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初二数学人教版春季班 第5讲 特殊的平行四边形--基础班 试卷
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第5讲 特殊的平行四边形
知识点1:矩形
1.矩形的性质:
(1)矩形具备平行四边形的所有性质;
(2)矩形的四个角都是直角;
(3)矩形的对角线平分且相等
(4)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;它也是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点。
2.矩形的判定定理:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
(3)有三个角是直角的四边形是矩形
【典例】
例1 (2020秋•和平区期末)如图,在矩形中,两条对角线与相交于点,,,则的长为
A.5 B. C. D.
【解答】解:矩形中,两条对角线与相交于点,,
,
又,,
,
,
故选:.
【方法总结】
本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用,解决问题的关键是掌握:矩形的对角线相等且互相平分.
例2 (2020秋•金塔县期末)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
A.对角线互相平分 B.对角相等
C.对边相等 D.对角线相等
【解答】解:、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的.,故本选项不符合;
、矩形、平行四边形的对角都是相等的,故本选项不符合;
、矩形、平行四边形的对边都是相等的,故本选项不符合;
、矩形的对角线相等,平行四边形的对角线不一定相等,故本选项符合;
故选:.
【方法总结】
本题考查矩形的性质,矩形具有平行四边形的性质,又具有自己的特性,要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.如,矩形的对角线相等.
例3 (2020秋•南海区月考)如图,矩形的对角线,,求的长.
【解答】解:四边形是矩形,
,,,
,
,
是等边三角形,
,
.
【方法总结】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,证明是等边三角形是解决问题的关键.
例4 (2020秋•沈北新区期末)如图,△ABC中,AC=BC,CD⊥AB于点D,四边形DBCE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.
【解答】证明:∵AC=BC,CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,AD=BD.
∵在▱DBCE中,EC∥BD,EC=BD,
∴EC∥AD,EC=AD.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
【方法总结】
考查了矩形的判定,平行四边形的性质,等腰三角形的性质.主要运用了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法,解题的关键是牢记矩形的三种判定方法,难度不大.
例5 (2020秋•宁化县月考)已知:如图,在▱ABCD中,AC,BD是它的两条对角线,AC=DB.求证:▱ABCD是矩形.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
在△ABC和△DCB中,
∵
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠ABC=∠DCB,
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠ABC=∠DCB90°,
∴▱ABCD是矩形.
【方法总结】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
【随堂练习】
1.(2020秋•宝安区期末)如图,在矩形中,对角线,交于点,若,那么的度数是
A. B. C. D.
【解答】解:矩形中,对角线,相交于点,
,,,
,
,
,
,
故选:.
2.(2020秋•铁西区期中)如图,矩形的对角线,相交于点,若,求的度数.
【解答】解:四边形是矩形,
,,,
,
,
,
是等边三角形,
3.(2020春•临泉县期末)如图,点、分别是矩形的边、上的一点,且.求证:.
【解答】证明:四边形是矩形,
,,,
,
,
在和中,
,
,
.
4.(2020春•原州区期末)如图,矩形的对角线、相交于点,是等边三角形,且,求矩形的面积.
【解答】解:四边形是矩形,
,,
是等边三角形,
,,
,,
,
矩形的面积.
5.(2020春•邵阳县期末)如图,在▱ABCD中,BE⊥CD,点E为垂足,AF=CE,求证:四边形BEDF是矩形.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵AF=CE,
∴FB=ED.
∴四边形BEDF是平行四边形,
∵BE⊥CD,
∴∠BED=90°.
∴四边形BEDF是矩形.
6.(2020春•余干县校级期末)已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,CE∥BD交AD的延长线于点E,CE=AC.求证:四边形ABCD是矩形.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥BC,
∵CE∥BD,
∴四边形BCED是平行四边形,
∴CE=BD,
∵CE=AC,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
知识点2:菱形
1.菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;
2.菱形的性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质;
(2)菱形的四边都相等;
(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
(4)菱形是轴对称图形,也是中心对称图形;
菱形的面积公式:菱形的面积等于对角线乘积的一半。
3.菱形的判定定理:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)对角线垂直的平行四边形是菱形;
(3)四边相等的四边形是菱形;
【典例】
例1 (2020秋•西城区校级月考)下列条件中,不能判定一个四边形是菱形的是
A.一组邻边相等的平行四边形
B.一条对角线平分一组对角的四边形
C.四条边都相等的四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形
【解答】解:、一组邻边相等的平行四边形是菱形,
选项不符合题意;
、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形,
选项符合题意;
、四边相等的四边形是菱形,
选项不符合题意;
、对角线互相垂直平分的四边形是菱形,
选项不符合题意;
故选:.
