2022年河北省保定市第十三中学中考数学二模试卷

这是一份2022年河北省保定市第十三中学中考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形为立体图形的是（ ）
A．圆柱的侧面展开图B．正方体
C．长方体的主视图D．圆锥的底面
2．语句“x的2倍与的和是正数”可以表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查一批从疫情高风险地区来邢台人员的核酸检测结果
B．调查一批北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶的质检情况
C．调查某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”
D．调查北京冬奥会参赛运动员兴奋剂的使用情况
5．下列运算与的结果相等的是（ ）
A．B．C．D．
6．新冠疫苗对储存设备的温度要求较高，一定要保存在(2~8)℃ 的环境才可以确保其物的效性!某疫苗指定接种单位的储存设备因线路故障造成了一段时间的停电，供电恢复后，工作人员马上检测了冷藏箱的温度，虽然比原来高了 n℃，但仍符合储存苗疫的要求，则 n 的值不可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
7．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图．若点A在数轴上表示的数为x，则|x+1|＝（ ）
A．﹣x+1B．﹣x﹣1C．x+1D．x﹣1
10．如图，正六边形中，点M，N分别为边上的动点，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．问题：如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．求证：．
则下列正确的是（ ）
A．※处应该填写“同旁内角互补，两直线平行”
B．♥处应该填写“两直线平行，同旁内角互补”
C．&处应该填写“两直线平行，内错角相等”
D．◎处应该填写“两直线平行，内错角相等”
12．某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点为线段的中点．函数的图象经过点，交线段于点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
14．如图，中，，，尺规作图痕迹如下．
结论Ⅰ：点一定为的内心；
结论Ⅱ：连接，，则．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对，Ⅱ对D．Ⅰ对，Ⅱ不对
15．定义运算：※，例如：4※．若关于的方程※有实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．或
16．问题：如图，矩形中，，，点为对角线上一点．当为等腰三角形时，求的值．甲：当点为中点时，为等腰三角形，；乙：当时，是等腰三角形，．则（ ）
A．甲的结论正确B．乙的结论正确
C．甲、乙的结论合起来正确D．甲、乙的结论合起来也不正确
二、填空题
17．2021年10月25日，石家庄市太平河南岸景观带绿道实现贯通，道路贯通后整个太平河形成了南北两岸总面积356.5万平方米的绿色景观带．
（1）数据“356.5万”可以用科学记数法表示为______；
（2）嘉嘉和同学相约在南岸（直线b）顺河游玩，北岸（直线a）一个造型别致的亭子A吸引了他们的目光，此时亭子在他们北偏西方向上，已知a与b是平行的，那么嘉嘉他们的位置可能是点M，P，Q中的______点．
18．热爱运动的琪琪坚持每天晚上健步走半小时并记录步数，他每天以3000步为标准，超过的记作正数，不足的记作负数．下表是本周内琪琪健步走步数情况的记录：
（1）本周内琪琪健步走步数最多的一天比最少的一天多走了 _____步；
（2）本周内琪琪平均每天健步走的速度约为 _____步/分钟（结果保留整数）．
19．如图，量角器的0°刻度线的两端A，B分别在y轴正半轴与x轴负半轴上滑动，点C位于该量角器上刻度处．
（1）若点C在靠近点A处，连接，则=___________°；
（2）当点C与原点O的距离最大时，=___________°．
三、解答题
20．解方程组．
(1)下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：，即
把方程①代入③得：…
请完成解方程组的过程；
(2)若方程的解满足，求整数a的值．
21．已知整式，，若．
(1)求整式C；
(2)将整式C因式分解；
(3)整式，比较整式C和整式D的大小．
22．2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间不超过90分钟．开学初某初级中学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学生书面作业完成时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
调查问卷：
①近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，请回答第2个问题．
②作业超时的主要原因是（单选）
A．作业难度大无法按时完成
B．作业会做，但题量大无法按时完成
C．学习效率低无法完成
D．其他
平均每天完成作业时间x（分钟）分为5组：
①；②；③；④；⑤．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的 ，补全作业完成时间统计图；
(2)本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 组；
(3)何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率．
23．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向10km以内的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，已知A品牌每分钟收费0.2元、B品牌的收费为y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)求B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；
