高中数学高考专题25 直线与圆（解析版）

这是一份高中数学高考专题25 直线与圆（解析版），共42页。试卷主要包含了点到直线距离的最大值为，且过原点的圆的方程是等内容，欢迎下载使用。

大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点86 直线方程与圆的方程
1．（2020全国Ⅲ文6）在平面内，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【思路导引】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可．
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，结合题意可得：，
整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆．故选：A．
2．（2020全国Ⅲ文8）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A． 1B． C． D． 2
【答案】B
【解析】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为．
3．（2015北京文）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为．
4．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），
则，解得，则圆的方程为．
5．【2017·天津文】设抛物线的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若，则圆的方程为___________．
【答案】
【解析】由题可设圆心坐标为，则，焦点，，，解得，由于圆与轴得正半轴相切，则，所求圆的圆心为，半径为1，所求圆的方程为．
6．【2016·浙江文数】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．
【答案】；5．
【解析】由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为，不表示圆．
7．【2016·天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线
的距离为，则圆C的方程为__________．
【答案】
【解析】设，则，故圆C的方程为
8．（2011辽宁文）已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为 ．
【答案】【解析】以题意设圆的方程为，把所给的两点坐标代入方程得，解得，所以圆C：．
考点87 两直线的位置关系
9．【2016·上海文科】已知平行直线，则的距离_______________．
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得
10．（2011浙江文）若直线与直线互相垂直，则实数= ．
【答案】1【解析】当时，两直线不垂直，故．因为直线与直线的斜率分别为和，由，故．
考点88 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
11．（2020·新课标Ⅰ文）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A． 1B． 2
C． 3D． 4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为．
12．（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离．
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，∴圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为，
∴圆心到直线的距离为．故选B．
13．（2020全国Ⅰ理11】已知⊙，直线，为上的动点，过点作⊙的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，∴直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
∴，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
∴以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程，故选D．
14．（2020·北京卷）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A． 4B． 5C． 6D． 7
【答案】A
【解析】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选A．
15．（2019北京文8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为
（A）4β+4csβ（B）4β+4sinβ（C）2β+2csβ（D）2β+2sinβ
【答案】B
【解析】由题意和题图可知，当为优弧的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为，，．
此时阴影部分面积．故选B．
16．【2018·全国Ⅲ文】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，，则．
点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离．
故点P到直线的距离的范围为，则．
故答案为A．
17． 【2018高考全国2理2】已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】A
【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数．
试题解析：，又．当时，；
当时，；当时，；所以共有9个，选A．
【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．
18．【2018高考全国3理6】直线分别与轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线分别与轴，轴交于两点，，则．
点在圆上，圆心为，则圆心到直线距离，故点到直线的距离的范围为，则，故选A．
19． 【2018高考北京理7】在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】试题分析：为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为．
试题解析：为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C．
【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
20．（2017新课标Ⅲ理）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为
A．3 B． C． D．2
【答案】A【解析】如图建立直角坐标系，
则，，，，由等面积法可得圆的半径为，
所以圆的方程为，
所以，，，
由，得，所以=，
设，即，
点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，
所以，解得，所以的最大值为3，
即的最大值为3，选A．
21．【2016·山东文数】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（ ）
（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离
【答案】B
【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以 ，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．
22．【2016·北京文数】圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【答案】C
【解析】圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C．
23．【2016·新课标2文数】圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（ ）
