初中12.3 角的平分线的性质同步测试题

角的平分线的性质（提高）

【学习目标】

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．

3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．

【要点梳理】

要点一、角的平分线的性质

　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
 

要点二、角的平分线的判定

　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
 

要点三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图
 

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

要点四、三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【典型例题】

类型一、角的平分线的性质及判定

1、（2020秋•新洲区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．

（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．

【思路点拨】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；

（2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可．

【答案与解析】

证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，

∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，

∴PQ=PT，PS=PT，

∴PQ=PS，

∴AP平分∠DAC，

即PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，

∴∠DAE=∠CAE，

∵CE⊥AP，

∴∠AED=∠AEC=90°，

在△AED和△AEC中

∴△AED≌△AEC，

∴CE=ED．

【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

举一反三：

【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.

求证：BE＝CF.

【答案】

证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，

      ∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°

      在Rt△BDE与Rt△CDF中，，

       ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）

       ∴BE＝CF

2、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（    ）

        A.11          B.5.5         C.7        D.3.5

【答案】 B；

【解析】

解： 过D点作DH⊥AC于H，

      ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC

∴DF＝DH

在Rt△EDF和Rt△GDH中

DE＝DG，DF＝DH

∴Rt△EDF≌Rt△GDH

同理可证Rt△ADF和Rt△ADH

∴

∴＝50－39＝11，

∴△EDF的面积为5.5

【总结升华】本题求△EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG和△AED的面积来表示△EDF面积.

3、如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．

【思路点拨】观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.

【答案与解析】

证明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N

      ，，且

      ∴

      又∵AC＝BD

      ∴PM＝PN

      又∵PM⊥OA，PN⊥OB

      ∴OP平分∠AOB

【总结升华】跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.

类型二、角的平分线的性质综合应用

4、如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.

【思路点拨】在BA的延长线上取AD＝AC，证△PAD≌△PAC，从而将四条线段转化到同一个△PBD中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.

【答案与解析】

证明：①当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D，使AD＝AC，连接PD.

∵P为△ABC的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2 

∵在△PAD和△PAC中

∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC

∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD

∴PB＋PC＞AB＋AC.

②当点P与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC.

综上，PB＋PC≥AB＋AC.

【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.

举一反三：

【变式】（2020秋•启东市校级期中）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点D为BD的中点，且OA平分∠BAC．

（1）求证：OC平分∠ACD；

（2）求证：OA⊥OC；

（3）求证：AB+CD=AC．

【答案】

证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，

∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，

∴OB=OE，

∵点O为BD的中点，

∴OB=OD，

∴OE=OD，

∴OC平分∠ACD；

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，

，

∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），

∴∠AOB=∠AOE，

同理求出∠COD=∠COE，

∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，

∴OA⊥OC；

（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，

∴AB=AE，

同理可得CD=CE，

∵AC=AE+CE，

∴AB+CD=AC．