高中数学高考专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小(解析版)

这是一份高中数学高考专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小(解析版)，共59页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设则下列判断中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，利用导数分析的单调性，从而判断出的大小关系.
【详解】
设，所以，令，所以，
所以时，，单调递增；，，单调递减，
因为，且，所以，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法：
（1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性；
（2）先比较处于同一单调区间的函数值大小；
（3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小.
2．是定义在上的非负､可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
构造新函数求导利用新函数的单调性得解.
【详解】
设则因为；所以时，则函数在上是减函数或常函数；所以对任意正数a，b，若，则必有
是定义在上的非负､可导函数,
两式相乘得
故选A
【点睛】
本题考查导数的运算，构造新函数，利用函数单调性比较大小，属于中档题..
3．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
构造函数，可得在的单调性，可得答案.
【详解】
解：令，得，
由时，，得，在上单调递减，
又，，，
可得，故，故，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，关键在于由已知条件构造出合适的函数，属于中档题.
4．已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是（ ）
①，②，③，④
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】B
【分析】
，令，可知在上单调递减，，所以存在使得，进而可得
，然后利用作差法可得.
【详解】
的定义域为，
，
令在上单调递减，
，，
所以，，所以，
，
，因为，所以，
所以，即；所以②③正确；
故选：B
【点睛】
思路点睛：要判断不等式或等式成立，首先要对函数求导，判断单调性，如果导函数大于或小于0无法求出解集，若导函数的分子符号是定的，需要看导函数的分子是否有单调性，如果看不出导函数分子的单调性，就要设分子为一个新的函数，再求导，利用零点存在定理，即可得出新函数的符号，即可判断原导函数的符号，即可解决问题.
5．已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数.若对任意都有则满足的θ的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
令，先判断函数 为奇函数，再判断函数在区间，上单调递减，由，得，即可求出．
【详解】
令，，，
为奇函数，为偶函数，
为奇函数．
，，有，
，
在区间，上单调递减，又为奇函数，
在区间，上单调递减，
当，，，
，
，
，
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
6．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
令，得到是定义在上的奇函数，且在上是增函数，结合单调性，即可求解.
【详解】
令，由是定义在上的偶函数，
可得是定义在上的奇函数，
又因为时，，
所以在上是增函数，所以是定义在上的增函数，
又由，所以，
即.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小问题，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7．上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，则由题意可证得在上单调递增，又，
，故可转化为，解得.
【详解】
令，则，
因为，所以，
所以函数在上单调递增，
又，所以
故当时，有，即，
由的单调性可知.
故选：D.
【点睛】
本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.
8．若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意，可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性，可知在上单调递增，得出，整理即可得出答案．
【详解】
解：由题可知，则，
令，
而，则，
所以在上单调递增，
故，即，
故，
即，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据函数的单调性比较大小，考查构造函数和利用导数解决函数单调性问题，属于中档题．
9．已知为定义在上的偶函数，其导函数为，对于任意的总有成立，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
构造函数，对其求导，根据题中条件，得到在上是增函数，可判断AB错误；再由与均为偶函数，可得为偶函数，进而可判断C正确，D错误.
【详解】
构造函数，
则，
因为对于任意的总有成立，
所以当时，，所以在上是增函数，
∴，，
即，，
所以，，
故A，B错误；
又与均为偶函数，所以为偶函数，
因此，即，
所以，故C正确；
同理，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由函数单调性比较大小，考查导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.
10．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
将、、分别表示为，，，然后构造函数，利用导数分析函数的单调性，并利用单调性比较、、三个数的大小．
【详解】
根据题意，，，.
令，则，
由得；由得；
则函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
因此．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查由函数单调性比较函数值大小，熟记导数的方法判定函数单调性即可，属于常考题型.
11．已知是定义在上的函数的导函数，且，当时，恒成立，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
构造函数，由，可得的图象关于直线对称，
利用导数研究函数的单调性，根据单调性即可比较大小.
【详解】
构造函数，因为，所以，
则，所以的图象关于直线对称，
因为当时，，所以，
所以在上单调递增，
所以有，
即，
即，，
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数，属于中档题.
12．已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先设函数，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小.
【详解】
设，
，即，
所以函数是偶函数，
并且，所以函数在单调递减，
，，
，
因为，所以，
即.