（A）− （B）− （C） （D）2
【答案】A
【解析】由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A．
24．（2015安徽文）直线与圆相切，则的值是
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
【答案】D
【解析】圆的标准方程为，圆心到直线的距离，所以或．
25．（2015新课标2文）已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意可得，，∴为等边三角形，故的外接圆圆心时的中心，又等边的高为，故中心为，故外接圆的圆心到原点的距离为．
26．（2015山东理）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为
，即，则，
，解得或．
27．（2015广东理）平行于直线且与圆相切的直线的方程是
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A 【解析】 设所求直线的方程为，则，所以，故所求直线的方程为或．
28．（2015新课标2理）过三点，，的圆交于轴于、两点，则=
A．2 B．8 C．4 D．10
【答案】C【解析】设过三点的圆的方程为，
则，解得，
所求圆的方程为，令，得，
设，，则，，
所以．
29．（2015重庆理）已知直线l：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则＝
A．2 B． C．6 D．
【答案】C【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，
因此，，即，
．选C．
30．（2014新课标2文理）设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A【解析】当点的坐标为时，圆上存在点，使得，所以符合题意，排除B、D；当点的坐标为时，，过点作圆的一条切线，连接，则在中，，则，故此时在圆上不存在点，使得，即不符合题意，排除C，故选A．
31．（2014福建文）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是
A． B． C． D．
【答案】D【解析】直线过点，斜率为，所以直线的方程为．
32．（2014北京文）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为圆的圆心为，半径为1，，所以以原点为圆心、以为半径与圆有公共点的最大圆的半径为6，所以的最大值为6，故选B．
33．（2014湖南文）若圆与圆外切，则
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意得，，，所以．
34．（2014安徽文）过点P的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，由题意可知．
35．（2014浙江文）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
【答案】B【解析】圆的标准方程为，则圆心，半径满足，则圆心到直线的距离，所以，故．
36．（2014四川文）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】易知直线过定点，直线过定点，且两条直线相互垂直，故点在以为直径的圆上运动，故．故选B．
37．（2014江西文）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题意可知以线段为直径的圆C过原点，要使圆的面积最小，只需圆的半径或直径最小．又圆与直线相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线的距离，此时，得，圆的面积的最小值为．
38．（2014福建理）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是
A． B． C． D．
【答案】D【解析】直线过点，斜率为，所以直线的方程为．
39．（2014北京理）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为圆的圆心为，半径为1，，所以以原点为圆心、以为半径与圆有公共点的最大圆的半径为6，所以的最大值为6，故选B．
40．（2014湖南理）若圆与圆外切，则
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意得，，
，所以．
41．（2014安徽理）过点P的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，由题意可知．
42．（2014浙江理）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
【答案】B【解析】圆的标准方程为，则圆心，半径满足，则圆心到直线的距离，
所以，故．
43．（2014四川理）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】易知直线过定点，直线过定点，且两条直线相互垂直，故点在以为直径的圆上运动，
故
．故选B．
44．（2014江西理）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题意可知以线段为直径的圆C过原点，要使圆的面积最小，只需圆的半径或直径最小．又圆与直线相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点到直线的距离，此时，得，圆的面积的最小值为．
45．（2013山东文）过点（3，1）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】根据平面几何知识，直线AB一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率一定是–2，只有选项A中直线的斜率为–2．
46．（2013重庆文）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．
又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，
所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝，故选A．
47．（2013安徽文）直线被圆截得的弦长为
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为．
48．（2013新课标2文）已知点；；，直线将△分割为面积相等的两部分，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】（1）当过与的中点时，符合要求，此，
（2）当位于②位置时，，
令得，∵，∴
(3) 当位于③位置时，，
令，即，化简得，∵，
∴，解得．
综上：，故选B．
49．（2013陕西文）已知点M(a，b)在圆外， 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B【解析】点M(a， b)在圆
=圆的半径，故直线与圆相交，故选B．
50．（2013天津文）已知过点P(2，2) 的直线与圆相切， 且与直线垂直， 则
A． B．1 C．2 D．
【答案】C【解析】设直线斜率为，则直线方程为，即，圆心到直线的距离，即，解得．因为直线与直线垂直，所以， 即，选C．
51．（2013广东文）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】∵圆心到直线的距离等于，排除B、C；相切于第一象限排除D，选A．直接法可设所求的直线方程为：，再利用圆心到直线的距离等于，求得．
52．（2013新课标2文）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，则因为|AF|=3|BF|，所以，所以，
因为=3，=9，所以=3，=，当=3时，，
所以此时，若，则，
此时，此时直线方程为．若，
则，此时，此时直线方程为．
所以的方程是或，选C．
53．（2013山东理）过点(3，1)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】根据平面几何知识，直线一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线的斜率一定是，只有选项A中直线的斜率为．
54．（2013重庆理）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．