【方法总结】
此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质,关键是熟练掌握菱形的判定定理.
例2 (2020春•南关区校级月考)如图,在菱形中,为对角线上的点,且.若,则的大小是
A. B. C. D.
【解答】解:四边形是菱形,,
,
,
,
故选:.
【方法总结】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理,熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.
例3(2020秋•天桥区期中)如图,在菱形中,.求证:.
【解答】证明:如图,连接,
四边形是菱形,
,
,,
,
.
【方法总结】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质.
例4 (2020秋•瓜州县期末)如图,在中,,点,,分别是,,的中点,连接,.求证:四边形是菱形.
【解答】证明:点,,分别是,,的中点,
,,,,
四边形是平行四边形,
,
,
四边形是菱形;
【方法总结】
本题考查了菱形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角形的中位线的性质,熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.
例5 (2020秋•金塔县期末)在中,,是的中点,是的中点,过点作交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)证明四边形是菱形.
【解答】证明:(1),
,
是的中点,是边上的中线,
,,
在和中,
,
;
(2)由(1)知,,则.
,
.
,
四边形是平行四边形,
,是的中点,是的中点,
,
四边形是菱形.
【方法总结】
本题考查了全等三角形的性质和判定,平行四边形的判定,菱形的判定的应用,主要考查学生的推理能力.
【随堂练习】
1.(2020春•青山区校级月考)如图,在菱形中,对角线,,则菱形的周长为
A.24 B.30 C.36 D.18
【解答】解:在菱形中,,
,
又,
是等边三角形,
,
菱形的周长.
故选:.
2.(2020秋•莲湖区期中)菱形的边长是,一条对角线的长是,则此菱形的面积为
A. B. C. D.
【解答】解:如图所示:
菱形的边长为,对角线,
,,,,
,
,
此菱形的面积为.
故选:.
3.(2020•惠安县模拟)如图,四边形是菱形,点是对角线上一点,求证:.
【解答】证明:四边形是菱形,
,,
在和中,
,
,
.
4.(2020春•湖州月考)已知:如图,在四边形中,,,,为的中点.求证:四边形是菱形.
【解答】证明:为的中点,
,
,
,
又,
四边形是平行四边形,
,
,
为的中点,
,
四边形是菱形.
5.(2020春•沙坪坝区校级月考)如图,在四边形中,,,,点为的中点.
求证:四边形是菱形.
【解答】证明:,点为的中点,
,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形.
知识点3:正方形
1.正方形的性质:
(1)正方形的四边都相等,四个角都是90°;
(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
2.正方形的判定方法:
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(2)有一个内角是直角的菱形是正方形;
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形;
(4)对角线相等的菱形是正方形;
(5)邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形;
(6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;
(7)有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形.
【典例】
例1 (2020•越秀区校级二模)如图所示,点在正方形的对角线上,求证:.
【解答】证明:四边形是正方形,
,.
在和中,
,
,
.
【方法总结】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是关键.
例2 (2020秋•和平区期末)如图,若在正方形中,点为边上一点,点为延长线上一点,且,则与之间有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.
【解答】解:,,理由如下:
如图,延长交于点,
四边形是正方形,
,,
在和中,
,
,
,,
,
,
,
即.
,.
【方法总结】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握正方形的性质.
例3 (2020春•南关区校级月考)如图,在矩形中,点在边上,连结,将矩形沿折叠,点的对称点落在边上,连结.求证:四边形是正方形.
【解答】证明:四边形是矩形,
.
由折叠,得
.
四边形是矩形.
,
四边形是正方形.
【方法总结】
此题考查正方形的判定,关键是根据矩形的性质和判定以及正方形的判定解答.
例4(2020春•阳西县期末)如图,在矩形中,,,菱形的三个顶点,,分别在矩形的边,,上,,.求证:四边形为正方形.
【解答】解:四边形为矩形,四边形为菱形,
,,又,
,
,
,
,
,
四边形为正方形.
【方法总结】
本题考查了正方形的判定,矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确的识别图形.
【随堂练习】
1.(2020春•越秀区校级期中)如图,在正方形中,点是上的一点,点是延长线上的一点,且,连结、、.求证:.
【解答】证明:四边形是正方形,
,,
,
,
在和中,
,
.
2.(2020秋•兰州期中)如图,在正方形中,点为对角线上一点,连接,.求证:.
【解答】证明:正方形,
,,
,,
,
在和中,
,
,
,即.
