高中数学高考专题35 不等式选讲（解析版）

这是一份高中数学高考专题35 不等式选讲（解析版），共16页。试卷主要包含了已知函数，设，解不等式，设函数=，设函数，其中，已知，设函数等内容，欢迎下载使用。

大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点120 绝对值不等式的求解
1．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：
（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：
由，解得，∴不等式的解集为．
2．（2020江苏23）设，解不等式．
【答案】
【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．
【解析】或或，
或或，∴解集为．
3．（2016全国I文理）已知函数．
（I）在图中画出的图像；
（II）求不等式的解集．
【解析】(1)如图所示：
(2) ，．
当，，解得或，；
当，，解得或，或；
当，，解得或，或．
综上，或或，，解集为．
4．（2014全国II文理）设函数=
（Ⅰ）证明：2；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【解析】（I）由，有，∴≥2．
（Ⅱ）．
当时＞3时，=，由＜5得3＜＜；
当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3．
综上：的取值范围是（，）．
5．（2011新课标文理）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．
【解析】（Ⅰ）当时，可化为，由此可得 或．
故不等式的解集为或．
( Ⅱ) 由 得，此不等式化为不等式组 或，
即或，因为，∴不等式组的解集为，由题设可得=，故．
考点121 含绝对值不等式的恒成立问题
6．（2020全国Ⅱ文理22）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【思路导引】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果．
【解析】（1）当时，．
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或．
（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为．
7．（2019全国II文理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围．
【解析】（1）当a=1时，．
当时，；当时，，∴不等式的解集为．
（2）因为，∴．
当，时，
∴的取值范围是．
8．（2018全国Ⅰ文理）已知．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时不等式成立，求的取值范围．
【解析】(1)当时，，即
故不等式的解集为．
(2)当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，∴，故．
综上，的取值范围为．
9．（2018全国Ⅱ文理）设函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求的取值范围．
【解析】(1)当时，
可得的解集为．
(2)等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，∴的取值范围是．
10．（2018全国Ⅲ文理）设函数．
(1)画出的图像；
(2)当时，，求的最小值．
【解析】(1)
的图像如图所示．
(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．
11．（2018江苏）若，，为实数，且，求的最小值．
【解析】由柯西不等式，得．
因为，∴，当且仅当时，不等式取等号，此时，
∴的最小值为4．
12．（2017全国Ⅰ文理）已知函数，．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．
【解析】（1）当时，不等式等价于．①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而，∴的解集为．
（2）当时，，∴的解集包含，等价于当时．
又在的最小值必为与之一，∴且，得，∴的取值范围为．
13．（2017全国Ⅲ文理）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．
【解析】（1），
当时，无解；
当时，由得，，解得；
当时，由解得．
∴的解集为．
（2）由得，而
，
且当时，，故m的取值范围为．
14．（2016全国III文理）已知函数
（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当时，．
解不等式，得，因此的解集为．
（Ⅱ）当时，
，当时等号成立，
∴当时，等价于． ①
当时，①等价于，无解．
当时，①等价于，解得．
∴的取值范围是．
15．（2015全国I文理）已知函数，．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当时，不等式化为，
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得．
∴的解集为．
（Ⅱ）有题设可得，，∴函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为．有题设得，故．∴的取值范围为．
16．（2014全国I文理）若，且．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由．
【解析】（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
∴的最小值为．
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）由（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）知，．由于，从而不存在，
使得．
16．（2013全国I文理）已知函数=，=．
（Ⅰ）当=-2时，求不等式＜的解集；
（Ⅱ）设＞-1，且当∈[，)时，≤，求的取值范围．
【解析】(Ⅰ)当=2时，不等式＜化为，
设函数=，=，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，
∴原不等式解集是．
（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，
∴对∈[，)都成立，故，即≤，
∴的取值范围为(1，]．
17．（2012新课标文理）已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围．
【解析】(1)当时，
或或
或．
(2)原命题在上恒成立
在上恒成立
在上恒成立
．
考点122 不等式的证明
18．（2020全国Ⅲ文理23）设．
（1）证明：；
（2）用表示的最大值，证明：．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．
【思路导引】（1）根据题设条件两边平方，再利用均值不等式证明即可；
（2）思路一：不妨设，由题意得出，
由，结合基本不等式，即可得出证明．
思路二：假设出中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．
【解析】（1）证明：
即
（2）证法一：不妨设，由可知，，
，，
当且仅当时，取等号，，即．
证法二：不妨设，则而
矛盾，∴命题得证．
19．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【解析】（1）因为，又，
故有，∴．
（2）因为为正数且，故有
=24．
∴．
20．（2019全国III文理23）设，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或．
【解析】（1）由于，
故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．
∴的最小值为．
（2）由于
，
故由已知，当且仅当，，时等号成立，因此的最小值为．
由题设知，解得或．
21．（2017全国Ⅱ文理）已知，，，证明：
(1)；
(2) ．
【解析】（1）．
（2）∵，
∴，因此．
22．（2017江苏）已知，，，为实数，且，，证明．
【解析】证明：由柯西不等式可得：，
因为∴，因此．
23．（2016全国II文理）已知函数，M为不等式的解集．
（I）求M；
（II）证明：当a，时，．
【解析】（I）当时，，若；
当时，恒成立；
当时，，若，．
综上可得，．
（Ⅱ）当时，有，即，
则，则，即，证毕．
24．（2015全国II文理）设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）若>，则；
（Ⅱ）是 的充要条件．
【解析】（Ⅰ）∵，，
由题设，得，因此．
（Ⅱ）（ⅰ）若，则，即．
因为，∴，由（Ⅰ）得．
（ⅱ）若， 则，即．
因为，∴，于是．
因此．
综上是的充要条件．
25．（2013全国II文理）设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）得，
由题设得，即，
∴，即．
（Ⅱ）∵，∴，
即，∴．年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
文理24
不等式选讲
绝对值不等式的解法
2012
文理24
不等式选讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
2013
卷1
文理24
不等式选讲[来源:Z*xx*k.Cm]
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷2
文理24
不等式选讲
多元不等式的证明
2014
卷1
文理24
不等式选讲
基本不等式的应用
卷2
文理24
不等式选讲
绝对值不等式的解法
2015
卷1
文理24
不等式选讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷2
文理24
不等式选讲
不等式的证明
2016
卷1
文理24
不等式选讲
分段函数的图像，绝对值不等式的解法
卷2
文理24
不等式选讲
绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明
卷3
文理24
不等式选讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
2017
卷1
文理23
不等式选讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷2
文理23
不等式选讲
不等式的证明
卷3
文理23
不等式选讲
绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题
2018
卷1
文理23
不等式选讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷2
文理23
不等式选讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷3
文理23
不等式选讲
绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法
2019
卷1
文理23
不等式选讲
三元条件不等式的证明
卷2
文理23
不等式选讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷3
文理23
不等式选讲
三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明
2020
卷1
文理23
不等式选讲
绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法
卷2
文理23
不等式选讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷3
文理23
不等式选讲
三元条件不等式的证明
考 点
出现频率
2021年预测
考点120绝对值不等式的求解
23次考4次
2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．
考点121含绝对值不等式的恒成立问题
23次考12次
考点122不等式的证明
23次考7次