高中数学高考专题13 等差与等比数列（解析版）

这是一份高中数学高考专题13 等差与等比数列（解析版），共11页。试卷主要包含了等差数列与其他结合综合问题，等比数列与其他结合综合问题，等差数列与等比数列的综合问题等内容，欢迎下载使用。

【解决之道】解决此类问题，要熟记等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式，根据题中条件即可得出关于首项与公差的方程式，即可解出首项与公差，即可解决相关问题.对前n项和的最值问题，有两种方法，①二次函数法，写出前n项和，利用二次函数求最值的方法求最值，注意n是正整数；②转折项法，首项为正且公差为负，所有负项之和即为前n和的最大值，首项为负且公差为正，所有负项之和即为前n和的最小值.
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅱ卷文数14】记为等差数列的前项和，若，则 ．
【答案】
【解析】是等差数列，且．设等差数列的公差，根据等差数列通项公式：，可得，即：，整理可得：，解得：．根据等差数列前项和公式：，可得：，．故答案为：．
2.【2020年高考上海卷7】已知等差数列的首项，且满足，则 ．
【答案】
【解析】由条件可知，．
3.【2019年高考全国III卷文数】记为等差数列的前项和，若，则___________.
【答案】100
【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得得
4.【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是__________．
【答案】16
【解析】由题意可得：，解得：，则.
5.【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公差为d．
由得．
由a3=4得．
于是．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，故.
由知，故等价于，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是．
6.【2019年高考北京卷文数】设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【答案】（1）；（2）当或者时，取到最小值.
【解析】（1）设的公差为．
因为，
所以．
因为成等比数列，
所以．
所以．
解得．
所以．
（2）由（1）知，．
所以，当时，；当时，．
所以，的最小值为．
7.【2018年高考全国II卷文数】记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
命题规律二 等差数列与其他结合综合问题
【解决之道】解决此类问题，利用等差数列的相关的知识结合相关的知识即可进行运算即可作出判断.
【三年高考】
1.【2020年高考浙江卷7】已知等差数列的前项和，公差．记，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知，成立；
B．，，，
若，则，
即，这与已知矛盾，故B不成立；
C． ，整理为：，故C成立；
D．，当时，即，整理为，即，，方程有解，故D成立．综上可知，等式不可能成立的是B，故选B．
2.【2020年高考北京卷8】在等差数列{}中，，，记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6时，an＞0，所以n=4时，Tn＞0，并且取最大值；n=5时，Tn＜0；n≥6时，Tn＜0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项．故选A．
命题规律三 考查等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式及等比数列的性质
【解决之道】解决此类问题，要熟记等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式，根据题中条件即可得出关于首项与公差的方程式，即可解出首项与公差，即可解决相关问题.
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数10】设是等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
，故选D．
2.【2020年高考全国Ⅱ卷文数6】记为等比数列的前项和．若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，由可得：，
∴，因此，故选B．
3.【2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8
C．4D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．
4.【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
5.【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，即.
解得，所以．
6.【2018年高考全国I卷文数】已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【答案】（1）b1=1，b2=2，b3=4；（2）见解析；（3）an=n·2n-1．
【解析】（1）由条件可得an+1=．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得，即bn+1=2bn，
又b1=1，
所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得，
所以an=n·2n-1．
7.【2018年高考全国III卷文数】等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．
由得，此方程没有正整数解．
若，则．
由得，解得．
综上，．
命题规律四 等比数列与其他结合综合问题
【解决之道】解决此类问题，利用等差数列的相关的知识结合相关的知识即可进行运算即可作出判断.
【三年高考】
1.【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D.
2.【2018年高考江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【解析】（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而当时，，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
3.【2018年高考浙江卷】已知成等比数列，且．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此.
若公比，则，不合题意；
若公比，则但，即，不合题意；
因此，，故选B.
命题规律五 等差数列与等比数列的综合问题
【解决之道】解决此类问题，根据等比数列与等比数列的关系，利用等差数列与等比数列的相关知识，即可解决问题.
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数17】设等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设为数列的前项和．若，求．
【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以．
（2）令，所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以．
2.【2019年高考全国II卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公比为q，由题设得
，即．
解得（舍去）或q=4．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，
因此数列的前n项和为．
3.【2018年高考北京卷文数】设是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
∵，
∴，
又，
∴.
∴.
（2）由（1）知，
∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴.
∴.
命题规律
内 容
典 型
１
考查等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式及等差数列的性质
2020年高考全国Ⅱ卷文数14
２
等差数列与其他结合综合问题
2020年高考浙江卷7
３
考查等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式及等比数列的性质
2020年高考全国Ⅰ卷文数10
４
等比数列与其他结合综合问题
2018年高考北京卷文数
５
等差数列与等比数列的综合问题
2020年高考全国Ⅲ卷文数17