(2)小王发现，他从家到单位上班，骑行A品牌或B品牌的共享电动车的费用相同，求小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间；
(3)小李每天也骑共享电动车上班，他说：“我从家来单位的话，A、B两种品牌的共享电动车的收费相差不超过1.2元”，请直接写出小李从家到单位骑行时间的取值范围．
24．石家庄市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；
(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P、Q两点），
①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧的长）；
②求此时两人所在座舱距离地面的高度差；
(3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于时，可视为最佳观赏位置，求最佳观赏时间有多长（不足一分钟按一分钟记）．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点，与直线交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，函数有最小值，求m的值；
(3)过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当时，直接写出线段PQ与二次函数的图象有一个交点时m的取值范围．
26．如图，中，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，与垂直的动直线从开始．以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交，于，两点．当点运动到点时，直线也停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)当点P在上运动时，过点作于F，
①当时，求证：；
②设的面积为S，用含t的代数式表示S，并求当t为何值时，S有最大值；
(2)当直线l等分的面积时求t的值，并判断此时点P落在的哪条边上；
(3)直接写出时t的值．
证法，，（※）
，，．（♥）
证法，，，，（三角形内角和等于
，，．◎
星期
一
二
三
四
五
六
日
步数/半小时
+221
+260
﹣50
﹣105
﹣115
+104
0
参考答案：
1．B
【分析】根据圆柱的侧面展开图是长方形，长方体的主视图是长方形，圆锥的底面是圆，正方体是立体图形即可得出答案．
【详解】解：A选项，圆柱的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；
B选项，正方体是立体图形，故该选项符合题意；
C选项，长方体的主视图是长方形，故该选项不符合题意；
D选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的展开图和三视图，掌握立体图形的展开图是平面图形是解题的关键．
2．B
【分析】x的2倍与的和可表示为，而正数是大于0的数，从而可得答案．
【详解】解：语句“x的2倍与的和是正数”可以表示为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是列一元一次不等式，理解语句的含义是解本题的关键．
3．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．B
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A，调查一批从疫情高风险地区来石人员的核酸检测结果，适宜采用全面调查，故A不符合题意；
B.调查一批北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶的质检情况，适宜采用抽样调查，故B符合题意；
C.调查某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”，适宜采用全面调查，故C不符合题意；
D、调查北京冬奥会参赛运动员兴奋剂的使用情况，适宜采用全面调查，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则进行运算即可．
【详解】解：，
A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查幂的公式，熟练掌握幂的公式是解题关键．
6．D
【分析】根据题意，符合储存疫苗的温度差为8-2=6（℃），分别跟各个选项比较即可．
【详解】解：∵8-2=6（℃），且1＜2＜5＜6＜7，
∴n不可能为7．
故选：D．
【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，关键是理解题意，了解n的取值代表什么．
7．D
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；
B、不能约分，原式错误，不符合题意；
C、，原式错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．C
【分析】连接，根据菱形的性质可得，则是等边三角形，根据等边三角形三线合一和勾股定理，求出的长度，最后根据含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点F为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C。
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形四条边都相等，等边三角形三线合一，以及直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．B
【分析】根据，可得：，进一步可得：．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴的关系，解题的关键是结合数轴找出，再去绝对值即可．
10．A
【分析】连接，作于点P，于点Q，由正六边形的性质可得，设各边长为a，则，然后利用勾股定理及面积公式可得答案．
【详解】解：连接，作于点P，于点Q，
∵正六边形各内角为，
∴，
∴，
设各边长为a，则，
∴，
同理，
∴，，
∴， ，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确表示出阴影部分和空白部分的面积是解题的关键．
