高中数学高考专题24 立体几何中综合问题（原卷版）

这是一份高中数学高考专题24 立体几何中综合问题（原卷版），共4页。试卷主要包含了考查点到面的距离，棱锥与球的切接问题，棱柱与球的切接问题，研究几何体的截面问题等内容，欢迎下载使用。
【解决之道】解决此类问题有两种方法，①过该点作已知平面的垂线，该点到垂足的线段长即为点到面的距离，再利用解三角形解出；②利用等体积转化求点到面的距离.
【三年高考】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．
2.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
命题规律二 棱锥（圆锥）与球的切接问题
【解决之道】（1）三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.
（2）一条侧棱垂直于底面的棱锥的外接球问题，可以将其补成以棱锥的底面为底面、垂直与底面的侧棱为高的直棱柱，则补成直棱柱的外接球即为该三棱锥的外接球.
（3）正棱锥（圆锥）的外接球问题，已知正棱锥的底面的外接圆半径为、高为，外接球的半径为，则.
（4）已知三棱锥中某两个面所成二面角为的外接球问题，关键是作出球心，即分别过两个半平面的截面圆的圆心作截面圆的垂线，垂线的交点即为球心，再利用球的截面性质，即可求出求的半径.
(5)对两个直角三角形共斜边的三棱锥的外接球问题，则直角三角形的斜边为球的直径.
(6)对对棱相等的三棱锥的外接球问题，将其看成在长方体中面的对角线，则长方体的外接球即该三棱锥的外接球.
（7）求一个棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出．也可以先找准切点，通过作截面来解决，作截面时主要抓住棱锥过球心的对角面来作．
【三年高考】
1.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
2.【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆．若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3.【2020年高考全国Ⅱ卷文数11理数10】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为 （ ）
A．B．C．D．
4.【2020年高考全国Ⅲ卷文数16】已知圆维的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
命题规律三 棱（圆）柱与球的切接问题
【解决之道】（1）长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即eq \r(a2＋b2＋c2)＝2R.
（2）直棱柱(圆柱）的外接球：已知直棱柱的底面半径为，高为，则其外接球半径为
【三年高考】
1.【2020年高考天津卷5】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
命题规律四 以解答题形式考查异面直线所成角或线面角
【解决之道】对异面直线所成角问题，常用平移法，即通过作中位线或平行四边形，找到或作出一个角的两边分别与两条异面直线分别平行，则该角就是异面直线所成角或补角，再通过解三角形求解；对线面角，找出或作出过斜线与面垂直的直线，找出斜线在平面内的射影，则斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为线面角，再通过解三角形求解.
【三年高考】
1.【2018年高考全国I卷文数】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）
A．8 B．
C． D．
2.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．
C．D．
3.【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.
（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线AD与平面所成角的正弦值.
4.【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（3）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
5.【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
命题规律五 研究几何体的截面问题
【解决之道】解决此类问题的关键为作出截面，作截面的关键在作截线，方法如下：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的的一个面的截线;②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面内找出第2个确定的点；③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点；④两个平行平面的一个平面与截面有绞线，另一个平面上只有一个已知点，则按面面平行得截面与平面的交线；⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面化为棱上的点的问题；⑥若已知点在体内，可通过作辅助平面化为面上的点的，再化为棱上的点的问题来解决.
【三年高考】
1.【2020年高考山东卷16】已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．命题规律
内 容
典 型
１
考查点到面的距离
2019年高考全国Ⅰ卷文数
２
棱锥（圆锥）与球的切接问题
2018年高考全国Ⅲ卷文数
３
棱柱（圆柱）与球的切接问题
2020年高考天津卷5
４
以解答题形式考查异面直线角或线面角
2019年高考天津卷文数
５
研究几何体的截面问题
2020年高考山东卷16