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    初二数学人教版春季班 第5讲 特殊的平行四边形--基础班 试卷
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    初二数学人教版春季班 第5讲 特殊的平行四边形--基础班 试卷

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    初二数学人教版下册春季班

    5  特殊的平行四边形

     

    知识点1:矩形

    1.矩形的性质:

    1)矩形具备平行四边形的所有性质;

    2)矩形的四个角都是直角;

    3)矩形的对角线平分且相等

    4)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;它也是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点。

    2.矩形的判定定理:

    1)有一个角是直角的平行四边形是矩形
    2)对角线相等的平行四边形是矩形
    3)有三个角是直角的四边形是矩形

    【典例】

    1 2020秋•和平区期末)如图,在矩形中,两条对角线相交于点,则的长为  

    A5 B C D

    【解答】解:矩形中,两条对角线相交于点

    故选:

    方法总结

    本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用,解决问题的关键是掌握:矩形的对角线相等且互相平分.

    2 2020秋•金塔县期末)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是  

    A.对角线互相平分 B.对角相等 

    C.对边相等 D.对角线相等

    【解答】解:、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的.,故本选项不符合;

    、矩形、平行四边形的对角都是相等的,故本选项不符合;

    、矩形、平行四边形的对边都是相等的,故本选项不符合;

    、矩形的对角线相等,平行四边形的对角线不一定相等,故本选项符合;

    故选:

    方法总结

    本题考查矩形的性质,矩形具有平行四边形的性质,又具有自己的特性,要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.如,矩形的对角线相等.

    3 2020秋•南海区月考)如图,矩形的对角线,求的长.

    【解答】解:四边形是矩形,

    是等边三角形,

    方法总结

    本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,证明是等边三角形是解决问题的关键.

    4 2020秋•沈北新区期末)如图,△ABC中,ACBCCDAB于点D,四边形DBCE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.

    【解答】证明:∵ACBCCDAB

    ∴∠ADC90°,ADBD

    ∵在DBCE中,ECBDECBD

    ECADECAD

    ∴四边形ADCE是平行四边形.

    又∵∠ADC90°,

    ∴四边形ADCE是矩形.

    方法总结

    考查了矩形的判定,平行四边形的性质,等腰三角形的性质.主要运用了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法,解题的关键是牢记矩形的三种判定方法,难度不大.

    5 2020秋•宁化县月考)已知:如图,在ABCD中,ACBD是它的两条对角线,ACDB.求证:ABCD是矩形.

    【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,

    ABCDABCD

    在△ABC和△DCB中,

    ∴△ABC≌△DCBSSS),

    ∴∠ABC=∠DCB

    ABCD

    ∴∠ABC+DCB180°,

    ∴∠ABC=∠DCB90°,

    ABCD是矩形.

    方法总结

    本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质,证明三角形全等是解题的关键.

    【随堂练习】

    1.(2020秋•宝安区期末)如图,在矩形中,对角线交于点,若,那么的度数是  

    A B C D

    【解答】解:矩形中,对角线相交于点

    故选:

    2.(2020秋•铁西区期中)如图,矩形的对角线相交于点,若,求的度数.

    【解答】解:四边形是矩形,

    是等边三角形,

    3.(2020春•临泉县期末)如图,点分别是矩形的边上的一点,且.求证:

    【解答】证明:四边形是矩形,

    中,

    4.(2020春•原州区期末)如图,矩形的对角线相交于点是等边三角形,且,求矩形的面积.

    【解答】解:四边形是矩形,

    是等边三角形,

    矩形的面积

    5.(2020春•邵阳县期末)如图,在ABCD中,BECD,点E为垂足,AFCE,求证:四边形BEDF是矩形.

    【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

    ABCDABCD

    AFCE

    FBED

    ∴四边形BEDF是平行四边形,

    BECD

    ∴∠BED90°.

    ∴四边形BEDF是矩形.

    6.(2020春•余干县校级期末)已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,CEBDAD的延长线于点ECEAC.求证:四边形ABCD是矩形.

    【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

    AEBC

    CEBD

    ∴四边形BCED是平行四边形,

    CEBD

    CEAC

    ACBD

    ∴四边形ABCD是矩形.