11．C
【分析】利用平行线的性质和判定，逐个分析得结论．
【详解】解：A．※处应该填写“两直线平行，同旁内角互补”，故选项不正确；
B．♥处应该填写“同旁内角互补，两直线平行”，故选项不正确；
C．&处应该填写“两直线平行，内错角相等”，故选项正确；
D．◎处应该填写“内错角相等，两直线平行”，故选项不正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，分清性质和判定是解决本题的关键．由平行得到角间关系是性质，由角间关系得到平行是判定．
12．C
【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱的高为6，，，，根据锐角三角函数的定义，线段的和差，三角形的面积分别对各个结论进行判断即可．
【详解】解：由题意可知，这个三棱柱的高为6，，，．
，，
，故选项A结论正确，不符合题意；
，，
，即，故选项B结论正确，不符合题意；
．
在中，，
因此选项C结论不正确，符合题意；
俯视图三角形的底边为7，高为2，
所以，
因此选项D结论正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，涉及到了三角函数的知识，其中理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提．
13．B
【分析】根据矩形的性质求得的坐标，然后代入，即可求得函数的解析式，代入即可求得的坐标．
【详解】解：，，点为线段的中点．
，
函数的图象经过点，
，
函数，
，，
轴，
把代入得，，
点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
14．C
【分析】利用基本作图得平分，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到垂直，，所以，于是可判断点为的外心，不一定为的内心，这样可对结论Ⅰ进行判断；利用直角三角形斜边上的中线性质得到，由于，所以，则可对结论Ⅱ进行判断．
【详解】解：由尺规作图痕迹得平分，垂直平分，
，
，
，，
，
，
点为的外心，不一定为的内心，所以结论Ⅰ不正确；
为的斜边的中线，
，
，
，所以结论Ⅱ正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和三角形的内心．
15．D
【分析】根据新定义运算法则列出关于的方程，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】解：由题意可知：※，
当时，原来方程变形为，方程无解；
当时，
关于的方程※有实数根，
△，
解得或．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，难度不大．
16．D
【分析】根据矩形的性质可得，，为等腰三角形分三种情况：①，②，③，分别求解的长即可．
【详解】解：在矩形中，，，，
根据勾股定理，可得，
是等腰三角形，分三种情况：
①，
当点为的中点时，，
此时；
②，
，，
；
③，
过点作于点，如图所示：
则此时，
，
，
，
根据勾股定理，得，
，
，
综上，的值有：2.5或2或，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，本题综合性较强，分情况讨论是关键．
17． 3.565×106 P
【分析】（1）用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可；
（2）利用方向角的表示方法进行判断．
【详解】解：（1）356.5万；
（2）如图：
因为亭子在他们北偏西方向上，
嘉嘉他们的位置可能是点，，中的点．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了科学记数法和方向角．用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
18． 375 102
【分析】（1）比较各数值与标准数3000步的差大小，然后用最大的差减去最小的差，即可得到答案．
（2）先求出7天步数与标准数3000的差的平均数，再加上3000，除以30分钟即可得到答案．
【详解】（1）解：∵﹣115＜﹣105＜﹣50＜0＜104＜221＜260，
∴260﹣（﹣115）＝375（步）
故答案为375；
（2）解：
＝
＝
102（步/分钟）
故答案为102．
【点睛】本题主要考查了平均数，掌握相关知识，注意计算中需注意的事项，准确计算是本题的解题关键．
19． 25
【分析】（1）取的中点D，如图，利用量角器的读数得到，再根据圆周角定理的推论判断点O在以为直径的圆上，即点O和量角器在同一个圆上，则根据圆周角定理得到；
（2）当点C、D、O共线时，点C与原点O的距离最大，利用邻补角计算出，然后根据圆周角定理得到，进而即可求解．
【详解】（1）取的中点D，如图，
根据题意得，
∴
∵，
∴点O在以为直径的圆上，即点O和量角器在同一个圆上，
∴；
故答案为：25；
（2）当点C、D、O共线时，点C与原点O的距离最大，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
20．(1)
(2)2或3
【分析】（1）把方程①整体代入③得到关于y的方程，求得，再把代入①得到，从而得到方程组的解；
（2）把方程组的解代入得到关于a的不等式组，解不等式组求出整数解即可．
【详解】（1）下面给出了部分解答过程：
将方程②变形：，即
把方程①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解是；
（2）由（1）可知方程的解为，
∵方程的解满足，
∴，
解得．
∴整数a为2或3．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的整数解等知识，读懂题意，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把与代入中，合并即可确定出；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用作差法比较与大小即可．
【详解】（1）解：，，
；
（2）；
（3）
，
．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及整式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．(1)，，补全图形见解析
