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高中数学高考专题30 排列组合、二项式定理【理】（原卷版）
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这是一份高中数学高考专题30 排列组合、二项式定理【理】（原卷版），共8页。
大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点102 两个计数原理的应用
1．(2016全国II理)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
2．（2014新课标理1理）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A． B． C． D．
3．（2012湖北理）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）位回文数有 个．
4．（2011湖北理）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
考点103 排列问题的求解
5．（2016四川理）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24 B．48 C．60 D．72
6．（2015四川理）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
7．（2015广东理）某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
8．（2014北京理）把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有_______种．
9．（2013北京理）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
10．（2013浙江理）将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）．
考点104 组合问题的求解
11．【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种D．种
12．(2018全国Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．B．C． D．
13．（2017山东理）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A． B． C． D．
14．（2014广东理）设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．130
15．（2014安徽理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
16．（2013山东理）用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A．243 B．252 C．261 D．279
17．（2012新课标理）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A．12种 B．10种C．9种D．8种
18．（2012浙江理）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
19．（2012山东理）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是
A．232 B．252 C．472 D．484
20．【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
21．(2018全国Ⅰ理)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
22．（2014广东理）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．
23．（2014江西理）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
24．（2013新课标2理）从个正整数1，2，…，中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则=________．
25．（2011湖北理）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
考点105 排列与组合的综合应用
26．【2020全国Ⅱ理14】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种． ．
27．（2017新课标理Ⅱ理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
28．(2018浙江理)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
29．（2017浙江理）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
30．（2017天津理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
31．（2014浙江理）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）．
考点106 二项式定理
32．【2020全国Ⅲ理14】的展开式中常数项是 （用数字作答）．
33．【2020浙江卷12】设，则 ； ．
34．【2020天津卷11】在的展开式中，的系数是_________．
35．（2020全国Ⅰ理8）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
36．【2020北京卷3】在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
37．（2019全国I理II理4）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20 D．24
38．（2019浙江理13）在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的
项的个数是_______．
39．(2018全国Ⅲ理)的展开式中的系数为
A．10B．20C．40D．80
40．（2017新课标Ⅰ理）展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
41．（2017新课标Ⅲ理）的展开式中的系数为
A．80 B．40 C．40 D．80
42．(2016四川理) 设为虚数单位，则的展开式中含的项为
A．－15 B．15 C．－20 D．20
43．（2015湖北理）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A． B． C． D．
44．（2015陕西理）二项式的展开式中的系数为15，则
A．4 B．5 C．6 D．7
45．（2015湖南理）已知的展开式中含的项的系数为30，则
A． B． C．6 D．－6
46．（2014浙江理）在的展开式中，记项的系数为，
则=
A．45 B．60 C．120 D．210
47．（2014湖南理）的展开式中的系数是
A．－20 B．－5 C．5 D．20
48．（2014福建理）用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是
