初二数学人教版春季班 第4讲 平行四边形--提高班 试卷

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初二数学人教版下册春季班

第4讲 平行四边形


知识点1、 平行四边形的性质
1. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 平行四边形的性质
①平行四边形的对边平行且相等
②平行四边形的对角相等
③平行四边形的对角线互相平分
如图，已知▱ABCD.

则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;
②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;
③OA=OC,OB=OD.
拓展：①平行四边形的邻角互补；
②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.
3. 两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD.

EF是平行线AB，CD之间的距离.
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.
【典例】
例1（2020春•永春县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，则BC的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB＝5，
∴∠CEB＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC
∴∠CEB＝∠EBC，
∴BC＝CE，
∵CD＝5，DE＝2，
∴CE＝CD﹣DE＝5﹣2＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
【方法总结】
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的意义得出∠CEB＝∠EBC．

例2（2020春•蔡甸区期中）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点M、N，求证：OM＝ON．

【解答】证明：平行四边形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠MAO＝∠NCO，
在△AMO和△CNO中，∠MAO=∠NCOOA=OC∠AOM=∠CON，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴OM＝ON．
【方法总结】
本题考查了平行四边形的对角线互相平分，对边平行的性质，全等三角形的判定与性质，比较简单．
【随堂练习】
1．（2020春•朝阳区校级月考）平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（　　）
A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30
【解答】解：如图，BC＝10cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=12BD，OC=12AC；
A、若AC＝4，BD＝6，
则OB＝3，OC＝2，
∵2+3＜10，不能组成三角形，
故本选项错误；
B、若AC＝6，BD＝8，
则OB＝4，OC＝3，
∵3+4＜10，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
C、若AC＝8，BD＝12，
则OB＝6，OC＝4，
∵4+6＝10，不能组成三角形，
故本选项错误；
D、若AC＝20，BD＝30，
则OB＝15，OC＝10，
∵15﹣10＜10＜15+10，能组成三角形，
故本选项正确．
故选：D．

2．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连接BE，已知△ABE的周长是5，则平行四边形ABCD的周长为（　　）

A．10 B．12 C．15 D．20
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，
∵BD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F，
∴BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝5，
∴▱ABCD的周长＝2×5＝10，
故选：A．

3．（2020•启东市三模）如图，已知，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，CF＝AE，连接CE，AF．求证：△BCE≌△DAF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠D＝∠B，
∵CF＝AE，
∴BE＝DF，
在△AFD与△CEB中DF=BE∠B=∠DAD=CB，
∴△BCE≌△DAF（SAS）．
知识点2、平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
【典例】
例1（2020春•赫山区期末）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是2cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是　5或1　cm．
【解答】解：①如图1，

直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为2cm+3cm＝5cm，
②如图2，

直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离是2cm，b与c的距离是3cm，
∴3cm﹣2cm＝1cm，
综上所述，a与c的距离为5cm或1cm．
故答案是：5或1．
【方法总结】
本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
例2（2020春•铜仁市期末）如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝70°，求∠2的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离．

【解答】解：（1）∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣70°＝20°．
答：∠2的度数为20°；
（2）∵AC＝3，AB＝4，BC＝5，
设直线a与b的距离为h，
∴S△ABC=12×AC×AB=12BC×h，
即5h＝3×4，
∴h=125．
答：直线a与b的距离为125．
【方法总结】
本题考查了平行线之间的距离，解决本题的关键是掌握平行线之间的距离．
【随堂练习】
1．（2020春•岳阳期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为2，则a与c之间的距离为　7或3　．
【解答】解：有两种情况：
①如图①所示，直线a与c之间的距离是5+2＝7；

②如图②所示，直线a与c之间的距离是5﹣2＝3；

综上所述，a与c之间的距离为7或3．
故答案为：7或3．
2．（2019春•宜城市期末）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为　3cm或5cm　
【解答】解：分为两种情况：
①如图1，
∵a∥b∥c，a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离是4cm﹣1cm＝3cm；
②如图2，
∵a∥b∥c，a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离是4cm+1cm＝5cm；
故答案为：3cm或5cm．
3．（2020春•邵东市期末）如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．

【解答】解：（1）∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
又∵AC⊥AB，
∴∠2＝90°﹣∠3＝30°；

（2）如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为直线a与b的距离．
∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AD，
∴AD=AB×ACBC=12×513=6013，
∴直线a与b的距离为6013．


知识点3、平行四边形的判定
平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【典例】
例1（2020春•江汉区期末）如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（　　）

A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE
【解答】解：A、∵∠ADE＝∠E，
∴AB∥CE，
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠B＝∠E，
∴∠ADE＝∠E，
∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC，
∴DE∥BC，
又∵DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意；
故选：D．
【方法总结】
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
例2（2020•霍林郭勒市模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标系原点，A（﹣3，0）、B（﹣5，2）、C在坐标平面内，若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则点C坐标为　（﹣2，2）或（﹣8，2）或（2，﹣2）　．
【解答】解：如图所示：

∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
①当四边形OACB是平行四边形时，BC＝OA＝3，
∵B（﹣5，2），
∴C（﹣2，2），
②当四边形OABC′是平行四边形时，BC'＝OA＝3，
∵B（﹣5，2），
∴C（﹣8，2）；
③当四边形OBAC′'是平行四边形时，
∵A（﹣3，0），B（﹣5，2），
∴C（2，﹣2），
故答案为：（﹣2，2）或（﹣8，2）或（2，﹣2）．
【方法总结】
本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会利用平行四边形的性质，分情况讨论．
【随堂练习】
1．（2020春•河东区期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）

A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=12AC，
A、∵∠B＝∠BCF，
∴CF∥AB，即CF∥AD，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
B、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（2020•山西模拟）如图，在线段AD上有两点E，F，且AE＝DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且AB∥CD．求证：四边形BECF是平行四边形．

【解答】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠BEF＝∠CFE＝∠CFD＝90°，
∴BE∥CF，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△AEB和△DFC中，
∠AEB=∠DFCAE=DF∠A=∠D，
∴△AEB≌△DFC（ASA），
∴BE＝CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形．

知识点4 平行四边形性质与判定的综合
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
【典例】
例1（2020春•铜梁区校级期中）如图：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且DF＝BE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）连接AC，EF，若AC平分∠EAF，且EF＝4，AC＝7，求四边形AECF的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形
∴AD＝BC．
又∵BE＝DF，
∴AF＝EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形，
∵EF＝4，AC＝7，
∴四边形AECF的面积=12×4×7＝14．
【方法总结】
此题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
例2（2020春•南岗区校级期中）如图所示，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于F
（I）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若E是BF的中点，写出图中所有面积等于△ABE面积2倍的三角形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB和△CFD中，
∠ABE=∠CDF∠AEB=∠DFCAB=CD，
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵△AEB≌△CFD，
∴BE＝DF，
∵E是BF的中点，
∴BE＝EF＝DF，
∴S△ABF＝S△AED＝S△BCF＝S△ECD＝2S△ABE．

∴图中所有面积等于△ABE面积2倍的三角形有：△ABF，△AED，△BFC，△ECD．
【方法总结】
此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，三角形面积等知识，此题难度适中，证得△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE＝CF是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•西市区期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　3　次．

【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，
解得：t＝16，
此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．
∴共3次．
故答案为：3．

2．（2020春•铁东区期中）如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F分别为垂足，BE＝DF，AF∥CE．
（1）试判断四边形AECF、四边形ABCD形状，并说明理由；
（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC．

【解答】解：（1）四边形AECF、四边形ABCD都是平行四边形，理由如下：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
∴OA＝OC，OE＝OF，
又∵BE＝DF，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
在Rt△AEF中，AE=AF2−EF2=102−82=6，
∴CF＝6，
∵BE＝7，EF＝8，
∴BF＝BE+EF＝15，
在Rt△BCF中，BC=BF2+CF2=152+62=329．

综合运用
1．（2020春•碑林区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
2．（2020春•无棣县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝24，CD＝8，则△ABO的周长是（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝8，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∵AC+BD＝24，
∴AB+OA+OB
＝8+12AC+12BD
＝8+12
＝20，
∴△ABO的周长是20．
故选：D．
3．（2020春•中山市校级月考）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）

A．12cm B．14cm C．16cm D．28cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝14cm，
故选：B．

4．（2020春•九龙坡区校级期中）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠EDC＝84°，则∠ADE的度数为　28°　．

【解答】解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE=12AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝84°﹣x，
∴2x＝84°﹣x，
解得：x＝28°，
即∠ADE＝28°；
故答案为：28°．

5．（2020春•南岗区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝60°，则平行四边形的面积是　123　．

【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，
又∵∠EAF＝60°，
∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∵AB＝4，BC＝6，
∴BE＝2，
∴AE=42−22=23，
∴平行四边形的面积是：23×6＝123．
故答案为：123．

6．（2020春•亭湖区校级期中）如图，平行四边形中，∠ADC＝118°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝　62　度．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵∠ADC＝118°，DF⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
则∠EDH＝28°，
∵BE⊥DC，
∴∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣28°＝62°．
故答案为：62．
8.
7. （2020春•沙坪坝区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是BD的中点．点E、F在对角线AC上，连接DE、BF，DE∥BF，AE＝CF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

【解答】证明：∵DE∥BF，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DEO与△BFO中∠EDO=∠FBOOD=OB∠DOE=∠BOF，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
8.（2020秋•朝阳区校级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．
（1）求证：AD与BE互相平分；
（2）若AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，FC＝2，求AB的长．

【解答】（1）证明：如图，连接BD、AE，
∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
∠BAC=∠DEFBC=EF∠ACB=∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分；
（2）解：∵FB＝CE，
∴BE＝2BF+FC，
∴BF=BE−FC2=8−22=3，
∴AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝3+2＝5，
∵AB⊥AC，
∴由勾股定理得：AB=BC2−AC2=52−32=4．