(2)③
(3)
【分析】（1）用第⑤组人数除以总人数即可，根据百分比之和为1可得的值，根据五个小组人数之和为500可得第④组人数，从而补全图形；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
【详解】（1）解：书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为，
影响作业完成时间的主要原因统计图中的，即，
人数为，
补全图形如下：
故答案为：，33.3；
（2）这组数据的中位数是第250、251个数据的平均数，而这两个数据均落在③，
本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第③组，
故答案为：③；
（3）由题意可得，树状图如下图所示，
由树状图知，共有12种等可能结果，其中选中的2名同学恰好是一男一女的有8种结果，
恰好选中一名男生和一名女生的概率是．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23．(1)y＝
(2)20分钟
(3)
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出品牌的收费（元）与骑行时间（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据题意可知分两种情况，然后分别列出相应的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
当时，，
当时，设与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
当时，与的函数关系式为，
由上可得，；
（2）设小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间为分钟，
由题意可得：或，
解得（不合题意，舍去）或，
答：小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间为20分钟；
（3）设小李从家到单位用的时间为分钟，
由题意可得，
当时，且，
解得；
当时，且，
解得，
由上可得，小李从家到单位骑行时间的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式，写出相应的函数关系式，利用数形结合的思想解答．
24．(1)101
(2)①m；②25m
(3)5分钟
【分析】（1）根据题意得出最高点是直径加即可；
（2）①求出圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可；
②求出的长即可，利用直角三角形的边角关系求出的长，进而求出即可；
（3）求出达到最佳观赏位置时，座椅所处的位置，进而求出所夹的弧所对的圆心角的度数，由圆心角所占周角的百分比，得出最佳观赏时间占13分14秒的百分比，通过计算可得答案．
【详解】（1）解：如图，由题意可知，，，
当座椅转到点时，距离地面最高，此时，
故答案为：101；
（2）①圆周上均匀的安装24个座椅，因此每相邻两个座椅之间所对的圆心角为，
，
的长为，
答：两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧的长）为；
②由题意得，两人所在座舱距离地面的高度差就是的长，
在中，，，
，
，
即两人所在座舱距离地面的高度差为；
（3）如图，当时，对应的座椅为点、点，当座椅在上运动时，观赏位置最佳，
此时，，
，
，
的长是圆周长的，
因此最佳观赏位置所持续的时间为：13分14秒的，
，
答：最佳观赏时间有多长约有5分钟．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，掌握弧长计算公式是正确计算的关键．
25．(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为；
（2）由抛物线的对称轴为直线，根据当时，函数有最小值，可得时，，即可解得的值为；
（3）①，根据的长度随的增大而减小，可得，即可解得解得；
②由，得，（Ⅰ）当时，在二次函数的图象的最高点，与抛物线只有1交点，（Ⅱ）当时，、都在直线的右侧，与抛物线只有1交点；（Ⅲ）直线关于对称轴直线的对称直线为，当时，与抛物线只有1交点．
【详解】（1）解：将，点代入得：
，
解得，
，
答：二次函数的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为直线，
在时，随的增大而减小，
而当时，函数有最小值，
时，，
即，
解得或（不合题意，舍去），
的值为；
（3）①，
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
满足题意，
解得；
②，
，
解得，
（Ⅰ）当时，在二次函数的图象的最高点，与抛物线只有1交点，如图：
（Ⅱ）当时，如图：
此时、都在直线的右侧，与抛物线只有1交点；
（Ⅲ）直线关于对称轴直线的对称直线为，
当时，如图：
此时与抛物线只有1交点；
综上所述，当或时，与抛物线只有一个交点．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标特征，抛物线与线段的交点等，解题的关键是数形结合思想的应用．
26．(1)①见解析，②t=1时，S有最大值
(2)BC边上
(3)或
【分析】（1）①由，，，即可证明；
②由，可得，求出，则，再由求的最大值即可；
（2）分别求出，，再由题意可得，求出的值即可；
（3）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于，由，可得方程，解得；当点在上时，过点作交于，由，可得方程，解得．
【详解】（1）解：①证明：，
，
，
，
，
∴；
②解：点在上运动，，
，
由题意可知，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
时，有最大值；
（2）解：由②可知，，，
，，
直线等分的面积，
，
解得或，
，
，
，
点在边上；
（3）解：当点在上时，，
过点作交于，如图所示：
，
，
，
，
解得；
当点在上时，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
解得；
综上所述：的值为或．
【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形的性质，平行线的性质是解题是关键．