高中数学高考专题13 平面向量A卷（第二篇）（解析版）

这是一份高中数学高考专题13 平面向量A卷（第二篇）（解析版），共30页。

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如图所示，
∵，所以O为的重心，
连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，
则四边形ABFC为平行四边形，
，，
，
即，又因为，所以，
∴，，
设，则，
在中由余弦定理得，
即，解得，即.
又，
∴.
故选：D.
2．为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：由，
如图设
，即是的重心
同理可得，
所以．
故选：．
3．设点，的坐标分别为，，，分别是曲线和上的动点，记，.（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】
根据题意,在直线上取,且.过分别作直线的垂线,交曲线于和交于.在曲线上取点,使.如下图所示:
若,则
若,则即可.此时可以与重合,与重合,满足题意,但是不成立,且所以A、B错误;
对于C,若,则,此时必有与对应(或与),所以满足
,所以C正确;
对于D,对于点,满足,但此时在直线上的投影不在处,因而不满足,即,所以D错误
综上可知,C为正确选项
故选:C
4．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，
因此，
因此，设
所以
当时，最小值为选B.
5．已知,其中实数满足,,则点所形成的平面区域的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由题：,作，与线段交于，设，如图：
，，所以点在图形内部区域，
根据平面向量共线定理有，
，所以，
，即，
即，，所以点所在区域为梯形区域，
其面积
故选：B
6．若正方体的棱长为1，则集合中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
①当时
正方体
故: ()
故: ()


中元素的个数为.
②时
此时中元素的个数为.
综上所述, 中元素的个数为.
故选:A.
7．已知两个不相等的非零向量与，两组向量，，，，和，，，，均有2个和3个按照某种顺序排成一列所构成，记，且表示所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若，则与无关；③ 若∥，则与无关；④ 若，则；⑤若，且，则与的夹角为；正确的结论的序号是（ ）
A．①②④B．②④C．②③D．①⑤
【答案】B
【解析】
当有零对时,;
当有2对时,;
当有4对时,;
所以有3个不同的值,所以①不正确;
因为,
,
因为,所以,
所以,所以,
对于②,因为,所以,则与无关,只与有关,所以②正确;
对于③,当时,设,则与有关,所以③不正确;
对于④,设与的夹角为,因为,所以 ,所以,故④正确;
对于⑤,因为,所以,因为,所以,所以, 因为,所以,所以与的夹角为,故⑤不正确.
故选.
8．已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4
，
（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．
∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）．
∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27=，
∵x∈[﹣4，﹣2]，∴λ≤11．
∴当λ或时有一解，当λ≤-1时有两解；
（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．
∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）．
∴x2﹣9+4＝x2﹣5，
∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．
∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；
（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．
（3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x），
∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，
∵2＜x≤4，∴λ≤11．
∴当λ或时有一解，当λ<-1时有两解；
综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是λ＜﹣1．
故选C．
9．已知是所在平面内一点，且满足，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【答案】B
【解析】
由题：
即：，
，
因为与角的角平分线共线，
所以与角的角平分线共线，
所以与角的角平分线共线，即点在的角平分线上，
同理可得点在的角平分线上，
所以点是的内心.
故选：B
10．已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
解：以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的方程为，
设的坐标为，
过点作垂直轴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，，
∴，其中，，
当时，有最大值，最大值为，
故选：B．
11．已知点是的重心，，若，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,
，
根据向量的数量积的定义可得,
设，则，
，
当且仅当，即，△ABC是等腰三角形时等号成立.
综上可得的最小值是.
本题选择C选项.
12．设O是的外心，满足，，若，则的面积是（ ）
A．4B．C．8D．6
【答案】B
【解析】
取AC中点D，因为O是的外心，所以

