高中数学高考专题32 选修部分（解析版）

这是一份高中数学高考专题32 选修部分（解析版），共15页。试卷主要包含了考查直线的参数方程应用，考查动点的轨迹方程，考查含绝对值不等式的解法，考查不等式证明等内容，欢迎下载使用。
【解决之道】解决此类问题，掌握常见参数方程与普通方程互化方法、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，熟记直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程.
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅰ卷文理数22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
【解析】（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），两式平方相加得，
∴曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．
（2）当时，曲线的参数方程为（为参数），∴，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，
曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，
联立方程，整理得，解得或（舍去），，公共点的直角坐标为．
2.【2020年高考全国Ⅱ卷文理数21】已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．
（1）将的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．
【解析】（1）由得的普通方程为：，
由得：，两式作差可得的普通方程为：．
（2）由得：，即。
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，
所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，
所求圆的极坐标方程为．
3.【2020年高考全国Ⅲ卷文理数22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），与坐标轴交于两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
【解析】（1）令，则，解得或（舍），则，即．
令，则，解得或（舍），则，即．
。
（2）由（1）可知，则直线的方程为，即．
由可得，直线的极坐标方程为．
4．【2020年高考江苏卷22】在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
【解析】（1）
（2）
当时；当时（舍）；即所求交点坐标为当
5.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．
的直角坐标方程为．
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．
C上的点到的距离为．
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．
6.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．
【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，．
所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．
（2）设，由题设及（1）知
若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得．
综上，P的极坐标为或或或．
7.【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离．
【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，），B（，），
由余弦定理，得AB=．
（2）因为直线l的方程为，
则直线l过点，倾斜角为．
又，所以点B到直线l的距离为．
8.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．
【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
9.【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
【答案】直线l被曲线C截得的弦长为．
【解析】因为曲线C的极坐标方程为，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，
则直线l过A（4，0），倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，
所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
命题规律二 考查直线的参数方程应用
【解决之道】解决此类问题，要熟记直线参数方程的标准形式，利用直线参数方程标准形式中参数的几何意义，解决弦长与中点问题.
【三年高考】
1.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的普通方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
命题规律三 考查动点的轨迹方程
【解决之道】对动点的轨迹问题，不管是直角坐标系还是极坐标系，可以用直接法、参数法、相关点转移法等方法求动点的轨迹方程.
【三年高考】
1.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
【解析】（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
【解析】（1）因为在C上，当时，．
由已知得．
设为l上除P的任意一点．在中，，
经检验，点在曲线上．
所以，l的极坐标方程为．
（2）设，在中， 即．
因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．
所以，P点轨迹的极坐标方程为．
命题规律四 考查含绝对值不等式的解法
【解决之道】对解含绝对值不等式问题，利用零点分析法转化为不含绝对值的不等式求解.
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅰ卷文理数22】已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：
（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：
由，解得，∴不等式的解集为．
2.【2020年高考全国Ⅱ卷文理数22】已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）当时，．
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或．
（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，
的取值范围为．
3．【2020年高考江苏卷23】设，解不等式．
【解析】或或，
或或，所以解集为。
4.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当a=1时，．
当时，；当时，．
所以，不等式的解集为．
（2）因为，所以．
当，时，．
所以，的取值范围是．
5.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
6.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
7.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设函数．
（1）画出的图像；
（2）当，，求的最小值．
【答案】（1）图像见解析；（2）的最小值为．
【解析】（1）的图像如图所示．
（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．
命题规律五 考查不等式证明
【解决之道】对不等式证明问题，要熟记重要不等式、基本不等式及不等式的性质，结合条件和结论，选择合理的重要不等式或基本不等式及不等式性质即可证明.
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅲ卷文理数23】设．
（1）证明：；
（2）用表示的最大值，证明：．
【解析】（1）证明：
即
（2）证法一：不妨设，由可知，，
，，
当且仅当时，取等号，，即．
证法二：不妨设，则而
矛盾，∴命题得证．
2.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为，又，故有
．
所以．
（2）因为为正数且，故有
=24．
所以．
3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或．
【答案】（1）；（2）见详解．
【解析】（1）由于
，
故由已知得，
当且仅当x=，y=–，时等号成立．
所以的最小值为．
（2）由于
，
故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．
4.【2018年高考江苏卷数学】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．
【答案】的最小值为4．
【解析】由柯西不等式，得．
因为，所以，
当且仅当时，不等式取等号，此时，
所以的最小值为4．
命题规律
内 容
典 型
１
考查参数方程与普通方程互花、极坐标方程与直角坐标方程互化
2020年高考全国Ⅰ卷文理数22
２
考查直线参数方程标准形式的应用
2018年高考全国Ⅱ卷文数
３
考查动点的轨迹方程
2018年高考全国Ⅲ卷文数
４
考查含绝对值不等式的解法
2020年高考全国Ⅰ卷文理数22
５
考查不等式的证明
2020年高考全国Ⅲ卷文理数23