2021-2022学年河南省实验中学高二下学期期期中考试数学（文）试题含解析

这是一份2021-2022学年河南省实验中学高二下学期期期中考试数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若复数的实部为a，虚部为b，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出与的值，则答案可求．
【详解】，
，，
则,
故选：．
2．如果，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，可判断，判断A；举特例可说明B,C,D的正误.
【详解】对于A, ,故，正确；
对于B，取 ，则，错误；
对于C，取 ，则，错误；
对于D, 取 ，则,D错误，
故选:A
3．在用反证法证明命题“已知，，且．求证：，中至少有一个小于4”时，假设正确的是（ ）
A．假设，都不大于B．假设，都不小于
C．假设，都小于D．假设，都大于
【答案】B
【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．
【详解】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，
已知，，且，求证：假设，都不小于；
故选：B．
4．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（ ）
A．极差B．方差C．平均数D．中位数
【答案】C
【分析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.
【详解】甲的平均数为：；乙的平均数为：；
甲和乙的平均数相同；
甲的方差为：；
乙的方差为：；
甲和乙的方差不相同；
甲的极差为：；乙的极差为：；甲和乙的极差不相同；
甲的中位数为：；乙的中位数为：；甲和乙的中位数不相同.
故选：C.
5．抛物线过点，则的准线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将点代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程.
【详解】∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴其准线方程为y＝－1.
故选：B.
6．某单位开展全民健身运动，其中有一项活动是定点投篮．10名参赛者每人定点投篮20次，得出投中球数（，2，3，…，10）分别为12，15，9，16，11，10，9，16，12，10，这些数据的平均值记为，将这10名参赛者的投中球数依次输人程序框图进行运算，则输出的S的值为（ ）
A．12B．1.2C．68D．6.8
【答案】D
【分析】利用流程图的作用，利用求方差的公式即得.
【详解】由题可得，
由程序框图可以看出，该程序所执行的命令是求这组数据的方差，
所以．
故选：D.
7．参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）
A．圆B．直线
C．线段D．射线
【答案】C
【分析】通过消参法可得，注意x的取值范围，即可确定答案.
【详解】由题设，，故且，
所以曲线表示线段.
故选：C
8．关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用绝对值三角不等式确定的最小值，再解不等式即可.
【详解】解：根据绝对值三角不等式，得
，
所以不等式恒成立等价于，
解得：或，即实数a的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数的取值范围．
9．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）．
A．3B．1C．0D．﹣1
【答案】C
【分析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解
【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值
故选：C
10．在区间上随机地取一个数，则该数满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】解不等式可得，因此，所求概率为.
故选：B.
11．观察下列等式，，，，，根据上述规律，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差的取值规律，利用归纳推理即可得到结论．
【详解】，，，，
由归纳推理可得.
故选：B.
12．下列说法错误的是（ ）．
A．命题“，”的否定是“，”
B．若“”是“或”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2021
C．“”是“函数在内有零点”的必要不充分条件
D．已知，且，则的最小值为9
【答案】C
【分析】对于A：用存在量词否定全称命题，直接判断；
对于B：根据充分不必要条件直接判断；
对于C：判断出“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件，即可判断；
对于D：利用基本不等式求最值.
【详解】对于A：用存在量词否定全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故A正确；
对于B：若“”是“或”的充分不必要条件，所以，即实数m的最大值为2021.故B正确；
对于C：“函数在内有零点”，则，解得：或，所以“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件.故C错误；
对于D：已知，且，所以（当且仅当，即时取等号）.故D正确.
故选：C
13．已知函数，若函数的零点有两个或三个，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化为直线与函数的图象有个或个交点的问题，利用导数分析函数的单调性与极值，画出函数图象，数形结合即可得出实数的取值范围.
【详解】时，，则，
当时，，函数递增；
当时，，函数递减，且此时.
时，，，令，可得.
当时，，函数递增；
当时，，函数递减，且此时；
所以极小值，极大值，，
在且时，，
函数的示意图如图所示，
所以当它与有个或个交点时，.
故选：B.
二、填空题
14．已知，若在点处的切线方程为，___________
【答案】
【分析】先求出的值，再求出切点坐标，代入切线方程即可.
【详解】根据题意得，，所以，解得，
所以，所以，将点代入，解得.
故答案为：.
15．已知与之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系.则与的回归直线方程必过定点___________.
【答案】
【分析】根据表格中的数据，求得样本中心，代入回归方程，即可求解.
【详解】根据表格中的数据，可得，，
即样本中心为，所以与的回归直线方程必过定点.
故答案为：.
16．数列满足，且，则___________.
【答案】
【分析】先利用判断出为常数列，求出数列的通项公式，再求解计算即可.
【详解】因为，所以，
式子两端除以，整理得：，
即为常数列.
因为，所以，
所以，所以.
故答案为：.
17．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的离心率是____.
