2023年上海市崇明区中考数学一模试卷

2023年上海市崇明区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各组图形，一定相似的是(    )

A. 两个等腰梯形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个矩形

2.  将函数的图象向右平移个单位，下列结论中正确的是(    )

A. 开口方向不变 B. 顶点不变 C. 对称轴不变 D. 与轴的交点不变

3.  在中，，，，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的倍；向量与方向相同，且其模为的倍，则下列等式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  如果，那么        ．

8.  计算：        ．

9.  点是线段的黄金分割点，如果，那么较长线段的长是        ．

10.  如果抛物线有最高点，那么的取值范围是        ．

11.  如果抛物线的对称轴是轴，那么它的顶点坐标为        ．

12.  已知点，为二次函数图象上的两点，那么        填“”，“”或“”．

13.  如果两个相似三角形的周长之比是：，那么它们的对应角平分线的比为        ．

14.  飞机离水平地面的高度为千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为        千米用的式子表示

15.  如图，在梯形中，，，，则        ．

16.  如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么______．

17.  如图，菱形的边长为，为的中点，平分交于点，过点作，交于点，若，则的长为        ．

18.  如图，在中，，，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
在梯形中，，且过点作，分别交，于点、，若，．
用、表示和；
求作在、方向上的分向量不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量

21.  本小题分
如图，是边上的一点，，，垂足为点，若，．
求的长；
若，求的值．

22.  本小题分
如图，一根灯杆上有一盏路灯，路灯离水平地面的高度为米，在距离路灯正下方点米处有一坡度为：的斜坡如果高为米的标尺竖立在地面上，垂足为，它的影子的长度为米．
当影子全在水平地面上图求标尺与路灯间的距离；
当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上图，求此时标尺与路灯间的距离为多少米？
 

23.  本小题分
已知：如图，在梯形中，，，对角线与交于点，点是边上的中点，联结交于点，并满足．
求证：；
求证：．

24.  本小题分
如图，在直角坐标平面中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与物交于点．

求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点的坐标；
联结、、，求的面积；
过作轴的垂线与交于点，是直线上点，当与相似时，求点的坐标．

25.  本小题分
已知中，，，点为射线上的一个动点不与重合，过点作，交射线于点，联结．

如图，当点在线段上时，与交于点，求证：∽；
在的情况下，射线与的延长线交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；
当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；
B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；
D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意．
故选：．
根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．
 

2.【答案】 

【解析】解：、将函数的图象向右平移个单位，不变，开口方向不变，故正确；
B、将函数的图象向右平移个单位，顶点的横坐标改变，纵坐标不变，故错误；
C、将函数的图象向右平移个单位，形状不变，顶点改变，对称轴改变，故错误；
D、将函数的图象向右平移个单位，与轴的交点也改变，故错误．
故选：．
由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，不变，抛物线的增减性不变．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
故选：．
利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意知，，则，观察选项，只有选项B符合题意．
故选：．
根据平面向量的性质进行一一判断．
此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，无法判断，故选项A不符合题意；
当时，，则∽，故，，但无法判断，故选项B不符合题意；
当时，无法判断，故选项C不符合题意；
当时，，则∽，故，可以判断判断，故选项D符合题意；
故选：．
根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，

若，则，故，选项A不符合题意；
若，则∽，，故，，选项B不符合题意；
若，则∽，，故，，选项C不符合题意；
若，无法判断∽，从而可以不能推出为直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据题意和各个选项中的条件，可以判断各个选项中的条件能否推出∽，从而可以判断是否为直角三角形．
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，



，
故答案为：．
根据，可以得到，然后将所求式子变形，再将代入计算即可．
本题考查比例的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先去括号，然后计算加减法．
本题主要考查了平面向量的知识，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：较长线段．
故答案为：．
由黄金分割的定义即可计算．
本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线有最高点，
抛物线开口向下，
，
解得，
故答案为：．
由抛物线有最高点可得抛物线开口方向，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为轴，
，
，
，
抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
由抛物线的对称轴为轴可得，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
．
故答案为：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

