高中数学高考专题28 离散性随机变量与期望（解析版）

这是一份高中数学高考专题28 离散性随机变量与期望（解析版），共12页。试卷主要包含了二项分布的应用，超几何分布的应用，随机变量分布列与数列的结合问题等内容，欢迎下载使用。
【解决之道】解决此类问题的关键在于，准确把题中随机变量的取值情况，准确对所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.
【三年高考】
1.【2020年高考山东卷12】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的值为，且，，定义的信息熵，则（ ）
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，则随着的增大而增大
D．若，随机变量所有可能的取值为，且，则
【答案】AC
【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确；对于B选项，若，则，，所以，
当时，，
当时，，两者相等，所以B选项错误．
对于C选项，若，则，
则随着的增大而增大，所以C选项正确；对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）．
．
．
由于，所以，所以，
所以，所以，所以D选项错误，故选：AC．
2.【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
【答案】D
【解析】方法1：由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
方法2：则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
3.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）
A．0.7B．0.6
C．0.4D．0.3
【答案】B
【解析】∵，∴或，，，可知，故．故选B．
4.【2018年高考浙江卷】设，随机变量ξ的分布列是
则当p在（0，1）内增大时，（ ）
A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小
【答案】D
【解析】∵E(ξ)=0×1-p2+1×12+2×p2=p+12，∴D(ξ)=1-p2(0-p-12)2+12(1-p-12)2+p2(2-p-12)2=-p2+p+14，∵12∈(0，1)，∴D(ξ)先增大后减小，故选D．
5.【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为．
（2）X的所有可能值为0，1，2．
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．
由题设知，事件C，D相互独立，且．
所以，
，
．
所以X的分布列为
故X的数学期望．
（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．
假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，
则由上个月的样本数据得．
答案示例1：可以认为有变化．
理由如下：
P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．
一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，
但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
6.【2018年高考北京卷理数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为．
（2）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（3）>>=>>．
命题规律二 二项分布的应用
【解决之道】解决此类问题的关键要熟记二项分布的概念、分布列公式及期望、方差公式，再利用这些知识解决实际问题.
【三年高考】
1.【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望．
（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，
则，且．
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由（1）知
．
2.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）；（2）（i），（ii）应该对余下的产品作检验．
【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为．
因此．
令，得，
当时，；当时，．
所以的最大值点为．
（2）由（1）知，．
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，
依题意知，，即．
所以．
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于，故应该对余下的产品作检验．
命题规律三 超几何分布的应用
【解决之道】解决此类问题关键是熟记超几何分布的意义及超几何分布的概率公式，会利用超几何分布计算相关事件的概率.
【三年高考】
1.【2018年高考天津卷理数】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
命题规律四 随机变量分布列与数列的结合问题
【解决之道】解决此类问题的关键在于，认真阅读题目，分析清楚随机变量分布列的取值情况及取各值时的概率及其相互关系，找到数列的递推公式，利用已有的数列知识求解.
【三年高考】
1.【2020年高考江苏卷25】甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
【解析】（1），，
．
（2），
，
因此，从而，
即，．
2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)，解释见解析．
【解析】X的所有可能取值为．
，
，
，
所以的分布列为
（2）（i）由（1）得．
因此，故，
即．
又因为，
所以为公比为4，首项为的等比数列．
（ii）由（i）可得
．
由于，故，
所以．
表示最终认为甲药更有效的概率，
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，
认为甲药更有效的概率为，
此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
命题规律五 随机变量分布列的期望与方差最值问题
【解决之道】解决此类问题的关键在于根据随机变量分布列的期望与方差公式，求出期望与方差，若期望与方差是常数，进行比较，即可判断大小，若期望是关于某个变量的式子，则利用求函数最值的方法求最值，注意定义域.
【三年高考】
1.．【2020年高考全国Ⅲ卷理数3】在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为，因此B选项这一组的标准差最大，故选B．
2.【2020年高考浙江卷16】一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则 ； ．
【答案】；
【解析】表示第一次拿到的是红球，设为事件A，或第一次是绿球，第二次是红球，设为事件B，则；
表示拿出红球时已经拿出了一个黄球，即第一次拿到黄球，第二次拿到红球，概率，或是前两次拿到的是一个黄球一个是绿球，，∴ ；
，表示拿到红球时已经拿出了两个黄球，即前两次黄球，第三次红球，，说是第四次拿到红球，，∴，
，故答案为：；．
命题规律
内 容
典 型
１
离散型随机变量分布列及其期望与方差
2020年高考山东卷12
２
二项分布的应用
2019年高考天津卷理数
３
超几何分布的应用
2018年高考天津卷理数
４
随机变量分布列与数列的结合问题
2019年高考全国Ⅰ卷理数
５
随机变量分布列的期望与方差的最值
2020年高考全国Ⅲ卷理数3
ξ
0
1
2
P
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P