3.(2020春•岱岳区期末)已知:如图,在矩形中,平分,平分,,.求证:四边形是正方形.
【解答】证明:,
四边形是平行四边形,
又在矩形中,平分,平分
,
四边形是正方形.
综合运用
1.(2020秋•荥阳市期中)如图,菱形对角线,交于点,,过点作交的延长线于点.若菱形的面积为4,则菱形的边长为
A. B.2 C. D.4
【解答】解:四边形是菱形,
,,
,
,
,
,
菱形的面积,
(负值舍去),
则菱形的边长为.
故选:.
2.(2020秋•河南期中)如图,菱形的对角线、相交于点,,,为过点的一条直线,则图中阴影部分的面积为
A.4 B.6 C.8 D.12
【解答】解:四边形为菱形,
,,,
,
,
,
,
,
故选:.
3.(2020秋•兴庆区校级期中)如图,矩形的对角线、相交于点,,,若,则四边形的周长是 16 .
【解答】解:四边形是矩形,
,,,
,
,,
四边形是平行四边形,
又,
四边形是菱形,
四边形的周长,
故答案为16.
4.(2020•聊城)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,
∵E为BC的中点,
∴EB=EC,
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴AB=CF.
∵AB∥CF,
∴四边形ABFC是平行四边形,
∵AD=BC,AD=AF,
∴BC=AF,
∴四边形ABFC是矩形.
5.(2020秋•陆川县期中)如图,已知矩形的边长,,为的中点,在边上取点使,过点作于点.
(1)求证:;
(2)求的长.
【解答】(1)证明:在矩形中,,,,
,
,
;
又,
,
,
;
,
;
(2)解:连结,
,
,
,
又,,
,
,
四边形是矩形,,
又是等腰三角形,
为中点,
,
在中,,
而,
.
6.(2020秋•城关区校级月考)已知:如图,中,,,,是边上一个动点,连接,作,作交于点,连接与交于点.
(1)求证:;
(2)若四边形是菱形,求菱形的面积.
【解答】(1)证明:,,
四边形是平行四边形,
;
(2)解:四边形是菱形,
,,
设,则,
在中,由勾股定理得:,
解得:,
,
菱形的面积.
7.(2020秋•郫都区校级月考)如图,矩形的对角线,交于点,延长到点,使,连接.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)连接,若,,求的长.
【解答】解:(1)四边形是矩形,
,,
,
,
四边形是平行四边形.
(2)如图所示,过作于,
四边形是矩形,
,
是的中点,
,
又,
,
是的中点,
是的中位线,
,
中,.
8.(2020秋•皇姑区期末)如图,在平行四边形中,点是的中点,连接并延长,交延长线于点,连接,.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)若,则当 90 时,四边形是菱形.
【解答】(1)证明:四边形为平行四边形,
,,
,
又为的中点,
,
在和中,
,
;
,
四边形是平行四边形;
(2)解:当时,四边形是菱形,理由如下:
,,
,
四边形是平行四边形,
,
,
,
,
四边形是菱形,
故答案为:90.
9.(2020春•莒县期末)如图,,是正方形的对角线上的两点,且.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若正方形边长为3,,求菱形的面积.
【解答】解:(1)证明:四边形是正方形,
,,
,
,
,
,
同理,
四边形是平行四边形,
,,,
,
,
平行四边形是菱形.
(2)连接,如图所示:
正方形的边长为3,
,,,
在中,
,
,
.
10.(2020秋•山西月考)如图,在正方形中,点.分别在和上,,连接.
(1)求证:为等腰三角形.
(2)过点作,过点作,判断四边形是什么特殊四边形,并证明你的结论.
【解答】解:(1)证明:四边形是正方形,
,,
在和中,
,
,
,
三角形是等腰三角形;
(2)四边形是菱形.理由如下:
,,
四边形是平行四边形,
由(1)知,
平行四边形是菱形.
11.(2020春•卫滨区校级月考)如图,中,是边上的一点,是的中点,过点作的平行线交的延长线于,且,连接.
(1)如果,试猜想四边形的形状,并证明你的结论;
(2)满足什么条件时四边形为正方形,并证明你的结论.
【解答】解:(1)四边形为矩形,
理由如下:,,
四边形为平行四边形,
,
又为的中点,,
,,
在和中
,
,
,
,
又,
,
,
平行四边形为矩形;
(2)当为等腰直角三角形时,四边形为正方形;
理由:为等腰直角三角形,为中点,
,,
平行四边形为矩形,
矩形为正方形.