     

    知识点2:菱形

    1.菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;

    2.菱形的性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质;

               2)菱形的四边都相等;

               3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;

               4)菱形是轴对称图形,也是中心对称图形;

    菱形的面积公式:菱形的面积等于对角线乘积的一半。

    3.菱形的判定定理:

    1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;

    2)对角线垂直的平行四边形是菱形;

    3)四边相等的四边形是菱形;

    【典例】

    1 2020秋•西城区校级月考)下列条件中,不能判定一个四边形是菱形的是  

    A.一组邻边相等的平行四边形 

    B.一条对角线平分一组对角的四边形 

    C.四条边都相等的四边形 

    D.对角线互相垂直平分的四边形

    【解答】解:一组邻边相等的平行四边形是菱形,

    选项不符合题意;

    一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形,

    选项符合题意;

    四边相等的四边形是菱形,

    选项不符合题意;

    对角线互相垂直平分的四边形是菱形,

    选项不符合题意;

    故选:

    方法总结

    此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质,关键是熟练掌握菱形的判定定理.

     

    2 2020春•南关区校级月考)如图,在菱形中,为对角线上的点,且.若,则的大小是  

    A B C D

    【解答】解:四边形是菱形,

    故选:

    方法总结

    本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理,熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.

    32020秋•天桥区期中)如图,在菱形中,.求证:

    【解答】证明:如图,连接

    四边形是菱形,

    方法总结

    本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质.

    4 2020秋•瓜州县期末)如图,在中,,点分别是的中点,连接.求证:四边形是菱形.

    【解答】证明:分别是的中点,

    四边形是平行四边形,

    四边形是菱形;

    方法总结

    本题考查了菱形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角形的中位线的性质,熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.

    5 2020秋•金塔县期末)在中,的中点,的中点,过点的延长线于点

    1)求证:

    2)证明四边形是菱形.

    【解答】证明:(1

    的中点,边上的中线,

    中,

    2)由(1)知,,则

    四边形是平行四边形,

    的中点,的中点,

    四边形是菱形.

    方法总结

    本题考查了全等三角形的性质和判定,平行四边形的判定,菱形的判定的应用,主要考查学生的推理能力.

     

    【随堂练习】

    1.(2020春•青山区校级月考)如图,在菱形中,对角线,则菱形的周长为  

    A24 B30 C36 D18

    【解答】解:在菱形中,

    是等边三角形,

    菱形的周长

    故选:

    2.(2020秋•莲湖区期中)菱形的边长是,一条对角线的长是,则此菱形的面积为  

    A B C D

    【解答】解:如图所示:

    菱形的边长为,对角线

    此菱形的面积为

    故选:

    3.(2020•惠安县模拟)如图,四边形是菱形,点是对角线上一点,求证:

    【解答】证明:四边形是菱形,

    中,

    4.(2020春•湖州月考)已知:如图,在四边形中,的中点.求证:四边形是菱形.

    【解答】证明:的中点,

    四边形是平行四边形,

    的中点,

    四边形是菱形.

    5.(2020春•沙坪坝区校级月考)如图,在四边形中,,点的中点.

    求证:四边形是菱形.

    【解答】证明:,点的中点,

    四边形是平行四边形,

    四边形是菱形.

    知识点3:正方形

    1.正方形的性质:

    1)正方形的四边都相等,四个角都是90°

    2)正方形的对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。

    2.正方形的判定方法:

    1)有一组邻边相等的矩形是正方形;

    2)有一个内角是直角的菱形是正方形;

    3)对角线互相垂直的矩形是正方形;

    4)对角线相等的菱形是正方形;

    5)邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形;

    6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;

    7)有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形.

    【典例】

    1 2020•越秀区校级二模)如图所示,点在正方形的对角线上,求证:

    【解答】证明:四边形是正方形,

    中,

    方法总结

    本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是关键.

    2 2020秋•和平区期末)如图,若在正方形中,点边上一点,点延长线上一点,且,则之间有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.

    【解答】解:,理由如下:

    如图,延长于点

    四边形是正方形,

    中,

    方法总结

    本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握正方形的性质.

    3 2020春•南关区校级月考)如图,在矩形中,点在边上,连结,将矩形沿折叠,点的对称点落在边上,连结.求证:四边形是正方形.

    【解答】证明:四边形是矩形,

    由折叠,得

    四边形是矩形.

    四边形是正方形.

    方法总结

    此题考查正方形的判定,关键是根据矩形的性质和判定以及正方形的判定解答.

    42020春•阳西县期末)如图,在矩形中,,菱形的三个顶点分别在矩形的边上,.求证:四边形为正方形.

    【解答】解:四边形为矩形,四边形为菱形,

    ,又

    四边形为正方形.

    方法总结

    本题考查了正方形的判定,矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确的识别图形.

