初二数学人教版春季班 第5讲 特殊的平行四边形--基础班 试卷

初二数学人教版下册春季班

第5讲  特殊的平行四边形

知识点1：矩形

1.矩形的性质：

（1）矩形具备平行四边形的所有性质；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线平分且相等

（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

2.矩形的判定定理：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形

【典例】

例1 （2020秋•和平区期末）如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为　　

A．5 B． C． D．

【解答】解：矩形中，两条对角线与相交于点，，

，

又，，

，

，

故选：．

【方法总结】

本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．

例2 （2020秋•金塔县期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是　　

A．对角线互相平分 B．对角相等 

C．对边相等 D．对角线相等

【解答】解：、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；

、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；

、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；

、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；

故选：．

【方法总结】

本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．

例3 （2020秋•南海区月考）如图，矩形的对角线，，求的长．

【解答】解：四边形是矩形，

，，，

，

，

是等边三角形，

，

．

【方法总结】

本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．

例4 （2020秋•沈北新区期末）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．

【解答】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，AD＝BD．

∵在▱DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，

∴EC∥AD，EC＝AD．

∴四边形ADCE是平行四边形．

又∵∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形．

【方法总结】

考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质．主要运用了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法，解题的关键是牢记矩形的三种判定方法，难度不大．

例5 （2020秋•宁化县月考）已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC＝DB．求证：▱ABCD是矩形．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

在△ABC和△DCB中，

∵

∴△ABC≌△DCB（SSS），

∴∠ABC＝∠DCB，

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB＝180°，

∴∠ABC＝∠DCB90°，

∴▱ABCD是矩形．

【方法总结】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•宝安区期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，若，那么的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：矩形中，对角线，相交于点，

，，，

，

，

，

，

故选：．

2．（2020秋•铁西区期中）如图，矩形的对角线，相交于点，若，求的度数．

【解答】解：四边形是矩形，

，，，

，

，

，

是等边三角形，

3．（2020春•临泉县期末）如图，点、分别是矩形的边、上的一点，且．求证：．

【解答】证明：四边形是矩形，

，，，

，

，

在和中，

，

，

．

4．（2020春•原州区期末）如图，矩形的对角线、相交于点，是等边三角形，且，求矩形的面积．

【解答】解：四边形是矩形，

，，

是等边三角形，

，，

，，

，

矩形的面积．

5．（2020春•邵阳县期末）如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，点E为垂足，AF＝CE，求证：四边形BEDF是矩形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵AF＝CE，

∴FB＝ED．

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵BE⊥CD，

∴∠BED＝90°．

∴四边形BEDF是矩形．

6．（2020春•余干县校级期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．求证：四边形ABCD是矩形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BC，

∵CE∥BD，

∴四边形BCED是平行四边形，

∴CE＝BD，

∵CE＝AC，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形．

知识点2：菱形

1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；

           （2）菱形的四边都相等；

           （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

           （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；

菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

3.菱形的判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形；

【典例】

例1 （2020秋•西城区校级月考）下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是　　

A．一组邻边相等的平行四边形 

B．一条对角线平分一组对角的四边形 

C．四条边都相等的四边形 

D．对角线互相垂直平分的四边形

【解答】解：、一组邻边相等的平行四边形是菱形，

选项不符合题意；

、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，

选项符合题意；

、四边相等的四边形是菱形，

选项不符合题意；

、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

选项不符合题意；

故选：．

【方法总结】

此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质，关键是熟练掌握菱形的判定定理．

例2 （2020春•南关区校级月考）如图，在菱形中，为对角线上的点，且．若，则的大小是　　

A． B． C． D．

【解答】解：四边形是菱形，，

，

，

，

故选：．

【方法总结】

本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．

例3（2020秋•天桥区期中）如图，在菱形中，．求证：．

【解答】证明：如图，连接，

四边形是菱形，

，

，，

，

．

【方法总结】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．

例4 （2020秋•瓜州县期末）如图，在中，，点，，分别是，，的中点，连接，．求证：四边形是菱形．

【解答】证明：点，，分别是，，的中点，

，，，，

四边形是平行四边形，

，

，

四边形是菱形；

【方法总结】

本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．

例5 （2020秋•金塔县期末）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）证明四边形是菱形．

【解答】证明：（1），

，

是的中点，是边上的中线，

，，

在和中，

，

；

（2）由（1）知，，则．

，

．

，

四边形是平行四边形，

，是的中点，是的中点，

，

四边形是菱形．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．

【随堂练习】

1．（2020春•青山区校级月考）如图，在菱形中，对角线，，则菱形的周长为　　

A．24 B．30 C．36 D．18

【解答】解：在菱形中，，

，

又，

是等边三角形，

，

菱形的周长．

故选：．

2．（2020秋•莲湖区期中）菱形的边长是，一条对角线的长是，则此菱形的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示：

菱形的边长为，对角线，

，，，，

，

，

此菱形的面积为．

故选：．

3．（2020•惠安县模拟）如图，四边形是菱形，点是对角线上一点，求证：．

【解答】证明：四边形是菱形，

，，

在和中，

，

，

．

4．（2020春•湖州月考）已知：如图，在四边形中，，，，为的中点．求证：四边形是菱形．

【解答】证明：为的中点，

，

，

，

又，

四边形是平行四边形，

，

，

为的中点，

，

四边形是菱形．

5．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在四边形中，，，，点为的中点．

求证：四边形是菱形．

【解答】证明：，点为的中点，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形．

知识点3：正方形

1.正方形的性质：

（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；

（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

2.正方形的判定方法：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（4）对角线相等的菱形是正方形；

（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；

（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．

【典例】

例1 （2020•越秀区校级二模）如图所示，点在正方形的对角线上，求证：．

【解答】证明：四边形是正方形，

，．

在和中，

，

，

．

【方法总结】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是关键．

例2 （2020秋•和平区期末）如图，若在正方形中，点为边上一点，点为延长线上一点，且，则与之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