故选：D
【点睛】
本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.
13．下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
构造函数，对其求导，判断单调性，进而可得出结果.
【详解】
构造函数，
因为对一切恒成立，
所以函数在上是减函数，从而有，
即.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.
14．已知函数（）满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，求导后可证得在上单调递减，将原不等式可转化为，即，再利用函数单调性的定义求解.
【详解】
令，则，
所以在上单调递减.
因为不等式可等价于，
即，
所以，
解得或，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
先利用导数求斜率得到直线的方程，可得出，分类讨论的符号，计算化简并判断其符号即得命题①正确；由结合指数与对数的互化，得到，即得的范围，得命题②错误；构造函数，研究其零点，再构造函数并研究其范围，即得到，得到命题③正确.
【详解】
，，所以直线的斜率，直线的方程为，即，同理根据可知，直线的方程为，故，得.
命题①中，若，由可得，此时等式不成立，矛盾；
时，，因此，
若，则，有，此时；
若，则，有，此时.
所以根据数量积定义知，，即，故①正确；
命题②中，由得，得或，故②错误；
命题③中，因为，由②知，，或，
故当时，即，设，则，故
在是增函数，而，，故的根，因为，故构造函数，，则，故在上单调递减，所以，故，故③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属于函数的综合应用题，属于难题.
16．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
构造新函数，根据条件可得是奇函数且单调递增，将所求不等式化为，即，解得，即
【详解】
解：因为为上奇函数，所以，设，
所以，
所以为上奇函数，
对求导，得，
而当时，有
故时，，即单调递增，
又为上奇函数，时，单调递增，
在上可导，在处连续，
所以在上单调递增，
不等式
，
即
所以，解得
故选：A
【点睛】
本题考查构造新函数并利用其单调性求解不等式、利用导数判断函数的单调性，函数的奇偶性的应用，题目较综合，有一定的技巧性，是中档题.
17．已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
构造函数，利用导数判断出函数的单调性，即可判断正确选项．
【详解】
解：由题意：构造函数，
则在恒成立，
所以在单调递减，
所以
所以，
即
故， ，，
故选：A
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性比较函数值的大小，是中档题．
18．设是定义域为R的函数的导函数，，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据，构造函数，由，得到在R上递减，然后将不等式转化为，利用函数单调性定义求解.
【详解】
因为，即，
设函数，
，
在R上递减，
又，
所以，
不等式转化为：，
即，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数单调性的定义解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．已知函数，，若，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
易得函数为偶函数，再结合函数的单调性并利用导数判断函数的单调性，由此得解．
【详解】
，为奇函数，为偶函数，
又，在上单调递增，
当时，有，，
即在上递增，
所以，
故选:C．
【点睛】
本题考查函数奇偶性及单调性的综合运用，同时涉及了运用导数判断函数的单调性，属于中档题．
20．已知函数f(x)(x∈R)满足，且的导数f′(x)>，则不等式的解集（ ）
A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－1，1)
【答案】A
【分析】
根据f′(x)>，构造函数 ，又，然后将不等式，转化为，利用单调性的定义求解.
【详解】
因为f′(x)>，
所以
所以 在R上递增，
又，
所以不等式，即为，
即为：，
所以，
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.
21．设函数是定义在上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】
对求导得，可证得在上单调递减，于是有（2）和，从而得解.
【详解】
，，
在上单调递减，
（2），即，（2）；
，即，.
故选：.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的转化思想和逻辑推理能力，属于中档题.
22．已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，结合已知条件可知为上的增函数，故可根据得到正确的选项.
【详解】
令，则，故为上的增函数，
所以即，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的单调性，注意根据导数满足的关系合理构建新函数，本题属于基础题.
23．已知函数f（x）的定义域为R，且，则不等式解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
构造函数,再分析的单调性以及求解即可.
【详解】
构造函数,则,故在上为增函数.
又,故即,即.解得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.
24．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先设，对求导，结合题中条件，判断的单调性，再根据函数为奇函数，得到的奇偶性，进而可得出结果.
【详解】
设，则，
因为当时，，所以当时,，即；
当时,，即；
所以在上单调递增，在上单调递减；
又函数为奇函数，所以，因此，
故函数为偶函数，
所以，，，
因为在上单调递减，所以，
故.