    【随堂练习】

    1.(2020春•越秀区校级期中)如图,在正方形中,点上的一点,点延长线上的一点,且,连结.求证:

    【解答】证明:四边形是正方形,

    中,

    2.(2020秋•兰州期中)如图,在正方形中,点为对角线上一点,连接.求证:

    【解答】证明:正方形

    中,

    ,即

    3.(2020春•岱岳区期末)已知:如图,在矩形中,平分平分.求证:四边形是正方形.

    【解答】证明:

    四边形是平行四边形,

    在矩形中,平分平分

    四边形是正方形.

     

    综合运用

    1.(2020秋•荥阳市期中)如图,菱形对角线交于点,过点的延长线于点.若菱形的面积为4,则菱形的边长为  

    A B2 C D4

    【解答】解:四边形是菱形,

    菱形的面积

    (负值舍去),

    则菱形的边长为

    故选:

     

    2.(2020秋•河南期中)如图,菱形的对角线相交于点为过点的一条直线,则图中阴影部分的面积为  

    A4 B6 C8 D12

    【解答】解:四边形为菱形,

    故选:

     

    3.(2020秋•兴庆区校级期中)如图,矩形的对角线相交于点,若,则四边形的周长是 16 

    【解答】解:四边形是矩形,

    四边形是平行四边形,

    四边形是菱形,

    四边形的周长

    故答案为16

    4.(2020•聊城)如图,在ABCD中,EBC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BFAC,若ADAF,求证:四边形ABFC是矩形.

    【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

    ABCD

    ∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE

    EBC的中点,

    EBEC

    ∴△ABE≌△FCEAAS),

    ABCF

    ABCF

    ∴四边形ABFC是平行四边形,

    ADBCADAF

    BCAF

    ∴四边形ABFC是矩形.

    5.(2020秋•陆川县期中)如图,已知矩形的边长的中点,在边上取点使,过点于点

    1)求证:

    2)求的长.

    【解答】1)证明:在矩形中,

    2)解:连结

    四边形是矩形,

    是等腰三角形,

    中点,

    中,

    6.(2020秋•城关区校级月考)已知:如图,中,边上一个动点,连接,作,作于点,连接交于点

    1)求证:

    2)若四边形是菱形,求菱形的面积.

    【解答】1)证明:

    四边形是平行四边形,

    2)解:四边形是菱形,

    ,则

    中,由勾股定理得:

    解得:

    菱形的面积

     

    7.(2020秋•郫都区校级月考)如图,矩形的对角线交于点,延长到点,使,连接

    1)求证:四边形是平行四边形;

    2)连接,若,求的长.

    【解答】解:(1四边形是矩形,

    四边形是平行四边形.

    2)如图所示,过

    四边形是矩形,

    的中点,

    的中点,

    的中位线,

    中,

     

    8.(2020秋•皇姑区期末)如图,在平行四边形中,点的中点,连接并延长,交延长线于点,连接

    1)求证:四边形是平行四边形;

    2)若,则当 90 时,四边形是菱形.

    【解答】1)证明:四边形为平行四边形,

    的中点,

    中,

    四边形是平行四边形;

    2)解:当时,四边形是菱形,理由如下:

    四边形是平行四边形,

    四边形是菱形,

    故答案为:90

    9.(2020春•莒县期末)如图,是正方形的对角线上的两点,且

    1)求证:四边形是菱形;

    2)若正方形边长为3,求菱形的面积.

    【解答】解:(1)证明:四边形是正方形,

    同理

    四边形是平行四边形,

    平行四边形是菱形.

    2)连接,如图所示:

    正方形的边长为3

    中,

    10.(2020秋•山西月考)如图,在正方形中,点分别在上,,连接

    1)求证:为等腰三角形.

    2)过点,过点,判断四边形是什么特殊四边形,并证明你的结论.

    【解答】解:(1)证明:四边形是正方形,

    中,

    三角形是等腰三角形;

    2)四边形是菱形.理由如下:

    四边形是平行四边形,

    由(1)知

    平行四边形是菱形.

    11.(2020春•卫滨区校级月考)如图,中,边上的一点,的中点,过点的平行线交的延长线于,且,连接

    1)如果,试猜想四边形的形状,并证明你的结论;

    2满足什么条件时四边形为正方形,并证明你的结论.

    【解答】解:(1)四边形为矩形,

    理由如下:

    四边形为平行四边形,

    的中点,

    平行四边形为矩形;

    2)当为等腰直角三角形时,四边形为正方形;

    理由:为等腰直角三角形,中点,

    平行四边形为矩形,

    矩形为正方形.

     

     

     

     

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