【答案】
【分析】设，利用椭圆定义得到等式关系，求出，再利用余弦定理可求出．
【详解】设，则，，，
，解得，所以，，
所以为椭圆的上下顶点，不防设为上顶点，则，
则，由余弦定理有，
解得，所以，椭圆离心率；
故答案为：．
三、解答题
18． 已知命题：函数有意义；命题：实数满足.
(1)当且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据为真，可得命题与均为真命题，列出不等式，解不等式组即可；
（2）分别解不等式，根据命题的充分必要性求参数取值范围.
【详解】(1)由，可得，其中，
得，则，，
若，则；
由，解得.
即.
若为真，则，同时为真，即，解得，
所以实数的取值范围为.
(2)由是的充分不必要条件，
是的真子集．
所以或，
解得 ，
实数的取值范围为.
19．中国棋手柯洁与AlphaG的人机大战引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，并根据调查结果绘制了学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40的学生称为“围棋迷”.
(1)请根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关；
(2)为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛首轮该校需派2名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率.
附表：
（参考公式：，其中）
【答案】(1)列联表答案见解析，没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图求得“围棋迷”有25人后即可开始补充完整列联表；计算出的观测值与3.841进行比较即可判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关；
（2）依据古典概型去求2人恰好一男一女的概率.
【详解】(1)由频率分布直方图可知，，
所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，
从而2×2列联表如下：
的观测值.
因为，
所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.
(2)由（1）中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，
所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，
有男生3名，记为，，；有女生2名，记为，.
则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：
，，，，，，
，，，，共10种；
其中2人恰好一男一女的有：
，，，，，，共6种.
故2人恰好一男一女的概率为.
20．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积，且，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：
（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得，从而得角；
（Ⅱ）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得，再由正弦定理得，计算可得结论.
试题解析：
（Ⅰ）因为，所以由，
即，由正弦定理得，
即，∵，
∴，即，
∵，∴，∴，∵，∴.
（Ⅱ）∵，∴，
∵，，
∴，即，
∴ .
21．已知函数．
Ⅰ若函数在区间上为增函数，求a的取值范围；
Ⅱ若对任意恒成立，求实数m的最大值．
【答案】（1） ； （2）.
【分析】(1)g(x)的导数导数大于或等于0恒成立，转化成求不等式恒成立问题
(2) 求不等式恒成立问题转化成求最值问题，利用导数知识判断函数的单调性，从而求最值．
【详解】(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1.
∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，
即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．∴a≥－1－ln x.
令h(x)＝－ln x－1，∴a≥h(x)max，
当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)，
∴h(x)∈(－∞，－3]，∴a≥－3，
即实数a的取值范围是[－3，＋∞)．
(2)∵2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xln x＋x2＋3，
又x＞0，∴m≤在x∈(0，＋∞)上恒成立．
记t(x)＝＝2ln x＋x＋.∴m≤t(x)min.
∵t′(x)＝＋1－＝＝，
令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍去)．
当x∈(0,1)时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴t(x)min＝t(1)＝4.
∴m≤t(x)min＝4，即m的最大值为4.
【点睛】恒成立问题一般参变分离转化成最值问题来处理，避免分类讨论，只需要利用导数知识判断函数的单调性，从而求得函数的最值．
22．已知椭圆：过三点，，中的两点，且短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上､下顶点分别为､点，是椭圆上异于､的任意一点，直线交直线于点，连接，，记，的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题意代入椭圆过的点，结合条件即可求解；
（2）设，，直线的方程为，
得到，求解计算即可.
【详解】(1)由椭圆的对称性易知椭圆：必过点，，所以.
又短轴长为，所以，代入上式解得.
所以椭圆的标准方程为.
(2)证明：设，，直线的方程为.
由，消去可得，
所以，代入直线方程中，可得，
所以.
因为直线：过点，所以，即，
代入上式，可得，
故为定值.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
23．在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的，得到曲线．以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线的极坐标方程为，与曲线，分别交于，两点．
（1）求曲线的直角坐标方程和极坐标方程；
（2）求的值．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）先由曲线的变换规律求出曲线的直角坐标方程，再由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求出极坐标方程；
（2）利用直线的极坐标的几何意义求解的值
【详解】解：（1）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的，
得到曲线，即．
把代入得，即．
（2）设，，曲线的极坐标方程为，
则，．
所以．
24．已知.
(1)求不等式的解集.
(2)若，且，证明：，，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据x的范围分段去掉绝对值符号求解，然后取并集可得；
（2）将问题转化为，然后可证.
【详解】(1).
当时，，解得，无实数解；
当时，，解得，即
当时，，解得，即
综上所述，不等式的解集为
(2)由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，
当且仅当，即时，取等号，
所以
所以，一定存在，使得成立，命题得证.
0
2
4
6
1
非围棋迷
围棋迷
总计
男
女
10
55
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非围棋迷
围棋迷
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100