数不为0，进而求得,然后把代入方程中求得x=4.
答案：
解：由题意得：，
，解得.
将代人原方程中，可得x=4.
所以=.
3. 师：解完本题之后，请大家一起来思考一下：解答本题时需要注意的是什么？
在解决此类题目时最易出错的是什么？
小结：解决本题的关键是对一元一次方程定义的理解要透彻，只含一个未知数且未知数的最高次是1的整式.这是易错点也是常考点.
已知关于x，y的二元一次方程（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
师：如何理解当a每取一个值时，就会出现一个方程，而这些方程却只有一个公共解？
生：方程的解与字母a的取值无关.
师：那现在你知道怎么求方程的公共解了吗？
生独立完成，指定学生说说.
生：令a=1,求得y=-1；然后令a=-2,求得x=3.
师：还有别的方法吗？
生：将已知方程按字母a整理得，，这个解与字母a的取值无关，所以方程的公共解就是，两个方程的公共解.
解析：在“当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解”下面画线，然后出示文字：方程的公共解与字母a的取值无关.
答案：
方法1：
解：
由题意知，方程的公共解与a的取值无关,
所以令a=1,3y+5-2=0,解得y=-1；
令a=-2,-3x+5-2×（-2）=0，解得x=3.
所以公共解是
方法2：
解：将原方程整理，得.

因为不论a取何值，原方程总是有一个公共解，所以 ,
,
解得
师：本题是二元一次方程，关键是如何理解当a每取一个值时，就会出现一个方程，而这些方程却只有一个公共解.抓住这个重点，下面的问题就可迎刃而解.
“佳”题探究之二 分式方程
例3 （分三题出示）
解下列方程：①根为__________；②根为_________；③根为__________.
答案：①；②；③（依次填在横线线上）
根据这类方程特征，写出第n个方程为_______________，其根为_______________．
解析：动画：①将2变成1×2,3变成1+2，
②将6变成2×3,5变成2+3，
③将12变成3×4,7变成3+4，
（下一步）
答案：（下一步）（填在横线上）
请利用（2）的结论，求关于x的方程（n为正整数）的根________．
解析：将原方程变为,
，
所以,即，.
答案：，（直接填在横线上）
1.师：同学们，你能求出（1）中方程的解吗？你是如何求解的呢？
生：这是分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程求解.
学生独立完成，然后指定学生说说自己的答案.
2.师：从（1）中的结果中你能发现什么规律吗？
学生独立思考，然后找学生说说.
生：由（1）中三个方程的根的结论可知，两根之和即是等式右边的值，两根之积是方程中后一项分子.
师：啊，真的很了不起，很快就能发现其中的规律了，那么就请同学们解得第（2）和（3）的问题吧！
3.学生独立完成，然后指定学生讲解.
小结：解决阅读理解型题目时关键是从题干中发现其中存在的规律，找到规律下面的问题就可轻松解决.
例4 阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵，
∴x+y≥2 ，当且仅当“x=y”时，等号成立．
示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值．
解：y＝(x+)+4≥2 +4=6，当，即x=1时，y的最小值为6．
尝试：当x＞0时，求的最小值．（分两题出示）
解析：动画将蓝色部分画上横线，
（下一步）在下面出示箭头化成
答案：
解：
≥，即，即x=1时，y的最小值为3.
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为 万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少， ）？最少年平均费用为多少万元？
解析：先根据 求出年平均费用.
答案：解：
年平均费用为= (n＞0).
因为，
所以，当，即时，年平均费用为2.5万元.
答：这种小轿车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元.
1.师：同学们能读懂题干部分的意思吗？嗯，这个部分的意思很好理解的，仔细观察就会发现，求解最值时所给的形式是很特别的，即，x,y为非负实数时，
x+y≥2 ，当且仅当“x=y”时，等号成立．那么又如何求（1）中的最值呢？它和题干中的形式好象不太一样啊，怎么办呢？
生：根据材料中所给的示例，进行适当变形.
生：老师，我们可以这样变形：≥，即时，y的最小值为3.
2.师：非常棒！那么你能解决第（2）题的问题吗？
生独立尝试解答，然后师指定学生讲解.
小结：解决这类题目时要注意观察，灵活变通，这类题型与实际很密切，实用性很强.
中考佳题
某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“六一儿童节”举行文具优惠售买活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（）
A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．l.2×0.8x＋2×0.9(60－x) ＝87
C．2×0.9x ＋l.2×0.8(60＋x) ＝87 D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x) ＝87
学生独立完成，然后师指定学生说说自己答案.
已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足
，则此等腰三角形的周长为（）
A．7或8B．6或10C．6或7D．7或10
学生独立完成，然后师指定学生说说自己答案.
课件出示解析：根据几个非负数的和为0得
(下一步) 解得
（下一步）分情况讨论哪一边腰.
已知点P(1－2a，a－2)关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，
则关于x的分式方程＝2的解是( )
A．5 B．1 C．3 D．不能确定
学生独立完成，然后师指定学生说说自己答案.
课件出示解析：“点P(1－2a，a－2)关于原点的对称点在第一象限内”下面画横线，出示箭头,然后出示：点P(1－2a，a－2)在第三象限.
(下一步) 解得＜a＜2.
又因为a为整数，所以a=1.
适时的提出问题，让学生发现其中所隐藏的规律，老师只需给以点拨、引导即可.
及时鼓励，激发学生学习的兴趣.