13.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形的周长之比是：，
两个相似三角形的相似比为：，
它们的对应角平分线的比为：．
故答案为：：．
直接利用相似三角形的性质解决问题．
本题考查了相似三角形的性质：相相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比等于相似比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：为飞机离地面的高度，

由题意得：
，千米，，，
，
在中，千米，
此时飞机与目标点的距离为千米，
故答案为：．
根据题意可得：，千米，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质，可以得到，再根据锐角三角函数即可求得的值，从而可以求得的值．
本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形、梯形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：线段、是的中线，
，，
，，
．
故答案为：．
由三角形的重心定理得出，，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出：：是解决问题的关键
 

17.【答案】 

【解析】解：作于，延长、交于点，
，，
，
点为的中点，
，
，
垂直平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
，
，，，
≌，
，
，
∽，
，
解得，
，
故答案为：．
作于，延长、交于点，首先说明垂直平分，可得，再证明≌，得，由，得∽，从而解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
由翻折得，
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得，
故答案为：．
延长交于点，由，得，由，得，则，所以，求得，则，，由勾股定理得，则，可证明，则，，再证明∽，即可根据相似三角形的对应边成比例求得．
此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

20.【答案】解：，，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，，即为所求．
 

【解析】利用平行线的性质，平行四边形的判定和性质，三角形法则求解即可；
利用平行四边形法则画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，梯形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：作于点，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
，，
，
解得；
，，
，
由知：，，，
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】作于点，根据平行线分线段澄碧，可以得到的长，再根据，即可得到的长；
根据中的结论和勾股定理，可以得到的长，然后即可计算出的值．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：如图，连接并延长，交于点，
由题意可知，米，米，米，
，，
，
∽，
，即，
米，
米，
标尺与路灯间的距离为米；

如图，连接并延长，交于点，过点作于点，交于点，过点作交延长线于点，
由题意可得，米，，
设米，则米，米，米，
米，米，
米，米，
米，
米，
，，
，
，，
∽，
，即，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，，
则米，
米，
此时标尺与路灯间的距离为米． 

【解析】连接并延长，交于点，根据题意可得，易证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
连接并延长，交于点，过点作于点，交于点，过点作交延长线于点，根据题意可得米，，设米，则米，米，米，再分别表示出、、、的长，易证∽，根据相似三角形的性质可得关于的方程，求解即可．
本题主要考查解直角三角形的应用坡度坡脚问题、中心投影、相似三角形的判定与性质，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
 

23.【答案】证明：点是边上的中点，
，
，
，
，
，
∽，
．
，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
∽，，
，
，
． 

【解析】由，且，得，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽，则；
先证明∽，得，则，由，得，所以∽，得，所以，再证明∽，推导出，则．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明∽是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线经过点，
，
由可得，，
，
在中，令得：，
抛物线顶点的坐标为；
过作轴交于，如图：

在中，令得，
，
，
直线解析式为，
在中，令得，
，
在中，令得，
，
，
；
过作于，如图：

由知，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
要使与相似，只需或，
设，则，
当时，，
解得，
，
当时，，
解得，
，
综上所述，的坐标为或． 

【解析】由抛物线的对称轴为直线，得，抛物线经过点，有，可解得，，，即得抛物线顶点的坐标为；
过作轴交于，在中，得，故直线解析式为，令得，在中，可得，从而，；
过作于，由，，可得，，即知，可求出，，故，要使与相似，只需或，设，则，即得或，分别解方程可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

25.【答案】证明：取的中点，连接，．

，，
，，
，
，，，四点共圆，
，
，
∽；

解：过点作于点，过点作交的延长线于点．

，，

，
，，
，
，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；

解：当点在线段上时，，，
，
，
，
．
当点在的延长线上时，过点作于点，过点作交于点．

同法可证，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或． 

【解析】取的中点，连接，证明四点共圆，可得结论；
过点作于点，过点作交的延长线于点证明≌，推出，解直角三角形可得，推出，推出，可得，由，推出，由此构建关系式，可得结论；
分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．