初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质综合训练题

角的平分线的性质（基础）

【学习目标】

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．

3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．

【要点梳理】

要点一、角的平分线的性质

　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
 

要点二、角的平分线的判定

　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
 

要点三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图
 

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

要点四、三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【典型例题】

类型一、角的平分线的性质

1．（2020春•启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．

【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．

【答案与解析】

证明：∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB，

∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN．

【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．

2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6, 则△DEB的周长为(      )

 A. 4 B. 6 C.10 D. 以上都不对

【答案】B；

【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝6.

【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.

举一反三：

【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD的面积之比为（　  ）

A．3：2      B．      C．2：3      D.

【答案】B；

提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵，则△ABD与△ACD的面积之比为．

3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．

【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.

【答案与解析】

解：DF＝EF．

理由如下：

∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，

∴PD＝PE，

由HL定理易证△OPD≌△OPE，

∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．

在△DPF与△EPF中，

，

∴△DPF≌△EPF，

∴DF＝EF.

【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.

类型二、角的平分线的判定

4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.
 

【答案与解析】

证明： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）
　　　 ∴∠CDF＝∠BEF＝90°
　　　 ∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)
　　　 ∵ BF＝CF(已知)
　　　 ∴△DFC≌△EFB(AAS)
　　　 ∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)
　　　 ∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）
　　　 ∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
　　　　即AF为∠BAC的平分线

【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.

举一反三：

【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．

【答案】

证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，

，

∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），

∴PD=PE，

∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴OC是∠AOB的平分线．