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，根据条件构造出函数是解题的关键，属于常考题型.
25．若函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据函数的解析式可知，从而可得，构造函数，由函数的单调性得出函数的单调性，即可根据函数的对称性和单调性比较出各式的大小．
【详解】
因为，所以，即函数的图象关于直线对称．
设，，
当时，；
当时，，
所以当时，，故函数在上单调递增，即函数在上单调递增．
因为，，，
而函数的图象关于直线对称，所以，
即，因此，．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究其性质，利用单调性比较大小，涉及对数函数单调性的应用，分数指数幂与根式的互化，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于较难题．
26．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
令，，，求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论.
【详解】
令，，则，
故在递减，若，则，
故，即，故C正确，D不正确；
令，则，
令，可知在单调递增，
且，则存在，使得，
则当时，，即，在单调递减，
当时，，即，在单调递增，
所以在不单调，故A，B错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.
27．设是定义域为R的恒大于0的可导函数，且，则当时有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，再根据可得，为减函数，再根据单调性列出不等式判断即可.
【详解】
设，则，由得，因为所以， 又是定义域为R的恒大于0的可导函数，故.
故选：B
【点睛】
本题为构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数单调性比较大小或解不等式典型考题，属于中档题.
28．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
构造函数,再分析的单调性以及求解即可.
【详解】
由，则
构造函数,则,
故在上为增函数. 又
故即,即，解得.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.
29．已知，，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由，，，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．构造函数，求导确定函数的单调性，即可比较．
【详解】
，，，
，
∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．
设，则，
当时，，当时，，当时，
在上，单调递减，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】
本题考查了式的大小比较，构造函数，再通过求导确定函数的单调性，属于难题．
二、多选题
30．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】
对于A，取特值即可验证错误；
对于B，用作差法即可证明正确；
对于C，取特值即可验证错误；
对于D，构造函数即可证明正确.
【详解】
解：对于A，令，则，故A错误；
对于B，；故B正确；
对于C，令，则，故C错误；
对于D，，
，
构造函数，
，当时，，
所以在递减，
所以，即，故D正确.
故选：BD.
31．已知数列{an}满足：0＜a1＜1，．则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an}先增后减B．数列{an}为单调递增数列
C．an＜3D．
【答案】BCD
【分析】
利用相邻项关系构造函数，研究单调性，得an＜3，，再判断，利用单调性判断，即得结果.
【详解】
由得．
设函数，由，
可得f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，4）上单调递减．
由f（x）＜f（3）＝3可得an＜3．所以，即，故数列{an}为单调递增数列．
又0＜a1＜1，所以，
，
，
所以，
故选：BCD．
【点睛】
判定数列单调性的方法：
（1）定义法：对任意，，则是递增数列，，则是递减数列；
（2）借助函数单调性：利用，研究函数单调性，得到数列单调性.
32．定义在上的函数的导函数为，且对恒成立.下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，，则
C．
D．若，，则
【答案】CD
【分析】
构造函数，然后求导，可得到函数的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误.
【详解】
构造函数，则
因为对恒成立，
所以在上恒成立，即在上递减，
所以，即，整理得：，故A错；
所以，即，整理得：，故C正确；
对于B选项，若，，则在恒成立，
所以整理得：，所以B错；
对于D选项，当时，，则可得，故D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查利用构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否成立的问题，难度一般.
33．已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当时，
【答案】AD
【分析】
设，函数单调递增，可判断A；设，则不是恒大于零，可判断B；，不是恒小于零，可判断C；当时，，故，函数单调递增，故，
即，由此可判断D.得选项.
【详解】
设，函数单调递增，所以，所以，即有，故A正确；
设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故 B错误；
，不是恒小于零，所以不恒成立，故C错误；
当时，，故，函数单调递增，
故，
即，又，所以，
所以，所以有，故 D正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查利用导函数研究函数的单调性，判断不等式是否成立，属于较难题.
34．函数在定义域R内可导，若，且，若，则a，b，c的大小关系正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】
确定函数关于对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.
【详解】
由得，则函数关于对称，
当时，由得，函数单调递减；
当时，由得，函数单调递增.
又，，，故.
故选：AC.
【点睛】
本题考查导数的方法判定函数单调性，利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力，属于常考题型.