【解答】解：，，理由如下：

如图，延长交于点，

四边形是正方形，

，，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

即．

，．

【方法总结】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．

例3 （2020春•南关区校级月考）如图，在矩形中，点在边上，连结，将矩形沿折叠，点的对称点落在边上，连结．求证：四边形是正方形．

【解答】证明：四边形是矩形，

．

由折叠，得

．

四边形是矩形．

，

四边形是正方形．

【方法总结】

此题考查正方形的判定，关键是根据矩形的性质和判定以及正方形的判定解答．

例4（2020春•阳西县期末）如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，．求证：四边形为正方形．

【解答】解：四边形为矩形，四边形为菱形，

，，又，

，

，

，

，

，

四边形为正方形．

【方法总结】

本题考查了正方形的判定，矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的识别图形．

【随堂练习】

1．（2020春•越秀区校级期中）如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结、、．求证：．

【解答】证明：四边形是正方形，

，，

，

，

在和中，

，

．

2．（2020秋•兰州期中）如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，．求证：．

【解答】证明：正方形，

，，

，，

，

在和中，

，

，

，即．

3．（2020春•岱岳区期末）已知：如图，在矩形中，平分，平分，，．求证：四边形是正方形．

【解答】证明：，

四边形是平行四边形，

又在矩形中，平分，平分

，

四边形是正方形．

综合运用

1．（2020秋•荥阳市期中）如图，菱形对角线，交于点，，过点作交的延长线于点．若菱形的面积为4，则菱形的边长为　　

A． B．2 C． D．4

【解答】解：四边形是菱形，

，，

，

，

，

，

菱形的面积，

（负值舍去），

则菱形的边长为．

故选：．

2．（2020秋•河南期中）如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为　　

A．4 B．6 C．8 D．12

【解答】解：四边形为菱形，

，，，

，

，

，

，

，

故选：．

3．（2020秋•兴庆区校级期中）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长是　16　．

【解答】解：四边形是矩形，

，，，

，

，，

四边形是平行四边形，

又，

四边形是菱形，

四边形的周长，

故答案为16．

4．（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，

∵E为BC的中点，

∴EB＝EC，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB＝CF．

∵AB∥CF，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∵AD＝BC，AD＝AF，

∴BC＝AF，

∴四边形ABFC是矩形．

5．（2020秋•陆川县期中）如图，已知矩形的边长，，为的中点，在边上取点使，过点作于点．

（1）求证：；

（2）求的长．

【解答】（1）证明：在矩形中，，，，

，

，

；

又，

，

，

；

，

；

（2）解：连结，

，

，

，

又，，

，

，

四边形是矩形，，

又是等腰三角形，

为中点，

，

在中，，

而，

．

6．（2020秋•城关区校级月考）已知：如图，中，，，，是边上一个动点，连接，作，作交于点，连接与交于点．

（1）求证：；

（2）若四边形是菱形，求菱形的面积．

【解答】（1）证明：，，

四边形是平行四边形，

；

（2）解：四边形是菱形，

，，

设，则，

在中，由勾股定理得：，

解得：，

，

菱形的面积．

7．（2020秋•郫都区校级月考）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）连接，若，，求的长．

【解答】解：（1）四边形是矩形，

，，

，

，

四边形是平行四边形．

（2）如图所示，过作于，

四边形是矩形，

，

是的中点，

，

又，

，

是的中点，

是的中位线，

，

中，．

8．（2020秋•皇姑区期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长，交延长线于点，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，则当　90　时，四边形是菱形．

【解答】（1）证明：四边形为平行四边形，

，，

，

又为的中点，

，

在和中，

，

；

，

四边形是平行四边形；

（2）解：当时，四边形是菱形，理由如下：

，，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

四边形是菱形，

故答案为：90．

9．（2020春•莒县期末）如图，，是正方形的对角线上的两点，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若正方形边长为3，，求菱形的面积．

【解答】解：（1）证明：四边形是正方形，

，，

，

，

，

，

同理，

四边形是平行四边形，

，，，

，

，

平行四边形是菱形．

（2）连接，如图所示：

正方形的边长为3，

，，，

在中，

，

，

．

10．（2020秋•山西月考）如图，在正方形中，点．分别在和上，，连接．

（1）求证：为等腰三角形．

（2）过点作，过点作，判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论．

【解答】解：（1）证明：四边形是正方形，

，，

在和中，

，

，

，

三角形是等腰三角形；

（2）四边形是菱形．理由如下：

，，

四边形是平行四边形，

由（1）知，

平行四边形是菱形．

11．（2020春•卫滨区校级月考）如图，中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．

（1）如果，试猜想四边形的形状，并证明你的结论；

（2）满足什么条件时四边形为正方形，并证明你的结论．

【解答】解：（1）四边形为矩形，

理由如下：，，

四边形为平行四边形，

，

又为的中点，，

，，

在和中

，

，

，

，

又，

，

，

平行四边形为矩形；

（2）当为等腰直角三角形时，四边形为正方形；

理由：为等腰直角三角形，为中点，

，，

平行四边形为矩形，

矩形为正方形．