又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，
所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝，
故选A．
55．（2013安徽理）直线被圆截得的弦长为
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为．
56．（2013新课标2理）已知点；；，直线将△分割为面积相等的两部分，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】（1）当过与的中点时，符合要求，此，
（2）当位于②位置时，，
令得，∵，∴．
(3) 当位于③位置时，，
令，即，
化简得，∵，∴，解得
综上：，故选B．
57．（2013陕西理）已知点在圆外， 则直线与圆O的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B【解析】点M(a， b)在圆外，∴．圆到直线距离=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B．
58．（2013天津理）已知过点P(2，2) 的直线与圆相切， 且与直线垂直， 则
A． B．1 C．2 D．
【答案】C【解析】设直线斜率为，则直线方程为，即，圆心到直线的距离，即，解得．因为直线与直线垂直，所以， 即，选C．
59．（2013广东理）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】∵圆心到直线的距离等于，排除B、C；相切于第一象限排除D，选A．直接法可设所求的直线方程为：，再利用圆心到直线的距离等于，求得．
60．（2013新课标2理）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，
，则因为|AF|=3|BF|，所以，所以，
因为=3，=9，所以=3，=，当=3时，，
所以此时，若，则，
此时，此时直线方程为．若，
则，此时，此时直线方程为．
所以的方程是或，选C．
61．（2012浙江文）设，则“”是“直线：与直线：平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件．
62．（2012天津文）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，所以，
设，则，解得．
63．（2012湖北文）过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可．又已知点，则，故所求直线的斜率为–1．又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即．故选A．
64．（2012天津文）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( )

【答案】B【解析】圆的圆心到直线的距离，弦的长．
65．（2012浙江理）设，则“”是“直线：与直线：平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件．
66．（2012天津理）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，所以，
设，则，解得．
67．（2012湖北理）过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可．又已知点，则，故所求直线的斜率为1．又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为
，即．故选A．
68．（2012天津理）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于
A． B． C． D．
【答案】B【解析】圆的圆心到直线的距离
弦的长．
69．（2011北京文）已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A【解析】设点，直线的方程是，，由于的面积为2，则这个三角形中边上的高满足方程，即，
由点到直线的距离公式得，即，解得有4个实根，
故这样的点C有4个．
70．（2011江西文）若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．（，文） B．（，0）（0，）
C．[，] D．（，）（，+）
【答案】B【解析】，表示两条直线即轴和直线：，显然轴与有两个交点，由题意与相交，所以的圆心到的距离
，解得，又当时，直线与轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B．
71．（2011北京理）已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A【解析】设点，直线的方程是，，由于的面积为2，则这个三角形中边上的高满足方程，即，
由点到直线的距离公式得，即，解得有4个实根，
故这样的点C有4个．
72．（2011江西理）若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．(，) B．(，0)(0，)
C．[，] D．(，) (，+)
【答案】B【解析】，表示两条直线即轴和直线：，
显然 轴与有两个交点，由题意与相交，所以的圆心到的距离
，解得，又当时，
直线与轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B．
73．【2020年高考天津卷12】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，由可得
，解得．
74．【2020年高考浙江卷15】设直线，圆，，若直线与，都相切，则 ； ．
【答案】；
【解析】由题意可知直线是圆和圆的公切线，∵，为如图所示的切线，
由对称性可知直线必过点，即 ①
并且，②
由①②解得：，，故答案为：；．
75．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是________．
【答案】
【解析】如图，作所在直径，交于点，则：
∵，，∴，为垂径．
要使面积最大，则位于两侧，并设，
计算可知，故，，
故，令，
，，
记函数，
则，
令，解得（舍去）
显然，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
结合在递减，故时最大，此时，故，即面积的最大值是．
（注：实际上可设，利用直角可更快速计算得出该面积表达式）
76．【2019·浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
【答案】，
【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时．
77．【2018·全国I文】直线与圆交于两点，则________．
【答案】
【解析】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，
根据点到直线的距离公式可以求得，
结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为．
78．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设，则由圆心为中点得
易得，与联立解得点的横坐标所以．
所以，由得
或，因为，所以
79．【2018高考上海12】已知实数满足：，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】试题分析：由已知可得点在单位圆上．又由，容易想到向量的数量积，从而得的大小．而容易想到点到直线的距离，因此问题转化为圆上两点到直线距离和的最大值问题，再三角换元，进而应用三角函数来求最大值．
试题解析：由已知可得两点在单位圆上．
．
设，则
．
已知点在直线的下方时，取最大值，
当且仅当即时，取最大值．
综上，的最大值为．
80．（2017江苏理）在平面直角坐标系中，，，点在圆：上，若，则点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】【解析】设，由，得，
如图由可知，在上，由，解得，，
所以点横坐标的取值范围为．
81．【2016·四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A．
单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