A． B．
C． D．
49．（2013辽宁理）使得的展开式中含常数项的最小的为
A． B． C． D．
50．（2013江西理）展开式中的常数项为
A．80 B．－80 C．40 D．－40
51．（2012安徽理）的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
52．（2012天津理）在的二项展开式中，的系数为
A．10 B．－10 C．40 D．－40
53．（2011福建理）的展开式中，的系数等于
A．80 B．40 C．20 D．10
54．（2011陕西理）（R）展开式中的常数项是
A． B． C．15 D．20
55．（2019天津理理10）是展开式中的常数项为 ．
56．(2018天津理)在的展开式中，的系数为 ．
57．(2018浙江理)二项式的展开式的常数项是___________．
58．（2017浙江理）已知多项式=，则=___，=___．
59．（2017山东理）已知的展开式中含有项的系数是，则 ．
60．(2016山东理)若的展开式中的系数是-80，则实数a=_______．
61．(2016全国I理)的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答案）
62．（2015北京理）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
63．（2015新课标2理） 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，
则=______．
64．（2014新课标1理）的展开式中的系数为 ．(用数字填写答案)
65．（2014新课标2理）的展开式中，的系数为15，则=___．(用数字填写答案)
66．（2014山东理）若的展开式中项的系数为20，则的最小值为 ．
67．（2013安徽理）若的展开式中的系数为7，则实数______．
68．（2012广东理）的展开式中的系数为______．（用数字作答）
69．(2012浙江理)若将函数表示为
，其中，，，…，为实数，则 ．
70．（2011浙江理）设二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若B=4A，则的值是 ．年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
理8
二项式定理
二项式定理的应用，常数项的计算
2012
理2
排列与组合
简单组合问题
2013
卷1
理9
二项式定理
二项式定理的应用以及组合数的计算
卷2
理5
二项式定理
二项式定理的应用
2014
卷1
理13
二项式定理
二项式展开式系数的计算
卷2
理13
二项式定理
二项式展开式系数的计算
2015
卷1
理10
二项式定理
三项式展开式系数的计算
卷2
理15
二项式定理
二项式定理的应用
2016
卷1
理14
二项式定理
二项式展开式指定项系数的计算
卷2
理5
排列与组合
计数原理、组合数的计算
卷3
理12
排列与组合
计数原理的应用
2017
卷1
理6
二项式定理
二项式展开式系数的计算
卷2
理6
排列与组合
排列组合问题的解法
卷3
理4
二项式定理
二项式展开式系数的计算
2018
卷1
理15
排列与组合
排列组合问题的解法
卷3
理5
二项式定理
二项式展开式指定项系数的计算
2019
卷3
理4
二项式定理
利用展开式通项公式求展开式指定项的系数
2020
卷1
理8
二项式定理
利用展开式通项公式求展开式指定项的系数
卷3
理14
二项式定理
利用展开式通项公式求展开式常数项
考点
出现频率
2021年预测
考点102两个计数原理的应用
23次考2次
命题角度：（1）分类加法计数原理；（2）分步乘法计数原理；（3）两个计数原理的综合应用．
核心素养：数学建模、数学运算
考点103排列问题的求解
23次考0次
考点104组合问题的求解
23次考4次
考点105排列与组合的综合应用
23次考2次
考点106二项式定理
23次考11次
大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点102 两个计数原理的应用
1．(2016全国II理)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
2．（2014新课标理1理）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A． B． C． D．
3．（2012湖北理）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）位回文数有 个．
4．（2011湖北理）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
考点103 排列问题的求解
5．（2016四川理）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24 B．48 C．60 D．72
6．（2015四川理）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
7．（2015广东理）某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
8．（2014北京理）把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有_______种．
9．（2013北京理）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
10．（2013浙江理）将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）．
考点104 组合问题的求解
11．【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种D．种
12．(2018全国Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．B．C． D．
13．（2017山东理）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A． B． C． D．
14．（2014广东理）设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．130
15．（2014安徽理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
16．（2013山东理）用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A．243 B．252 C．261 D．279
17．（2012新课标理）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A．12种 B．10种C．9种D．8种
18．（2012浙江理）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
19．（2012山东理）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是
A．232 B．252 C．472 D．484
20．【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
21．(2018全国Ⅰ理)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
22．（2014广东理）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．
