高中数学高考专题27 向量法求空间角(原卷版)
展开1.在正方体中,,,,分别为,,,的中点,则异面直线与所成角的大小是( )
A.B.C.D.
2.在长方体中,,,设交于点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
3.如图在棱长为2的正方体中,点是的中点,那么异面直线和所成的角的余弦值等于( )
A.B.C.D.
4.如图,已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点,记二面角的平面角为,直线与平面所成角为,直线与直线所成角为,则( )
A.B.C.D.
5.如图,在正四面体中,,记平面与平面、平面、平面,所成的锐二面角分别为、、,则( )
A.B.C.D.
6.如图,在长方体中,,,是的中点,则直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7.已知两条异面直线的方向向量分别是,1,,,2,,则这两条异面直线所成的角满足( )
A.B.C.D.
二、解答题
8.如图,四边形中,是等腰直角三角形,,是边长为2的正三角形,以为折痕,将向上折叠到的位置,使点在平面内的射影在上,再将向下折叠到的位置,使平面平面,形成几何体.
(1)点在上,若平面,求点的位置;
(2)求二面角的余弦值.
9.如图所示,在四棱锥中,,,,底面,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)在侧面内找一点,使平面;
(3)求直线与平面所成角的正弦.
10.如图所示,四棱锥中,侧面是边长为的正三角形且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
(1)求与底面所成角的大小;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
11.如图,三棱柱中,平面平面,和都是正三角形,是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
12.如图,在四棱锥中,底面中,,侧面平面,且,点在棱上,且.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值
13.如图,在底面为菱形的四棱锥中,,.
(1)证明:;
(2)若,点在线段上,且,求二面角的余弦值.
14.如图,在四棱锥中,底面,底面是边长为2的正方形,,,分别是,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)在上是否存在一点,使得与所成角为?若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由.
15.已知如图①,在菱形中,且,为的中点,将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥.
(1)求证:平面平面;
(2)若为的中点,求二面角的余弦值.
16.如图,E为矩形边的中点,沿将向上翻折至,使得二面角为60°,且,.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面夹角的正弦值.
17.如图,长方体中,,,若在上存在点,使得平面.
(1)求的长;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18.如图,三棱柱的侧面是边长为的正方形,面面,,,是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求点到平面的距离;
(3)在线段上是否存在一点,使二面角为,若存在,求的长;若不存在,说明理由.
19.如图,在直三棱柱中,,
(1)求证:;
(2)求直线和所成角的大小;
(3)求直线和平面所成角的大小.
20.如图,已知三棱锥中,平面,,M、E分别为、的中点,N为的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值.
21.如图,三棱柱中,底面是边长为的等边三角形,侧面为菱形,且平面平面,,为棱的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
22.在如图所示的几何体中,四边形为正方形,平面,,,.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在一点,使得二面角的大小为?如果存在,确定点的位置;如果不存在,说明理由.
23.在四棱锥中,四边形ABCD为正方形,平面平面ABCD,为等腰直角三角形,,AB=2.
(1)求证:平面平面PAC;
(2)设E为CD的中点,求二面角C-PB-E的余弦值.
24.已知长方体中,,,E为的中点.
(1)证明平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
25.如图,四边形为菱形,,四边形为矩形,平面平面,点在上,.
(1)证明:平面;
(2)若与平面所成角为60°,求二面角的余弦值.
26.如图,在边长为8的菱形中,,将沿折起,使点到达的位置,且二面角为60°.
(1)求证:;
(2)若点E为中点,求直线BE与平面所成角的正弦值.
27.如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)求平面与平面所成的锐二面角(是指不超过的角)的余弦值.
28.中,,,E,F分别是边,上的点,且,于H,,将沿折起,点A到达,此时满足面面.
(1)若,求直线与面所成角大小;
(2)若E,F分别为,中点,求锐二面角的余弦值;
(3)在(2)的条件下,求点B到面的距离.
29.如图,在梯形中,,,平面,四边形为矩形,点为线段的中点,且,.
(1)求证:平面平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
30.如图,四棱锥的底面为正方形,侧面底面.为等腰直角三角形,且.,分别为底边和侧棱的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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