则 ，解得：
所以
即
故选：B
13．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【解析】
如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则 ，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
14．如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由题：，点是半径为1的扇形圆弧上一点，则，
则，
即，，
化简得：，令，
因为，，，先增大后减小，
所以的最小值为较小值，
即的最小值为，
所以的最小值为1.
故选：B
15．正六边形中，令，，是△内含边界的动点（如图），，则的最大值是（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
解：，
．
令，则有．
又，
，，三点共线．
．当达到最大为时，，点到线段的最短距离为，即恰好达到最小为．
．
故选：．
16．已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】B
【解析】
,得，，.
所以 .
设,则,
则由余弦定理有.
,分别表示向量，在向量上的投影长度
当时，.
当时如图（1），=.
当与，的夹角均为锐角时,如图（2）
,,则,
(当与平行时，取得等号)
当与，的夹角均为钝角时, ，
则与，的夹角均为锐角，同理可得,
当与，的夹角一个为锐角，另一为钝角时，设当与的夹角为钝，如图（3）
则等于向量的相反向量在的相反向量上的投影的长，即,
所以
综上,
故选：B.
17．过抛物线：焦点的直线交该抛物线于点，，与抛物线的准线交于点，如图所示，则的最小值是（ ）
A．8B．12C．16D．18
【答案】C
【解析】
因为双曲线的焦点,
所以设直线的方程为, ,则,
将代入到,整理得,
则,,
所以,,
所以

,当且仅当,即时取得等号.
故选:C
18．梯形中，，点在直线上，点在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，
，
由，化简得，
则，
当且仅当时取“=”号
故选：A
19．如图，在ΔABC中，∠BAC=，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】B
【解析】
因为，所以，由三点共线可得，
，即，所以，由向量的模的公式可得，
，
而，可得，
根据基本不等式，
，
所以的最小值为．
故选：B．
20．已知腰长为2的等腰直角ΔABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
以为轴建立平面直角坐标系，则，设，
则，，
，
，
∵，∴，
设，则，
∴，
，
∴时，取得最小值。
故选：C。
21．在平面内，定点满足，，动点满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由可知，是的外心；由，得，所以，根据数量积运算得：
，所以，所以在的角平分线上，所以是三角形的内心.
故三角形是等边三角形，且由正弦定理得其边长为.
建立如图所示的平面直角坐标系，.由于，所以的轨迹方程为.令，由得，所以.
所以的最大值是.
故选：B
22．已知O是所在平面上的一点，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
因为
则,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
23．若是垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，
而，所以得到，
故选D.
24．定义域为的函数图像的两个端点为、，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小正实数称为该函数的线性近似阈值.若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
作出函数图像，它的图象在上的两端点分别为：,
所以直线的方程为：
设是曲线上的一点，，其中
由，可知三点共线，
所以点的坐标满足直线的方程，
又,,则
所以两点的横坐标相等.
故
函数在上满足“范围线性近似”
所以时，恒成立.
即：恒成立.
记，整理得：，
，当且仅当时，等号成立．
当时，
所以，所以.
即：
所以该函数的线性近似阈值是：
故选B
25．如图所示，向量的模是向量的模的倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次变换得到向量. 在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中、、为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，经过一次变换后得到，
点，，，A选项正确；
由题意知

所以，
，
，B选项正确；
，
C选项正确；
，
D选项错误.故选D.
26．已知向量满足, , ,，则的最大值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】
解：=，，，
设由，，，
所以，
所以，
又，
则
即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径，
在中，
由余弦定理可得=+=7,
即AB=,
又由正弦定理可得：，
即最大值为，
故选A.
27．已知、均为单位向量，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
解：因为、均为单位向量，且，所以设，，
，,则,
由的几何意义为点到点的距离，的几何意义为点到点的距离，
因为，即，又，即点在线段上运动，
设
则的几何意义为点到点的距离，
又所在的直线方程为，
则，
点到点的最大距离为点到点的距离，即为，
即 ，
故选B.
28．在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍，若存在正实数使得成立,则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC与点E，过点D作DF⊥AC与点F，
若△ACB面积是△ADC面积的3倍，即3DF＝BE，
根据相似三角形的性质可知，3，
∴3（）＝，
∴，
设＝，
∵＝，
∴
∴＝10，
∴
当且仅当且＝10，即x＝时取等号
故答案为．
29．在，若，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．无法判断
【答案】C
【解析】
由题意可得：
，
故，，
且：，则，
结合可知△ABC为等边三角形.
故选C.
30．已知是内一点，且满足，记、、的面积依次为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如图：设分别为、的中点
由于，所以，即；
同理：，即，
所以，则到的距离等于到的距离，到的距离等于到的距离的，
设的面积为，则，，，
所以
故选D