【答案】 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③
【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，令单位圆上点的坐标为，则其伴随点为，仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线关于轴对称，则与曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线与关于轴对称，所以③正确；对于④，取直线上一点P（x，y），则其伴随点，消参后轨迹是圆，故④错误．所以真命题为②③．
82．[2016·新课标Ⅲ文数]已知直线：与圆交于两点，过分别
作的垂线与轴交于两点，则_____________．
【答案】4
【解析】由，得，代入圆的方程，并整理，得，解得
，所以，所以．又直线的倾斜角
为，由平面几何知识知在梯形中，．
83． 【2016·新课标1文数】设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若AB=23，则圆C的面积为 ．
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，由圆心C到直线的距离为，所以得，则所以圆的面积为．
84．（2015重庆文）若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为________．
【答案】【解析】由点在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：
，所以该圆在点处的切线方程为即．
85．（2015湖南文）若直线与圆相交于两点，且（O为坐标原点），则=_____．
【答案】2 【解析】如图直线与圆 交于两点，O为坐标原点，且，则圆心到直线的距离为，，∴．
86．（2015湖北文）如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．
（1）圆的标准方程为 ．
（2）圆在点处的切线在轴上的截距为 ．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半径．又因为，所以，即，所以圆的标准方程为．
（Ⅱ）令得：．设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：，解之得．即圆在点处的切线方程为，于是令可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为，故应填和．
87．（2015湖北理）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且．
（Ⅰ）圆的标准方程为 ；
（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：
①； ②； ③．
其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）由题意，设（为圆的半径），因为，
所以，所以圆心，
故圆的标准方程为．
（Ⅱ）由，解得或，
因为在的上方，所以，．
不妨令直线的方程为，，
所以，，，，
所以，，所以，所以，，正确结论的序号①②③．
88．（2015江苏文）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．
【答案】【解析】因为直线恒过点，所以当点为切点时，半径最大，此时半径，故所求圆的标准方程为．
89．（2014江苏文）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 ．
【答案】【解析】圆心到直线的距离．
直线被圆截得的弦长为．
90．（2014江苏理）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 ．
【答案】【解析】圆心到直线的距离．
直线被圆截得的弦长为．
91．（2014重庆文理）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________．
【答案】【解析】由题意知圆心到直线的距离等于，
即，解得．
92．（2014湖北文理）直线：和：将单位圆分成长度相等的四段弧，则________．
【答案】2【解析】由题意得，直线截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线的距离为，即，得，同理可得，则．
93．（2014山东文理）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 ．
【答案】【解析】设圆心为，则圆的半径为，圆心到轴的距离为，所以，解得，所以圆的标准方程为．
94．（2014陕西文理）若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为____．
【答案】【解析】因为点关于直线对称的点的坐标为，所以所求圆的圆心为，半径为1，于是圆C的标准方程为．
95．（2014重庆文理）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．
【答案】0或6【解析】圆的标准方程为，所以圆心为，
半径为3．因为，所以圆心到曲线的距离为，
即，所以或6．
96．（2014湖北文理）已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
【答案】【解析】设，则，
，
∵为常数，∴，解得或（舍去），∴．
解得或（舍去）．
97．（2013浙江文理）直线被圆所截得的弦长等于______．
【答案】【解析】已知圆心为，半径为5，圆心到直线的距离为
，所以弦长．
98．（2013湖北文理）已知圆：，直线：（）．设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 ．
【答案】4【解析】由题意圆心到该直线的距离为1，而圆半径为＞2，故圆上有4个点到该直线的距离为1．
99．（2012北京文理）直线被圆截得的弦长为 ．
【答案】【解析】圆心(0，2)到直线y=x的距离为d=，圆的半径为2，所以所求弦长为2．
100．（2011浙江理）若直线与直线互相垂直，则实数=__．
【答案】1【解析】当时，两直线不垂直，故．因为直线与直线的斜率分别为和，由，故．
101．（2011辽宁理）已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为__．
【答案】【解析】以题意设圆的方程为，把所给的两点坐标代入方程得，解得，所以圆C：．
102．【2019年高考全国Ⅰ文】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．
【答案】（1）的半径或；（2）存在，理由见解析．
【解析】（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设．
因为与直线x+2=0相切，所以的半径为．
由已知得，又，故可得，解得或．
故的半径或．
（2）存在定点，使得为定值．
理由如下：
设，由已知得的半径为．
由于，故可得，化简得M的轨迹方程为．
因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以．
因为，所以存在满足条件的定点P．
103．（2017新课标Ⅲ文）在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为．当变化时，解答下列问题：
(1)能否出现的情况？说明理由；
(2)证明过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值．
【解析】（1）不能出现的情况，理由如下：
设，，则，满足，所以．
又的坐标为，故的斜率与的斜率之积为，
所以不能出现的情况．
（2）的中点坐标为，可得的中垂线方程为．
由（1）可得，所以的中垂线方程为．
联立， QUOTE x=-m2，y-12=x2x-x22， 又，可得， QUOTE x=-m2，y=-12，
所以过、、三点的圆的圆心坐标为，半径．
故圆在轴上截得的弦长为，即过、、三点的圆在轴上的截得的弦长为定值．
104．（2016江苏文）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点．
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得求实数的取值范围．
【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5，
