高中数学高考专题29 圆锥曲线的综合问题（原卷版）

这是一份高中数学高考专题29 圆锥曲线的综合问题（原卷版），共30页。试卷主要包含了设为坐标原点，动点在椭圆，已知抛物线，已知椭圆的一个焦点为，离心率为等内容，欢迎下载使用。
大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点98 曲线与方程
1．（2020山东）已知曲线．（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
2．（2020天津）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．【2019北京理】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
4．（2020全国Ⅱ文19）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．
（1）求的离心率；
（2）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程．
5．（2020全国Ⅱ理19）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．
（1）求的离心率；
（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．
6．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点
，圆的直径为．
(1)求椭圆及圆的方程；
(2)设直线与圆相切于第一象限内的点．
①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；
②直线与椭圆交于两点．若的面积为，求直线的方程．
7．（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足 QUOTE NP=2NM ．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且 QUOTE OP⋅PQ=1 ．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．
8．（2016全国Ⅲ文理）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．
9．（2015江苏理）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程．
10．（2014广东理）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
11．（2014辽宁理）圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为．
（1）求的方程；
（2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于，两点，若以线段为直径的圆心过点，求的方程．
12．（2013四川理）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆C交于M，N两点，点Q是MN上的点，且
，求点Q的轨迹方程．
13．（2011天津理）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
考点99 定点与定值问题
14．【2020全国Ⅰ文21理20】已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为．
（1）求的方程；
（2）证明：直线过定点．
15．【2020山东】已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
16．【2019全国Ⅲ理】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
17．【2019北京理】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
18．【2019全国Ⅲ文】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
19．【2019北京文】已知椭圆的右焦点为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．
20．【2018北京文20】（本小题14分）
已知椭圆：的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的焦点
（= 1 \* ROMANI）求椭圆的方程；
（= 2 \* ROMANII）若，求的最大值；
（= 3 \* ROMANIII）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若和点共线，求．
21．【2018北京理19】（本小题14分）
已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交于轴与，直线交轴与．
（I）求直线的斜率的取值范围．
（II）设为原点，，求证：为定值．
22．（2017新课标Ⅰ理）已知椭圆：，四点，，
，中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
23．（2017新课标Ⅱ文理）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足 QUOTE NP=2NM ．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且 QUOTE OP⋅PQ=1 ．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．
24．（2017北京文）已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点．求证：与的面积之比为4：5．
25．（2016年全国I理）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
（I）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（ = 2 \* ROMAN II）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．
26．（2016年北京文）已知椭圆：过，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．
27．（2016年北京理）已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
求证：为定值．
28．（2016年山东文）已知椭圆C：的长轴长为4，焦距为22．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B．
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值；
(ii)求直线AB的斜率的最小值．
29．（2015新课标2文）已知椭圆：的离心率为，点
在 上．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．
30．（2015新课标2理）已知椭圆C：（），直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
31．（2015陕西文）如图，椭圆：（>>0）经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2．
32．（2014江西文理）如图，已知双曲线：()的右焦点，点分别在 的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）．
（1）求双曲线的方程；
（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．
33．（2013山东文理）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为l．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接．设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．
34．（2012湖南理）在直角坐标系中，曲线的点均在：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设（）为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点A，B和C，D．证明：当在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
考点100 最值与范围问题
35．【2020年江苏18】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点
在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标．
36．【2020浙江21】如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
37．【2019全国Ⅱ理】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值．
38．【2019浙江】如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记的面积分别为．
（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点G的坐标．
39．（2018浙江21）
如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上．
（I）设中点为，证明：垂直于轴；
（II）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．
40．（2017浙江文理）如图，已知抛物线．点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
41．（2017山东文）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)动直线：交椭圆于，两点，交轴于点．点是关于的对称点，的半径为．设为的中点，，与分别相切于点，，求的最小值．
42．（2017山东理）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线 的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．
43．(2016全国II理)已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
44．(2016天津理)设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知
，其中 为原点，为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
45．（2016浙江文）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于．
（I）求p的值；
（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围．
45．（2015重庆文）如图，椭圆（>>0）的左、右焦点分别为，，且过的直线交椭圆于两点，且．
（Ⅰ）若|，|，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|，且，试确定椭圆离心率的取值范围．

46．（2014新课标1文理） 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．
47．（2014浙江文理）如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．
（Ⅰ）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；
（Ⅱ）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．
48．（2015山东理）平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、．以 QUOTE F1 为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 QUOTE C 上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点．
（ i ）求 QUOTE |OQ||OP| 的值；
（ii）求△面积的最大值．
49．（2014山东文理）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
50．（2014山东理）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．
（Ｉ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点．
（ⅰ）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；
（ⅱ）求面积的最大值．
51．（2014四川文理）已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当最小时，求点T的坐标．
52．（2013广东文理）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．
53．（2011新课标文理）在平面直角坐标系中， 已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．
54．（2011广东文理）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．
考点101 探索型与存在性问题
55．【2018上海20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线．与轴交于点，与交于点分别是曲线与线段上的动点．
（1）用为表示点到点的距离；
（2）设，线段的中点在直线上，求的面积；
（3）设，是否存在以为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
56．（2016全国I文）在直角坐标系中，直线：交轴于点，交抛物线：于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点．
（I）求；
（II）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．
57．（2015新课标1理）在直角坐标系中，曲线：与直线交与，两点，
（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程；
（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
58．（2015北京理）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
59．（2015湖北理）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
60．（2015四川理）如图，椭圆：的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
61．（2015浙江理）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求面积的最大值（为坐标原点）．
62．（2014湖南文理）如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
（Ｉ）求的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论．
63．（2013安徽文理）已知椭圆的焦距为4，且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为．取点，连接，过点作的垂线交轴于点．点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
64．（2013湖北文理）如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分别为和．
（Ⅰ）当直线与轴重合时，若，求的值；
（Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．
65．（2012广东文理）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆： 相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由．
66．（2011山东文理）在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若∙，
（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由．
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2015
卷1
文5
椭圆、抛物线[来源:学§科§网Z§X§X§K]
椭圆标准方程及其几何性质，抛物线标准方程及其几何性质
理20
抛物线
直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法
卷2
理20
直线与椭圆
直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法
文20
直线与椭圆
椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法
2016
卷1
文5
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系
卷2
理20
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
2017
卷1
理20
直线与椭圆
椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
卷2
文理20
直线与椭圆
轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
2018
卷2
理12
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
文11
椭圆
椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆离心率的计算
卷3
文理20
直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系
文理20
直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系
2019
卷2
理8文9
椭圆与抛物线
抛物线与椭圆的几何性质
卷3
理21
直线与圆，直线与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题
文21
直线与圆，直线与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题
2020
卷1
理20文21
椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题
卷2
理19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
文19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
卷3
文6
圆锥曲线
圆锥曲线的轨迹问题
考点
出现频率
2021年预测
考点98曲线与方程
37次考1次
命题角度：（1）定点、定值问题；（2）最值、范围问题；（3）证明、探究性问题．
核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
考点99定点与定值问题
37次考6次
考点100最值与范围问题
37次考5次
考点101探索型与存在性问题
37次考3次