35．已知函且，，，则（ ）
A．为偶函数B．在单调递增
C．D．
【答案】ABC
【分析】
对于利用函数奇偶性的定义即可判断；对于先去绝对值再求导即可判断单调性，对于和，先构造函数，即可根据该函数的单调性比较的大小关系，再利用的单调性即可判断.
【详解】
对于：因为，所以函数为偶函数，故选项正确；
对于：当时，，，此时单调递增；故选项正确；
对于和：令，则，则在单调递增，在单调递减，因为，所以，由函数的单调性有：
.即，故选项正确，选项不正确
故选：
【点睛】
本题主要考查了判断函数的奇偶性和单调性，以及利用单调性比较函数值的大小关系，属于中档题.
36．已知函数，若 ，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．当时，
【答案】AD
【分析】
根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系逐项进行判断即可．
【详解】
令，在(0，+∞)上是增函数，∴当时，，
∴ 即；故A正确；
令，，
时，，单调递增， 时，，单调递减．
与无法比较大小；故B错误；
因为令，，
时，，在单调递减，时，，在单调递增，
当时，，
， ，．
当时，，，
，；故C错误；
因为时，单调递增，又因为A正确，

故D正确；
故选：AD．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，通过构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性，是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
37．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
先设，，，对函数求导，根据题中条件，分别判断设和的单调性，进而可得出结果.
【详解】
设，，，
则，.
因为对恒成立，
所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，，
即，即.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.
38．对于定义城为R的函数，若满足：①；②当，且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】
运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论．
【详解】
解：经验证，，，，都满足条件①；
，或；
当且时，等价于，
即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
A中，，，则当时，由，得，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；
B中，，，当时，，，当时，，，则当时，都有，符合条件②，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
由的单调性知，当时，，
∴，
令，，，
当且仅当即时，“”成立，
∴在，上是减函数，∴，即，符合条件③，
故是“偏对称函数”；
C中，由函数，当时，，当时，，符合条件②，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
有单调性知，当时，，
设，，则，
在上是减函数，可得，
∴，
即，符合条件③，故是“偏对称函数”；
D中，，则，则是偶函数，
而 （），则根据三角函数的性质可知，当时，的符号有正有负，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；
故选：BC．
【点睛】
本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．
39．下列不等式正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】
先构造函数，则，根据导数的方法判定其单调性，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】
构造函数，则，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
所以当时，取得最大值.
A选项，，
由可得，故A正确；
B选项，，由，
可得，故B错误；
由可推导出，
即，即，则，显然成立，故C正确；
D选项，，
由的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查由函数单调性比较大小，考查导数的方法判定函数单调性，属于常考题型.
三、填空题
40．设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为_______.
【答案】
【分析】
首先设，利用导数求出的单调性，再将不等式转化为，即可得到答案。
【详解】
设，
，
因为，所以，
即在上为增函数，且。
所以不等式，
解得。
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题，根据题意构造函数为解题的关键，考查了学生分析问题的能力。
41．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为_____
【答案】
【分析】
令，则，可以判断出在上单调递增，再由，，根据单调性即可比较大小.
【详解】
令，则，
因为对于恒成立，
所以，
所以在上单调递增，
，
，
，
因为，所以，所以，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用导数判断出在上单调递增，更关键的一点要能够得出，，，根据单调性即可比较大小.
42．已知函数，下列结论中，
①函数的图象关于原点对称；
②当时，；
③若，则；
④若对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.
所有正确结论的序号为______.
【答案】①②④
【分析】
首先对函数的奇偶性进行判断得出①正确；利用导数研究函数的单调性，求得函数的值域，判断②正确；利用导数研究函数的单调性，进行变形得到③是错误的，数形结合思想可以判断④是正确的.
【详解】
因为，
所以，
所以为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以①正确；
因为，
因为，所以，
所以在上单调递减，
所以，所以，所以②正确；
令，，
由②可知，在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，
若，所以，
即，所以③错误；
若对于恒成立，相当于在上落在直线的上方，落在直线的下方，
结合图形，可知的最大值为连接的直线的斜率，即，
的最小值为曲线在处的切线的斜率，即，
所以④正确；
故正确答案为：①②④.