（1）由圆心N在直线上，可设．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得．
因此，圆N的标准方程为．
(2)因为直线OA，所以直线的斜率为．
设直线的方程为，即，
则圆心M到直线的距离
因为
而 所以，解得或．
故直线的方程为或．
(3)设
因为，所以 ……①
因为点Q在圆M上，所以 ……．②
将①代入②，得．
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
所以 解得．
因此，实数t的取值范围是．
105．（2015新课标1文）已知过点且斜率为的直线与圆C：交于两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）若，其中为坐标原点，求．
【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l的方程为．
因为l与C交于两点，所以．
解得．所以的取值范围是．
（Ⅱ）设．
将代入方程，整理得，
所以，．
，
由题设可得，解得，所以l的方程为．
故圆心在直线l上，所以．
106．（2014江苏）如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m． 经测量，点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．
（I）求新桥BC的长；
（II）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
【解析】（I）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．
由条件知A(0， 60)，C(170， 0)，
直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－．
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率k AB=．
设点B的坐标为(a，b)，
则k BC=
k AB=
解得a=80，b=120．
所以BC=．
因此新桥BC的长是150 m．
（II）设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m，(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为，即
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即．
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以即解得
故当d=10时，最大，即圆面积最大．
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大．
解法二: （I）如图，延长OA， CB交于点F．
因为tan∠BCO=．所以sin∠FCO=，cs∠FCO=．
因为OA=60，OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=．
CF=，从而．
因为OA⊥OC，所以cs∠AFB=sin∠FCO==，
又因为AB⊥BC，所以BF=AF cs∠AFB==，从而BC=CF－BF=150．
因此新桥BC的长是150 m．
（II）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半
径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60)．
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cs∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO =所以．
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以即解得
故当d=10时，最大，即圆面积最大．
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大．
107．（2013江苏文）如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆 的半径为1，圆心在上．
（I）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（II）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
【解析】（I）由题设点，又也在直线上，
，由题，过A点切线方程可设为，
即，则，解得：，
∴所求切线为或
（II）设点，，，，，
，即，又点在圆上，
，两式相减得，由题以上两式有公共点，
，整理得：，即，令，则，解得：，，解得：．
108．（2013新课标2文理）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为．
（I）求圆心的轨迹方程；
（II）若点到直线的距离为，求圆的方程．
【解析】（I）设，圆的半径为．
由题设，从而，故点的轨迹方程为．
（II）设，由已知得．
又点在双曲线上，从而得，由得此时，圆的半径，故圆的方程为或．
109．（2011新课标文理）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．
（I）求圆C的方程；
（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求的值．
【解析】（I）曲线与y轴的交点为（0，1），与轴的交点为（
故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1．
则圆C的半径为所以圆C的方程为
（II）设A()，B()，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程
由已知可得，判别式
因此，从而①
由于OA⊥OB，可得
又所以②
由①，②得，满足故年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
文20
直线与圆
圆的方程的求法，直线与圆的位置关系
2013
卷2
文20
直线与圆
圆方程的求法，直线与圆的位置关系
2014
卷2
文20
直线与圆
圆方程的求法，圆的几何性质，直线与圆的位置关系
2015
卷1[来源:学*科*网]
理14
圆与椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法
文20
直线与圆
直线与圆的位置关系
卷2
理7
直线与圆
三角形外接圆的求法，圆的弦长的计算公式
文7
点与圆
三角形外接圆的求法，两点间距离公式
2016
卷1
文15
直线与圆
直线与圆的位置关系
卷2
理4文6
直线与圆
圆的方程、点到直线的距离公式
卷3
文15
直线与圆
直线与圆的位置关系
2017
卷3
理20
直线、圆、抛物线
直线与抛物线的位置关系；圆的方程的求法
文20
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的几何性质，圆的定值问题的解法
2018
卷1
文15
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的弦长计算
卷3
理6文8
直线与圆
直线与圆位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式
2019
卷3
理21
直线与圆，直线与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题
文21
直线与圆，直线与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题
2020
卷1
理11
直线与圆
直线与圆位置关系，圆与圆的位置关系，圆的几何性质
文6
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的弦的最值问题
卷2
理5文8
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，点到直线距离公式
卷3
理10
直线与圆
直线与圆相切，直线与曲线相切，导数的几何意义
文8
直线与圆
点到动直线距离公式的最值问题
考点
出现频率
2021年预测
考点86直线方程与圆的方程
37次考8次
命题角度：
（1）圆的方程；（2）与圆有关的轨迹问题；（3）与圆有关的最值问题．
考点87两直线的位置关系
37次考1次
考点88直线与圆、圆与圆的位置关系
37次考35次