23．（2014江西理）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
24．（2013新课标2理）从个正整数1，2，…，中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则=________．
25．（2011湖北理）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
考点105 排列与组合的综合应用
26．【2020全国Ⅱ理14】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种． ．
27．（2017新课标理Ⅱ理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
28．(2018浙江理)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
29．（2017浙江理）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
30．（2017天津理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
31．（2014浙江理）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）．
考点106 二项式定理
32．【2020全国Ⅲ理14】的展开式中常数项是 （用数字作答）．
33．【2020浙江卷12】设，则 ； ．
34．【2020天津卷11】在的展开式中，的系数是_________．
35．（2020全国Ⅰ理8）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
36．【2020北京卷3】在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
37．（2019全国I理II理4）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20 D．24
38．（2019浙江理13）在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的
项的个数是_______．
39．(2018全国Ⅲ理)的展开式中的系数为
A．10B．20C．40D．80
40．（2017新课标Ⅰ理）展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
41．（2017新课标Ⅲ理）的展开式中的系数为
A．80 B．40 C．40 D．80
42．(2016四川理) 设为虚数单位，则的展开式中含的项为
A．－15 B．15 C．－20 D．20
43．（2015湖北理）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A． B． C． D．
44．（2015陕西理）二项式的展开式中的系数为15，则
A．4 B．5 C．6 D．7
45．（2015湖南理）已知的展开式中含的项的系数为30，则
A． B． C．6 D．－6
46．（2014浙江理）在的展开式中，记项的系数为，
则=
A．45 B．60 C．120 D．210
47．（2014湖南理）的展开式中的系数是
A．－20 B．－5 C．5 D．20
48．（2014福建理）用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是
A． B．
C． D．
49．（2013辽宁理）使得的展开式中含常数项的最小的为
A． B． C． D．
50．（2013江西理）展开式中的常数项为
A．80 B．－80 C．40 D．－40
51．（2012安徽理）的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
52．（2012天津理）在的二项展开式中，的系数为
A．10 B．－10 C．40 D．－40
53．（2011福建理）的展开式中，的系数等于
A．80 B．40 C．20 D．10
54．（2011陕西理）（R）展开式中的常数项是
A． B． C．15 D．20
55．（2019天津理理10）是展开式中的常数项为 ．
56．(2018天津理)在的展开式中，的系数为 ．
57．(2018浙江理)二项式的展开式的常数项是___________．
58．（2017浙江理）已知多项式=，则=___，=___．
59．（2017山东理）已知的展开式中含有项的系数是，则 ．
60．(2016山东理)若的展开式中的系数是-80，则实数a=_______．
61．(2016全国I理)的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答案）
62．（2015北京理）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
63．（2015新课标2理） 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，
则=______．
64．（2014新课标1理）的展开式中的系数为 ．(用数字填写答案)
65．（2014新课标2理）的展开式中，的系数为15，则=___．(用数字填写答案)
66．（2014山东理）若的展开式中项的系数为20，则的最小值为 ．
67．（2013安徽理）若的展开式中的系数为7，则实数______．
68．（2012广东理）的展开式中的系数为______．（用数字作答）
69．(2012浙江理)若将函数表示为
，其中，，，…，为实数，则 ．
70．（2011浙江理）设二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若B=4A，则的值是 ．年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
理8
二项式定理
二项式定理的应用，常数项的计算
2012
理2
排列与组合
简单组合问题
2013
卷1
理9
二项式定理
二项式定理的应用以及组合数的计算
卷2
理5
二项式定理
二项式定理的应用
2014
卷1
理13
二项式定理
二项式展开式系数的计算
卷2
理13
二项式定理
二项式展开式系数的计算
2015
卷1
理10
二项式定理
三项式展开式系数的计算
卷2
理15
二项式定理
二项式定理的应用
2016
卷1
理14
二项式定理
二项式展开式指定项系数的计算
卷2
理5
排列与组合
计数原理、组合数的计算
卷3
理12
排列与组合
计数原理的应用
2017
卷1
理6
二项式定理
二项式展开式系数的计算
卷2
理6
排列与组合
排列组合问题的解法
卷3
理4
二项式定理
二项式展开式系数的计算
2018
卷1
理15
排列与组合
排列组合问题的解法
卷3
理5
二项式定理
二项式展开式指定项系数的计算
2019
卷3
理4
二项式定理
利用展开式通项公式求展开式指定项的系数
2020
卷1
理8
二项式定理
利用展开式通项公式求展开式指定项的系数
卷3
理14
二项式定理
利用展开式通项公式求展开式常数项
考点
出现频率
2021年预测
考点102两个计数原理的应用
23次考2次
命题角度：（1）分类加法计数原理；（2）分步乘法计数原理；（3）两个计数原理的综合应用．
核心素养：数学建模、数学运算
考点103排列问题的求解
23次考0次
考点104组合问题的求解
23次考4次
考点105排列与组合的综合应用
23次考2次
考点106二项式定理
23次考11次
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