【点睛】
方法点睛：该题属于选择性填空题，解决此类问题的方法：
（1）利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性；
（2）利用导数研究函数的单调性，从而求得其值域；
（3）转化不等式，构造新函数，求导解决问题；
（4）数形结合，找出范围.
43．已知函数满足，的导数，则不等式的解集为____.
【答案】或
【分析】
构造，由题意可知函数在R上递减，再根据可得，，然后利用单调性的定义求解.
【详解】
设，∴，
∵，∴，
即函数在R上递减.
∵，∴，
∴，而函数在R上递减，
∴，解得或，
所以不等式的解集为或，
故答案为：或，
【点睛】
本题主要考查了导数的运算以及利用导数研究函数单调性，解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
44．已知函数定义在上的函数，若，当时，，则不等式的解集为__________
【答案】
【分析】
令，根据题中条件，得到为偶函数；对其求导，根据题中条件，判定在上单调递减；则在上单调递增；化所求不等式为，求解，即可得出结果.
【详解】
令，则，
因为，所以，即，
所以函数为偶函数；
又，
当时，，
所以，即函数在上单调递减；
则在上单调递增；
又不等式可化为，即，
所以只需，则，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，考查导数的方法判定函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.
45．已知实数，且满足，则，，的大小关系是______．
【答案】
【分析】
将不等式化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得，进而得出答案.
【详解】
由，得．
设，则，
当时，，
在区间上单调递增，
故，即
所以．
故答案为：
【点睛】
本题考查了构造函数比较大小，考查了利用导数判断函数的单调性，属于中档题.
46．已知定义在上的函数的导函数满足，则不等式的解集是____.
【答案】
【分析】
已知式变形为，即，由此可得，由求得，从而得，然后和导数确定的单调性后可得不等式的解集．
【详解】
设，则，∴，
，，即，
∴，
令，
则，
∴在上是减函数，，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用导数解不等式，解题方法是用导数研究函数的单调性，解题关键是利用导数的知识求得函数的表达式，从而研究具体函数的单调性得出不等式的解集．
47．已知函数的定义域为，其导函数为，对任意，恒成立，且，则不等式的解集为________.
【答案】
【分析】
构造函数，由变形得，即，再根据的单调性即可求解.
【详解】
令，，所以单调递增，不等式，等价于，因为，所以等价于，则，又，故的解集为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查根据函数的单调性解不等式，解题的关键是会构造函数，考查学生的灵活应变能力.
48．已知函数与的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为______________.
【答案】
【分析】
设切点为，根据已知得，求出，得，构造函数，求出的范围即可.
【详解】
设切点为，
则，整理得，
由，解得.
由上可知，令，则.
因为，所以在上单调递减，
所以，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、利用导数求参数的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
四、解答题
49．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（3）比较与的大小，并加以证明.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析.
【分析】
（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）将问题转化为方程在区间有唯一解，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用零点存在性定理即可证明.
（3）由题意证明当时，，构造函数设，利用导数判断函数的单调递增，即可证明.
【详解】
（1）函数的定义域是，
导函数为.
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由已知.
所以只需证明方程在区间有唯一解.
即方程在区间有唯一解.
设函数，
则.
当时，，故在区间单调递增.
又，，
所以存在唯一的，使得.
综上，存在唯一的，
使得曲线在点处的切线的斜率为.
（3）.证明如下：
首先证明：当时，.
设，
则.
当时，，，
所以，故在单调递增，
所以时，有，
即当时，有.
所以.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、利用导数研究方程的根、构造函数判断函数的单调性比较函数值的大小，考查了转化与划归的思想，属于中档题.
50．已知
当（其中是自然对数的底数），求的单调区间；
若既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.
【答案】当时， 单调递增；当时，单调递减；当时， 单调递增；.
【分析】
利用导数判断函数的单调区间；
求出，设，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的取值范围.
【详解】
解：当时，，
记，
因为和都是在上的增函数，
所以在上是增函数.
且，
在上有唯一零点.
故当时， ，单调递增；
当时， ，单调递减；
当时， ，单调递增.
由
可知，
由，得，
记，则，
由，可得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以.
又因为当趋于时，趋于；当趋于时，趋于，
所以，这是必要条件.
检验：当时，既无极大值，也无极小值，舍去；
当时，满足题意；当时，只有一个极值点，舍去；
当时，则，则.
综上所述，符合题意的实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题.